第7章三角函數

第oi講不等式的性質

0目標導航

課程標準重難點

1.理解任意角的概念；

理解并掌握正角、負角、零角、象限角、終邊相同的

2.掌握象限角和終邊相同的角的集合表1.

示；角、弧度制的概念及表示.

3.會表示終邊相同的角；

認識集合中、的準確含義，明確終邊相同的角

4.理解并掌握象限角及其應用.2.Ska

理解弧度制的概念；

5.不一定相等，終邊相同的角有無限多個，它們相差360°

6.掌握角度制與弧度制的換算；

的整數倍.

7.會利用弧度制表示角；

8.會利用扇形的弧長公式及面積公式解掌握角度與弧度的換算公式并能熟練進行角度與弧度

決實際問題.

的換算.

視知識精講

一、任意角

i.角的概念

有關概描述

念

定義角可以看成平面內①繞著②從一個位置③

到另一個位置所成的④

圖示

V,

""其中0為⑤，0A為⑥，0B為⑦

記法角a或Na,或簡記為a

2.角的分類：按旋轉方向可將角分為如下三類:

類

定義圖示

型

正按心旋轉形成的角

角

負

按⑨旋轉形成的角

角

零一條射線⑩，稱它形成了

0A

角一個零角

3.象限角與軸線角：在直角坐標系內，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.

象限角：?在第幾象限就是第幾象限角；

軸線角：終邊落在坐標軸上的角.

4.終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合?，即任一與角a終邊相同

的角，都可以表示成角a與整數個絲的和.

二、弧度制

1.角的單位制

(1)角度制：規定周角的」一為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.

360

(2)弧度制：把長度等于①的弧所對的②叫做1弧度的角.以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做_

③，它的單位符號是rad,讀作④，通常略去不寫.

(3)角的弧度數的求法：正角的弧度數是一個⑤，負角的弧度數是一個⑥，零角的弧度數是。.如果半徑

為r的圓的圓心角a所對弧的長為1,那么角a的弧度數的絕對值|a為⑦.

2.角度與弧度的換算

角度化弧度弧度化角度

360°=⑧2nrad=360°

180°=⑨五rad=?

7t

1°=——rad^O.0171QQ

1801rad=(―)°弋57.30°

71

45rad

3.弧度制下的弧長與扇形面積公式

弧長公式扇形面積公式

,n7irn7tr~

角度制1=-----S=-------

180360

弧度制1=?s=?

運?.:%.晨運.?富°.?運J。＜.??.*.＜冬??:颼運。.?■。.?運」。＜.?*?，*

參考答案

一、①一條射線②端點③旋轉④圖形⑤頂點⑥始邊⑦終邊⑧逆時針方向⑨順時針方向

⑩沒有作任何旋轉?終邊?{6|6=a+k360。，kCZ}?周角

二、①半徑長②圓心角③弧度制④弧度⑤正數

⑥負數⑦!⑧2nrad⑨nrad⑩180°

r

@a?r?Jlr=—Ia|r2

考法01任意角

引入任意角的概念后需要注意：

（1）用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了.角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、

負角和零角.

（2）角的概念的理解要緊緊抓住"旋轉"二字，用運動的觀點來看待角的概念：一是要明確旋轉的方向，

二是要明確旋轉的大小，三是要明確射線作任何旋轉時的位置.

（3）角的范圍不再限于［0。,360。］.

（4）當角的始邊相同時，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等.

（5）要正確理解正角、負角、零角的^念，由定義可知，關鍵是抓住終邊的旋轉方向是逆時針、順時

針，還是沒有轉動.在圖中表示角時，應注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角的正負.

（6）角的記法：用一個希臘字母表示，如a,［i,7,…；也可用三個大寫的英文字母表示，字母前

要寫符號“/"，中間的字母表示角的頂點，如Z4O3,ZDEF,為了簡單起見，在不引起混淆的前提

下，''角a"或“Nc”可以簡記為“a

（7）引入正角、負角、零角后，角的減法可以轉化為南的加法運算，即可以轉化c-/為c+（-Q）.

例

1.喜洋洋步行從家里到草原學校去上學，一般需要10分鐘，則10分鐘時間，鐘表的分針

走過的角度是()

A.30°B.-30°

C.60°

D.-60°

【思路分析】|分針60分鐘計算出分針1分鐘走的度數H計算出分針1。分鐘走的度數令叵乏菽

的正負.

【答案】D

【解析】利用定義，分針是順時針走的，形成的角度是負角，

又周角為360。，所以有"360x°2=60°,

12

即分針走過的角度是-60。.

