重難點01線線角、線面角、二面角問題（重難點突破解題技巧與方法）

Q技巧方法i.求異面直線所成的角的三步曲

即依據定義作平行線，作出異面直線所成的角i

即證明作出的角是異面直線所以的角

，2.求直線和平面所成角的關鍵

,一、：解三角形,求出作出的角，如果求出的角是銳角：

（［三求或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍:

i角，則它的補角才是要求的角i

作出這個平面的垂線進而斜線和射影所成角即為所求，有時當垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體

積法求得垂線長，進而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

（1）由定義做出二面角的平面角

（2）用三垂線定理找二面角的平面角

（3）找公垂面

（4）劃歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角

Q能力拓展

求異面直線所成的角

一、填空題

1.（2021?上海?復旦附中高二期中）已知四棱柱A8C￡>-A8G2中，異面直線AG與。8所成角為5，且

aan。百=q,AcnoB=o,OA=OB=\,則AB的長為

2.（2021.上海.格致中學高二期中）設E是正方體A8CO-ABGR的棱Cq的中點，在棱人兒上任取一點P,

在線段4E上任取一點Q,則異面直線PQ與8。所成角的大小為

AB

3.（2021?上海中學高二期中）正方體A8CD-A4G。中，異面直線A片與8。所成角大小為

二、解答題

4.（2022.上海浦東新?高二期末）如圖，在正方體A8CO-A8GA中.

（1）求異面直線和CG所成的角的余弦值;

（2）求證：直線平面DCCQ.

線面角

一、單選題

1.（2022?上海市控江中學高二期末）如圖，已知正方體ABCO-AgCQ,點p是棱CG的中點，設直線A8

為。，直線AR為4對于下列兩個命題：①過點P有且只有一條直線/與人。都相交；②過點P有且只有

兩條直線/與。、6都成75。角.以下判斷正確的是（）

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

二、填空題

2.（2021?上海市行知中學高二階段練習）已知正四棱柱的對角線的長為痣，且對角線與底面所成角的余弦

值為立，則該正四棱柱的全面積等于.

3

三、解答題

3.（2021.上海市大同中學高二階段練習）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面為直角梯形，AD//BC,

ZBAD=90°,P4垂直于底面ABC。，PA=AD=AB=2BC=2,M、N分別為PC、PB的中點.

r

(1)求證：PBLDM；

（2）求3。與平面ADMV所成的角二面角

一、單選題

1.（2020?上海?曹楊二中高二期末）設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，產是棱以上的點

（不含端點），記直線尸8與直線AC所成角為a,直線槽與平面ABC所成角為2，二面角P-AC-8的平

面角為7,則

A./3<y,a<YB./3<a,（3<Y

C.P<a,y<aD.a<仇丫<B

二、填空題

2.（2021.上海.西外高二期中）在正方體ABC。-AB&A中，二面角A-BC-A的大小是.

三、解答題

3.（2022.上海.復旦附中高二期中）如圖所示，某農戶擬在院子的墻角處搭建一個谷倉，墻角可以看作如圖

所示的圖形，其中04、OB、。。兩兩垂直（。兒OB、。?均大于2米）.該農戶找了一塊長、寬分別為2

米和1米的矩形木板.將木板的一邊緊貼地面，另外一組對邊緊貼墻面，圍出一個三棱柱（無蓋）形的谷

倉.

（1）若木板較長的一邊緊貼地面，且圍成的谷倉體積為正立方米，問：此

時木板與兩個墻面所成的銳二面角大小分別為多少？

（2）應怎樣擺放木板，才能使得圍成的谷倉容積最大？并求出該最大值.

4.(2021?上海?格致中學高二期中)在四棱錐P-MCD中，底面為梯形，AB//CD,△皿＞為正三角形,

且24=他=2,ZBAP=ZCDP=90°,四棱錐P-MCZ）的體積為2石.

(1)求證：平面E4D；

(2)求PC與平面ABC。所成角的正弦值；

(3)設平面PABc平面尸CO=/,求證：1//AB,并求二面角8-/一。的大小.