故選D.

【跟蹤訓練】1.(1)時鐘走了3小時20分，則時針所轉過的角的度數為,分針轉

過的角的度數為.

(2)如圖，射線。4繞頂點O逆時針旋轉45。到08位置，并在此基礎上順時針旋轉120。到達OC位置，

貝I]ZAOC=.

【思路分析】(1)計算出指針單位時間內走過的度數T乘以時間

(2)ZAOB=45°tZBOC=-120。tZAOC=ZAOB+ZBOC

【答案】(1)-1000-1200°(2)-75°

【解析】(1)從時針和分針每小時或每分鐘轉過的角度數切入，時針每小時轉30。，分針每小時轉360。，每

分鐘轉6。、時針、分針都按順時針方向旋轉，故轉過的角度數都是負的，3小時20分即3』小時，故時針

3

轉過的角度數為一3』*30。=-100。:分針轉過的角度數為-3-x360°=-12000.

33

(2)由角的定義可得NAOC=ZAOB+ZBOC=45°+(-120°)=-75°.

考法02象限角

1.象限角：若把角的頂點與原點重合,角的始邊與X軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,

我們就說這個角是第幾象限角.

例如：由于圖（1）中的角45。，405°--315。都是始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第一象限的

角，所以它們都是第一象限角；同理，圖（2）中的角480。是第二象限角，-70。，290。都是第四象限角.

2.特別地，如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.例如，0°,90°,-180°,

630。等，因為它們的終邊落在坐標軸上，所以這些角都不屬于任何一個象限，有的參考書上稱之為象限界

角.

①-75。角是第四象限角;

②225。角是第三象限角;

③475。角是第二象限角;

④-315。角是第一象限角;

⑤-90。角是第四象限角.

其中正確的命題的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

［思路分析］|把已知角a寫成。=人360。+以女€2,0。,，力<360。）?|用象限角的概念判斷

【答案】C

【解析】利用象限角的概念來判斷.

先把已知角a寫成&=人360。+/7/62,0。,，4<360。）的形式，

再判斷方是第幾象限角，

從而確定a是第幾象限角.

所以①②③④都對.

-90°的角的終邊在y軸的非正半軸上，

所以-90。角不是第四象限角.

因此⑤是不正確的.

所以正確的命題的個數是4.

故選C.

【跟蹤訓練】

判斷下列各角分別是第幾象限角：670。，480。，-150°,45°,405。，120。，-240°,210°,570°,310°,

-50°,-315°.

［思路分析］|把已知角a寫成夕=h360。+伙AeZ,0。”/?<360。)冏用象限角的概念判斷.

【解析】45。，405°.-315。是第一象限角；

120。，480°--240。是第二象限角；

210°,570°,一150。是第三象限角；

310°,670°,-50。是第四象限角.

考法03終邊相同的角

1.一般地，我們有：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合5={⑶4=a+A>360。,

ZeZ},即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和.

2.象限角的分類及表示方法如下：

象限角集合的表示

第一象限角\a|左?360。va<90。+k?360。,左wZ}

第二象限角{a190。+)1.360°<cr<180°+攵?360。/wZ}

第三象限角{o1180。+攵?360。<a<270°+攵?360。,心Z}

第四象限角[a1270°+)1.360°vac360°+攵?360。,keZ}

3.設5={分|尸=45。+h360。,左€2},顯然，所有與45。角終邊相同的角都是集合S的元素；反過來，

集合S中的任何一個元素也都與45。角的終邊相同.推廣到一般形式有：所有與角a終邊相同的角，連同角

a在內，可構成一個集合5={￡|6=a+6360。,ZeeZ},即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與

整數個周角的和.

4.利用與角a終邊相同的角的集合，可把任意角/轉化成￡=a+A>360。，kwZ,()。,，。<360。的形

式：也可利用與角a終邊相同的角化簡終邊落在過原點的某一條直線上的角的集合；或利用與角a終邊相

同的角寫出各象限角和象限界角的集合.

如第一象限角，在0。~360。范圍內，第一象限角表示為0。<。<90。，然后在兩端加上人360。，A:eZ,

即可得到第一象限角的集合：{。|入360。＜。＜人360。+90。，keZ],其他各象限角同理可得.

若a為象限界角，如終邊落在x軸的負半軸上，代表角為180。，所以終邊落在x軸的負半軸上的角的

集合為{。|。=4.360。+180。，keZ}.同理可得其他非象限角的集合.