Q鞏固練習

一、填空題

1.(2021?上海奉賢區致遠高級中學高二期中)若正方體A8CQ-Aq的棱長為1,則異面直線A8與

之間的距離為.

二、解答題2.(202卜上海中學高二階段練習)如圖，長方體ABCD-A8CQ中，|4叫=卜4=1,|然|=2,

點尸為。。的中點.

(1)求證：直線〃平面B4C；

(2)求異面直線Bq與AP所成角的大小.

3.(2021?上海市進才中學高二期中)已知正四棱錐P-ABCD中，AB=\,幺=2；

(1)求側棱與底面所成角的正弦值;

(2)求正四棱錐P-ABC。的體積

4.(2021?上海中學高二期中)如圖，在矩形ABC。中，M、N分別是線段AB、8的中點，4)=2,AB=4,

將440核沿。M翻折，在翻折過程中A點記為P點.

(1)從翻折至WW的過程中，求

點尸運動的軌跡長度;

(2)翻折過程中，二面角尸-BC-O的平面角為仇求tan。的最大值.

重難點01線線角、線面角、二面角問題（重難點突破解題技巧與方法）

U技巧方法

1.求異面直線所成的角的三步曲

QB）。!即依據定義作平行線，作出異面直線所成的角］

即證明疝值的腦是異面直線所以的篇'：_

/一~＞、［屏三"戒茶也相由而寂而束袤屯而備電露露

仁求或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍：

一"［角，則它的補角才是要求的角；

作出這個平面的垂線進而斜線和射影所成角即為所求，有時當垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體

積法求得垂線長，進而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

（1）由定義做出二面角的平面角

（2）用三垂線定理找二面角的平面角

（3）找公垂面

（4）劃歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角

Q能力拓展

求異面直線所成的角

一、填空題

1.（2021?上海?復旦附中高二期中）已知四棱柱A8CQ-ABG。中，異面直線4?與所成角為三，且

AGn。"=a，ACnDB=。，。4=。3=1,則AB的長為.

【答案】1或6

【分析】根據題意得出NAOB為異面直線AG與OB所成角或所成角的補角，從而在AAC?中，應用余弦定

理即可求出答案.

【詳解】因為AC,IIAC,所以ZAOB為異面直線AG4DB所成角或所成角的補角，即NAO8=?或4，

TT

當乙4。8=§時，因為。4=03=1,所以ziAOB為等邊二角形，所以A6=l：

當NAOB="y時、因為。4=。3=1,

在AAO3中，由余弦定理，得”2=。4?+04-2創OAOB2cosy3,

所以A8=百.

1或右.

2.（2021?上海?格致中學高二期中）設E是正方體A8CO-ABCR的棱CG的中點，在棱A%上任取一點P,

在線段AE上任取一點Q,則異面直線PQ與8。所成角的大小為

【分析】連接BO,利用線面垂直的判定定理證得8D_L平面AECA,再利用線面垂直的性質定理可知

BD±PQ,即可得解.

【詳解】連接8。，由底面A3。為正方形，可知BOJ_AC,

由正方體的性質，可知MJ■平面ABCD,又如u平面ABC。，則M，B￡>

又411nAe=A,則BO_L平面AECA,由已知可知PQu平面AECA,則8OJ_P。

所以異面直線P。與8。所成角的大小為'

TT

故答案為：—

Dq

3.（2021?上海中學高二期中）正方體ABC。—A/CR中，異面直線4耳與3。

所成角大小為

【答案】y

【分析】連接、4。，，證明&R〃8。，可得NA42即為異面直線與8。所成角，在AABQ求NABQ

即可求解.

【詳解】如圖，連接A"、BQ、,

因為BB、〃DD、,BB\=DD、.

所以四邊形8BQQ是平行四邊形，

所以BQJBD,

所以ZAB,D,即為異面直線AB,與80所成角,

設正方體ABC。-AB|G。的棱長為。，

在AABQ中，A.=明=BR=伍，

所以AA4R是等邊三角形，

■JT7T

所以/ABQ,=y,即異面直線AB,與BD所成角為y,

故答案為:

二、解答題

4.（2022?上海浦東新?高二期末）如圖，在正方體ABCD-AqGR中.