（1）把a寫成a=/7+h360o（&eZ,0。,，月＜360。）的形式，并指出它是第幾象限角；

（2）求。，使。與a的終邊相同，且一720。毀的0°.

【思路分析】用所給角除以360。，將余數作為夕即可.注意負角除以360。時，為保證余數為正角，試商時

應使得到的負角的絕對值大于已知負南的絕對值.

【解析】（1）：-1910°+360°=-6余250°,

/.-1910°=-6x360°+250°,

...相應的僅=250。,是第三象限角.

二a=-6x360。+250。是第：象限角.

（2）令。=250°+h360°伏€2）,

取4=-1,-2,

則250°-360°=-110°,250°-720°=Y70°.

.?.與a的終邊相同，且適合-720。轟的0。的角。為-110。角，T70。角.

【跟蹤訓練】與Y57。角終邊相同的角的集合是（）

A.{a|a=Jt.360°+457°,keZ}

B.{a|a=k?360°+97°,keZ}

C.{a[a=A＞360°+263°,keZ}

D.{a|a=h360°-263°,keZ}

【思路分析】用所給角除以360。，將余數作為方即可.注意負角除以360。時，為保證余數為正角.

【答案】C

【解析】題目考查終邊相同的角的表示方法，可用特殊值法研究，也可用定義分析解決，由

-457。=—2x360。+263。，可得給論為C,或者由-457。角與一97。南終邊相同，一97。角與263。角終邊相同,

263。角應與公360。+263。角終邊相同，故應選C.

考法04角度與弧度之間的互化

1.將角度化為弧度

JT

360。=2兀rad；180。=兀rad；1°=一rad=0.01745rad.

180

2.將弧度化為角度

18()

2兀rad=360°；兀rad=180°；1rad=(一)°?57.30°=57°18,.

n

3.需記住的特殊角的度數與弧度數的對應值

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7C兀71712兀3兀5兀3

71

弧度0~6—712兀

6432TT2

【說明】(1)以弧度為單位表示角時，“弧度”兩字可以省略不寫.如sin2是指sin(2弧度)；兀=180°

是指兀弧度=180。.以度為單位表示角時，度就不能省去.

(2)以弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少兀的形式，如無特殊要求，不必把兀化成小數，

JT

如45。=一弧度，不必寫成45。。0.785弧度.

4

(3)弧度制和角度制一樣，都是一種度量角的單位制.弧度制與角度制相比有一定的優點，其一體現

在進位上，角度制在度、分、秒上是六十進制，不便于計算，而弧度制是十進制，給運算帶來了方便；其

二體現在弧長公式與扇形面積公式的表達上，弧度制下的公式比角度制下的公式簡單，運用起來更方便.

(4)用角度制和弧度制來度量零角，雖然單位不同，但數量相同，對于其他非零角，由于單位不同，

數量也就不同了.

(5)在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式7irad=18O。是關鍵，由它可以得到：角度x」一=弧度，

180°

弧度x幽=角度.

71

1.將下列角度與弧度進行互化：

7IT1lir

(1)20°;(2)一15。；(3)—；(4).

125

【思路分析】利用公式1°=-^rad或lrad=(180、)°進行換算

180(

式,

【解析】(1)200=—71=-；

1809

(2)-15°=--7t=-—；

18012

X=(“x史2)。=(工X180)0=105。；

(3)

12127112

(4)--=(-—x—)°=(-—x180)0=-396°

55715

【跟蹤訓練】(1)-300。化為弧度是()

4兀5兀7717九

A.---D.C.D.

3----------------------34~6

皿化為角度是()

(2)

5

A.270°B.280°C.288°D.318°

【思路分析】利用公式1°=三rad或lrad=（地］進行換算.

1801萬J

【答案】B0

【解析】(I)vr=2Lrad,

180

A-300°=-300X—rad=--rad.故選B.

1803

(2)Vlrad=(—)°,

71

.87r.8JI/180、c/ccciz.、》…

..一rad=一x(——)°=288°,故選C.

557i

考法05弧長與面積公式

1.弧長公式

在半徑為r的圓中，弧長為/的弧所對的圓心角大小為a,則|a|=:,變形可得，=|a|r,此公式稱為弧

長公式，其中的a是弧度角.

2.扇形面積公式

因為圓心角為1rad的扇形面積為之二=1/，而弧長為/的扇形的圓心角大小為'rad,所以其面積為

2兀2r

S=：xg=g/r,將/=同廠代入上式可得S=g國產，此公式稱為扇形面積公式.