（1）求異面直線AB和CC,所成的角的余弦值;

⑵求證：直線A"/平面。CCQ.

【答案】（1）也⑵證明見解析

2

【分析】（1）根據已知CG//8用，可將異面直線AB和CG所成的角轉化為直線AB和所成的角，再根

據題目的邊長關系，即可完成求解；

（2）可通過連接。C，證明四邊形A8cA為平行四邊形，從而得到A8〃2C,再利用線面平行的判定定

理即可完成證明.

（1）因為CGUBB\,所以NA84就是異面直線AB和CC,所成的角.又因為ABC。-AGGR為正方體，所以

異面直線AtB和CC,所成的角為45",所以異面直線A乃和CC,所成的角的余弦值為也.

2

連接因為AA〃BC且A4=BC,所以四邊形Ascq為平行四邊形，所以A8//RC；ABO平面

DCCR,DtCu平面DCC,D,；所以直線48//平面DCCR.

即得證.

線面角

一、單選題

1.（2022?上海市控江中學高二期末）如圖，已知正方體48co-AMCQ,點尸是棱CG的中點，設直線AB

為a,直線4。為從對于下列兩個命題：①過點P有且只有一條直線/與人6都相交；②過點P有且只有

兩條直線/與隊6都成75。角.以下判斷正確的是（）

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

【答案】A

【分析】①由正方形的性質，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個平面即可；

②一組鄰邊與對角面的夾角相等，在平面內繞P轉動，可以得到二條直線與。、6的夾角都等于75。.

【詳解】如下圖所示，在側面正方形4片區4和AAD4再延伸一個正方形BgEB和。出尸。，則平面耳。和

G尸在同一個平面內，所以過點P,有且只有一條直線/,即EK與〃、b相交，故①為真命題；取AA中

點M連PM由于“、b為異面直線，。、〃的夾角等于A聲與人的夾角.由于AGu平面AG，NPo平面

AG，/VPIIAC,,所以NPII平面AC，所以NP與4再與〃的夾角都為45.又因為￡CJ?平面AG，所以

GC與A片與〃的夾角都為90,而45<75<90,所以過點尸，在平面AC內存在一條宜線，使得與

與。的夾角都為75，同理可得，過點尸，在平面AC內存在一條直線，使得與。與AO的夾角都為75Z

故②為真命題.

故選：A

二、填空題

2.（2021?上海市行知中學高二階段練習）已知正四棱柱的對角線的長為遙，且對角線與底面所成角的余弦

值為趙，則該正四棱柱的全面積等于

3

【答案】10

【分析】結合已知條件分別求出正四棱柱的底面邊長和高即可求解.

【詳解】由題意，正四棱柱4B8-ABCQ如下圖:

不妨設正四極柱ABCD-底面邊長為a,\AAt\=h,

2222

由已知條件可得，|BD1\=a+/+h=2a+/?=("了=6,

又因為。A，底面ABC。，所以對角線與底面ABC。所成角為NOB。，因為對角線與底面所成角的余

弦值為無，|8。|=缶，

3

所以《?/08。=段^=畢=@,解得a=l,從而力=2,

IBD11V63

故該正四棱柱的表面積5=1x2x4+1x1x2=10

故答案為：10.

三、解答題

3.（2021?上海市大同中學高二階段練習）如圖，在四棱錐尸-43a）中，底面為直角梯形，AD//BC,

ZBAD=90°,上4垂直于底面ABC。，PA=AD=AB=2BC=2,M、N分別為PC、PB的中點.

（2）求30與平面AOWN所成的角.

【答案】（1）證明見解析；（2）［

O

【分析】（1）由題設易得由已知及線面垂直的性質有8CL面根據線面垂直的判定可證

BC上PB、PAYAB,再由線面垂直的判定及平行的推論可得P8_L面ADMN,最后由線面垂直的性質證

結論.

BN

（2）若BD與平面ADMN所成角為6,由線面垂直易知sin?=蕓，即可求線面角的大小.