3.弧長公式及扇形面積公式的兩種表示

角度制弧度制

.mr

弧長公式1----/=,上

180

c幾兀廠2\a\1

扇形面積公式3-----S="--r92=—/r

36022

r是扇形的半徑，”是圓心角的角，是扇形的半徑，a是圓心角的弧度數，/

注意事項

度數是弧長

顯然弧度制下的兩個公式在形式上都要簡單的多，記憶和應用也就更加方便.

已知一個扇形的周長為皿+4

圓心角為80。，求這個扇形的面積.

9

【思路分析】先根據扇形的周長等于弧長加兩個半徑長列出方程，求出半徑的長度，再用扇形的面積公式

計算.

【解析】設扇形的半徑為r,面積為S,

則扇形的圓心角為80*」匚=如

1809

.?.扇形的弧長為%r,

9

?**r=2.

.14兀28幾

??3=-?—r=—.

299

即扇形的面積為白兀.

9

【解題技巧】求扇形面積的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.相反，也可由

扇形的面積結合其他條件，求扇形的圓心角、半徑、弧長.解題時要注意公式的靈活變形及方程思想的運

用.

【跟蹤訓練】直徑為20cm的圓中，求弧度為生的圓心角所對的弧長及該扇形的面積.

3

【思路分析】先用弧長公式求出弧長，再用扇形的面積公式求出扇形的面積.

【解析】因為直徑為20cm,

所以r=10cm,

所以弧長/=如="、10=3(cm),

33

,1e1,140兀0200兀/2、

面積rlS=—/r=—xx10=(cm).

2233

M分層提分

題組A基礎過關練

1.已知扇形的弧長/為等，圓心角。為?，則該扇形的面積s為（）

兀271^7171

A.-B.—C.-----D.—

6333

【答案】B

【解析】???扇形的圓心角a為工，弧長/為空，

33

扇形的半徑r='=2,

a

I12424

，扇形的面枳S=；/r=<x2xT=k.

2233

故選：B.

2."數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人

雅士的寵物，所以又有"懷袖雅物”的別號.如圖是折扇的示意圖，其中。A=20cm,ZAOB=120°,M為

OA的中點，則扇面（圖中扇環）部分的面積是（）

B

M

A.50^cm2B.1004cm?c.150萬cm2D.200)cm2

【答案】B

【解析】扇環的面積為s--ar2=-x—X400=100>T.

883

故選：B

3.與—20。終邊相同的角是（）

A.-340°B.170°C.20°D.340°

【答案】D

【解析】與一20°終邊相同的角一定可以寫成Rx360。-20°的形式，k&Z,

令k=l可得，一20。與340。終邊相同，其它選項均不合題意，故選：D.

4.如圖是清代的時辰醒鐘，此醒鐘直徑12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宮廷鐘表處制造，以中國傳統的一

日十二個時辰為表盤顯示，其內部結構與普通機械鐘表的內部結構相似.則丑時與午時的夾角是（）

A.120°B.135°C.150°D.165°

【答案】C

360°

【解析】一日十二個時辰，則一個時辰所對應的圓心角為——=30。，H時與午時相差5個時辰，故H時

12

與午時的夾角為30°x5=150°

故選：c

5.裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為高，并在扇形弧上正面等距安裝7個發彩光的小燈泡

且在背面用導線將小燈泡串連（弧的兩端各一個燈泡，導線接頭忽略不計），已知扇形的半徑為30厘米，

則連接導線大致需要的長度約為（）

A.55厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

【答案】B

【解析】因為在弧長比較短的情況下分成6等份，每部分的弦長和弧長相差很小，

所以可以用弧長近似代替弦長，

所以導線的長度為-/x30=20萬~63（厘米）.故選：B

6.密位制是度量角的一種方法.把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作為角的度量

單位的單位制叫做密位制.在角的密位制中，采用4個數碼表示角的大小，單位名稱密位二字可以省去不

寫.密位的寫法是在百位數和十位數之間畫一條短線連接（不足100密位的角用0補全百位和十位），例如

7密位寫成"0-07",2021密位寫成“20-21”,1周角等于6000密位，記作“60-00”.如果一個半徑為2

7

的扇形的面積為:萬，則其圓心角用密位制表示為（）

6

A.12-50B.17-50C.21-00D.35—（X）

【答案】B

【解析】設扇形半徑為r，圓心角為a,則扇形面積為一a,=—a.22=：萬，

226

77

則&=五兀，則其表示的密位為五萬十（2萬）x6000=1750,即17-50.故選：B

7.密位制是度量角的一種方法.將周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作為角的度量單位，

這種度量角的單位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四個數碼表示角的大小，單位名稱密位二字

可以省去不寫.密位的寫法是在百位數字與十位數字之間畫一條短線，如：478密位寫成“4-78”,1周角等于

7

6000密位，記作1周角=60-00.如果一個扇形的半徑為2,面積為§萬，則其圓心角可以用密位制表示為

（）

A.25-00B.35-00C.42-00D.70-00

【答案】B

1,77

【解析】設扇形的圓心角為a,則一ax22=—萬，則a不，

236

7乃

由題意可知，其密位大小為"八八八八密位，用密位制表示為35-00,故選：B.

2萬

8.劉徽是中國魏晉時期杰出的數學家，他提出"割圓求周"方法：當”很大時，用圓內接正“邊形的周長近

似等于圓周長，并計算出精確度很高的圓周率萬。3.1416.在《九章算術注》中總結出“割之彌細，所失

彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”的極限思想.運用此思想，當》取3.1416時，

可得sin2。的近似值為（）

A.0.00873B.0.01745C.0.02618D.0.03491

【答案】D

【解析】將一個單位圓分成90個扇形，則每個扇形的圓心角度數均為4°

山圓的垂徑定理，可得每個圓心角所對的弦長A8=2AC=2xlxsin20=2sin2。,

因為這90個扇形對應的弦長之和近似于單位圓的周長，

所以90x2xlxsin2°=180sin2°《2;r,

2萬2x3.1416

所以sin2°a——?0.03491.

180180~

題組B能力提升練

1.中國傳統折扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，

設扇形（如圖）的面積為5,圓心角為四,圓面中剩余部分的面積為邑，圓心角為。2,當R與邑的比值

為縣口“0.618（黃金分割比）時，折扇看上去較為美觀，那么（）

2

A.a,=127.5°B,%=137.5。c.%=（石—1）/D.3=避二1

42

【答案】BCD

c_（X]R~代?

【解析】設扇形的半徑為R，由？=3——=」="?，故D正確；

邑*2%2

由/+02=2萬，

所以魯」%+%=2乃，解得。2=（百一1）萬，故C正確；

由^^?aO.618，則逐一1^1.236，

2

所以%=（6—1）7?1.236x180°?2225,

所以a產360-222.5=137.5°,故B正確.故選：BCD

2.下列說法錯誤的是（）

A.第二象限角比第一象限角大

B.60角與600角是終邊相同角

C.鈍角一定是第二象限角

rr

D.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角的弧度數為二

3

【答案】AB

【解析】A中，第二象限角比第?象限角大不正確，如100。是第二象限角，400。是第一象限角;

B中，因為600°工人360°+60°,左eZ,所以60角與600角終邊不同，故錯誤;

71

C中，因為鈍角的范圍為（一,1），所以鈍角是第二象限角，故正確；

2

7T

D中，將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角的弧度數為一正確.故選：AB

3

3.關于角度，下列說法正確的是（）

A.時鐘經過兩個小時，時針轉過的角度是60°

B.鈍角大于銳角

C.三角形的內角必是第一或第二象限角

D.若g是第二象限角，則］是第一或第三象限角

2

【答案】BD

【解析】對于A,時鐘經過兩個小時，時針轉過的角是-60。，故錯誤；

對于B,鈍角一定大于銳角，顯然正確；

對于c,若三角形的內角為9（）°,是終邊在y軸正半軸上的角，故錯誤；

對于D,???角?的終邊在第二象限，

兀

/.2kn+—<a<2E+兀，keZ,

2

,7ia7i

/.kuH—<—<kuH—,

422

TTCXTTa

當々為偶數時，2〃兀+—〈一<2〃兀+一，“eZ,得一是第一象限角；

4222

TT7TCl

當火為奇數時，（2〃+1）兀+1<萬<（2〃+1）兀+萬，neZ.得會是第三象限角，故正確.故選：BD

4.如圖，扇形AO8的圓心角為60',半徑為6,記弓形ACB的面積為號，扇形AQB的面積為$2,則

工=

S?----------

S\

s2

B

2兀-30

【答案】

27c

【解析】扇形AOB的面積S,=回一倉k62=671.

2360

弓形ACB的面積平顯一,=6兀-耕3丘6…技

S.64-9百2兀-3g

則,=--------=----------.

S26兀27r

故答案為：2"3.