【詳解】（1）由/84。=9（）。即AZ）_LAB，又ADUBC,有BC工AB,

：R4_L面ABCD，BCu面ABCD,

/.PA1BC,而尸AnA8=A,則有5C_L面E48,

又PBu面則3C_LP8,

由A3i面A6c0,有上4_LA3，且P4=AB，N為m的中點，則ANLP3,

乂M為PC的中點，有MN//BC,即MN_LPB,而ANRMN=N,

乂ADUBC,則AD//MV,即AMR”共面，

/.PBV^ADMN,而DMu面ADMN,故PB_L￡>河.（2）由（1）知：PB上面ADMN,若3。與平面ADMN

所成角為。€[0,合，且BC=1,

:.BN=?,BD=2叵,則sin6?=絲=[,故。=g.

BD26

二面角

一、單選題

1.（2020?上海?曹楊二中高二期末）設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，尸是棱V64上的點

（不含端點），記直線尸8與直線AC所成角為a,直線總與平面ABC所成角為夕，二面角P-AC-B的平

面角為7,則

A./3<y,a<yB.13<a,（3<y

C.P<a,y<aD.a</3,y<p

【答案】B

【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及

各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應用三角函數知識求解，而后比較大小.而充分利用圖形

特征，則可事倍功半.

【詳解】方法1：如圖G為AC中點，V在底面ABC的投影為。，則尸在底面投影。在線段A。上，過。作

"E垂直AE，易得PE//VG,過戶作PF〃AC交VG于F,過D作DH//AC,交BG于H,則

a=NBPF,B=NPBD，Y=NPED,piijcosa=—=—=—<—=cosp,即a>￡,

PBPBPBPB

PDPD

tany=—>—=tanp,即y>|3,綜上所述，答案為B.

EDBD

方法2：由最小角定理，<a,記V-AB-C的平面角為丫'（顯然Y'=Y）

由最大角定理P<Y'=Y，故選B.

方法3：（特殊位置）取V-ABC為正四面體，P為E4中點，易得

cosa=—=>sina=^^,sinp=siny=>及，故選B.

6633

【點睛】常規解法下易出現的錯誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法“，尋求簡便解

法.

二、填空題

2.（2021.上海.西外高二期中）在正方體ABCD-A4CQ中，二面角A-BC-4的大小是.

【答案】v

【分析】根據二面角的定義判斷二面角A-BC-A的大小.

【詳解】畫出圖象如下圖所示，

由于BC_LAB,BC_LAB,

所以幺曲是二面角A-BC-A的平面角，

根據正方體的性質可知幺8A=?.

TT

故答案為：丁

4

三、解答題

3.(2022?上海?復旦附中高二期中)如圖所示，某農戶擬在院子的墻角處搭建一個谷倉，墻角可以看作如圖

所示的圖形，其中OA、OB、。0,兩兩垂直(OA、OB、。。均大于2米).該農戶找了一塊長、寬分別為2

米和1米的矩形木板.將木板的一邊緊貼地面，另外一組對邊緊貼墻面，圍出一個三棱柱(無蓋)形的谷

(1)若木板較長的一邊緊貼地面，且圍成的谷倉體積為正立方米，問：此時木板與兩個墻面所成的銳二面角

2

大小分別為多少？

(2)應怎樣擺放木板，才能使得圍成的谷倉容積最大？并求出該最大值.

【答案】(1)微和丁

(2)體積最大值為1立方米，此時木板長邊貼地，與兩個墻面所成銳：面角均為45°

【分析】(1)利用設二面角為6或三棱柱底面的一條直角邊長為x兩種方法進行求解即可；

(2)用(1)中的。或x表示谷倉容積，再利用三角函數和基本不等式，進行求最值即可得解.

(1)法一：設其中一個銳二面角的大小為。，

則三棱柱底面的兩條直角邊長分別為2cos。、2sin。，高為1,

體積V=Sh=--2cos0-2sin01=sin20=，解得。=^或￡，

2263

所以此時木板與兩個墻面所成的銳二面角大小分別為3和g.