27

5.折扇是一種用竹木做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子用時須展開，成扇形，聚頭散尾.如圖，

3

某折扇的扇骨長度。4=15cm,扇面長度AB=10cm,已知折扇展開所對圓心角的弧度為大，則扇面的

2

面積為.

【答案】150cm2

1313

【解析】由題可知，扇面的面積為一X—X152-一x—x5?=150cm2.故答案為：1505?.

2222

6.與2021°終邊相同的最小正角是.

【答案】221°

【解析】因為2021。=1800。+221°=5x360°+221。，所以與2021°終邊相同的最小正角是221°.故答案

為：221°.

7.在與角-2010。終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.

(1)最小的正角；

(2)最大的負角；

(3)—720。~720。內的角.

【答案】(1)a=150°；(2)。=一210°；(3)a=-570%—210°、15()°、510°.

［解析］?.--2010°=-360ox6+150°

.750。和-2010。終邊相同

其余的終邊相同的角度可以寫成a=h360°+150。伏eZ)

(1)當k=0時是最小的正角，。=150°：

(2)當上=一1時是最大的負角，a=-210°；

(3)當&=一2,-1,0,1時，a=—57()。、-210°，150%510°符合條件.

8.將下列角度化為弧度，弧度轉化為角度

,、13萬26,、”…、10，、n..ITT

(1)>(2)——7t,(3)67.5°>(4)----7T,(5)—,(6)—.

333124

3萬

【答案】(1)780°;(2)-1560°：(3)一：(4)-600°：(5)15°:(6)315°.

8

137r

【解析】(1)780-°=—x乃弧度=等弧度,

1X。3

(2)-1560°=-萼X左弧度=-停乃弧度，

1803

(3)67.5。=言萬弧度=穿弧度.

lot)O

一里乃弧度=-3x180。=-600。,

(4)

33

(5)卷弧度=哈印5。，

747

(6)—弧度=—xl800=315。.

44

題組C培優拔尖練

1.若a是第二象限的角，則女的終邊所在位置可能是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.笫四象限

【答案】ABD

7T

【解析】。是第二象限的角，則2攵萬十—<。<2%萬+"，kwZ,

2

2k冗7ia2匕r71

+—<——<<—keZ，

363丁3

OL

當k=3J2,"￡Z時，一是第?象限角，

3

當々=3〃+1,〃€2時，三a■是第二象限角，

a

W|k=3〃+2,〃eZ時，一是第四象限角，故選：ABD.

3

2.下列命題中正確的是()

A.若角a是第三象限角，則三■可能在第三象限

B.cosl---aI+cosI-+aI=0

C.若tana<。且sina>0,則a為第二象限角

D.銳角a終邊上一點坐標為P(-cos2,sin2),則。=萬一2

【答案】ACD

3

【解析】對于A,角a是第三象限角，即2匕7+%<￡<2%)+—萬(262),所以

2

21a21aa

—wZ),當&=3〃,〃￡Z時，一為第一象限角；當氏=3〃+l,〃￡Z時，一為

3333233

aa

第三象限角；當左=3〃+2,〃GZ時，一為第四象限角，故一可能在第三象限正確，故A選項正確.

33

對于B,運用誘導公式化簡cos(T-a)+cosC+a)=-sina-sina=-2sina,故8選項不正確.

對于C,若tana<0,則a為第二象限角或者第四象限角，若sina>0,則a為第?象限角或者第二象限角,

同時滿足tana<。且sincr>0,則a為第二象限角，故C選項正確.

對于。，因為銳角a終邊上一點坐標為P(-cos2,sin2),由二角函數定義可得

tana=三U-=-tan2=tan(冬一2),又因為0<a〈工，所以a=乃—2,故。選項正確.綜上ACO選項

-cos22

正確.故選AC。

3.在北緯60圈上有甲、乙兩地，若它們在緯度圈上的弧長等于空（R為地球半徑），則這兩地間的球

2

面距離為.

兀R

【答案】—

3

【解析】設甲、乙兩地分別為A8,

北緯圈所在圓的半徑為4，

2

它們在緯度圈上所對應的劣弧長等于笠（R為地球半徑），

2

—=^x-（。是兩地在北緯60圈上對應的圓心角），

22

故8=71.

所以線段A8=2X'=R

2

設地球的中心為。，則AAQ3是等邊三角形，

71

所以乙408=—，

3

兀R

故這兩地的球面距離是——.

3

4.如圖，已知長為6力"，寬為山〃2的長方形在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第四次時被小木塊擋住，此

時長方形的底邊與桌面所成的角為B,