63

法二：設三棱柱底面的一條直角邊長為x(O<x<2),

則另一條直角邊長為高為1，

體積v=走，解得X=1或6，

22

所以此時木板與兩個墻面所成的銳二面角大小分別為1和9.

63

（2）法一：同（1）中法一所設，

若長邊緊貼底面，體積Y=S/z=L2cose-2sinei=sin2ewi,

2

等號當且僅當時成立；

4

若短邊緊貼底面，體積V=S/2=1-cosasine-2='sin2ew」，

222

等號當且僅當。TT時成立；顯然1＞：1，所以體積最大值為1立方米，此時木板長邊貼地，

與兩個墻面所成銳二面角均為45°.

法二：同（1）中法二所設，

若長邊緊貼底面，體積V=S/7=Lx-j4-x2-"'+4-x-=1,

24

等號當且僅當x=V5時成立；

若短邊緊貼底面，體積丫==LX.忘了.2＜r+1-r=

222

等號當且僅當》=也時成立；

2

顯然1＞；，所以體積最大值為1立方米，

此時木板長邊貼地，

與兩個墻面所成銳二面角均為45°（也可描述底面兩條直角邊長）.

4.（202卜上海?格致中學高二期中）在四棱錐P-A3CD中，底面為梯形，AB//CD,△R40為正三角形,

且PA=4B=2,ZBAP=ZCDP=90°,四棱錐尸―ABC。的體積為2G.

⑴求證:平面上40；

（2）求PC與平面ABCD所成角的正弦值;

（3）設平面B48C平面PCD=/,求證：1〃AB,并求二面角8-/-C的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）姮；（3）￡

103

【分析】（1）根據線面垂直的判定定理，結合題意，即可得證.

（2）根據面面垂直的判定、性質定理，結合正三角形的性質，可證產。,平面A3CQ,則NPCQ即為PC與

平面ABCZ）所成角，據四棱錐的體積，可求得CZ）長，在RMPC。中，求得各個邊長，即可得答案.

（3）根據線面平行的判定和性質定理，可證AB///,結合題意，可得R4_L/,同理P￡>>U,則NAPD即

為二面角8-/-C所成的平面角，根據三角形性質，即可得答案.

（1）證明：因為/CZ）P=90。，所以C￡>_L￡）P,因為鉆〃CO,所以?W_LE>P,

又因為尸=90。，即Afi_LAP,且AP,Z）Pu平面尸4）,

所以AB_L平面PAD；

⑵因為/WJL平面PAD,ABI平面A8C7）,

所以平面_L平面ABCD,

取中點。，連接P。，CQ,

因為△%￡）為正三角形，Q為中點,

所以PQ_LA。，又平面皿）JL平面ABC。，且平面PADfl平面48C￡>=A￡）,

所以PQJ.平面ABCQ,

所以NPCQ即為PC與平面ABCD所成角，

22

在RMP。。中，PQ=y]pD-DQ=^,

設C3長為x,

則四棱錐P-A3co的體積丫=乎詆小尸0=3?（2+、）*2*6=2百,

求得CD氏x=4,

在心△C￡>Q中，CQ=1CD?+DQ2=后,

在RAPCQ中,pc=JCQ?+PQ?=2石，

PQ=6岳

所以sinNPCQ=正一擊一記

所以PC與平面A8co所成角的正弦值為姮

10

(3)證明：因為AB//CZ),CDu平面PCQ,A8<z平面PCQ,

所以A8//平面PCD,

XABI平面B4B,且平BABc平面PC￡>=/,

所以AB///.因為以_LAB，AB//1,

所以「4，/,同理P。，/,

所以NAPD即為二面角8-/-C所成的平面角，

因為△皿>為正三角形，

所以/4尸。=三7F，即二面角B-/-C的大小為彳jr.

鞏固練習

一、填空題

1.(2021.上海奉賢區致遠高級中學高二期中)若正方體AB8-A4CQ的棱長為1，則異面直線A8與。蜴

之間的距離為.

【答案】1

【分析】作出正方體圖像，觀察即可得到答案.

【詳解】如圖：

BR均垂直，，BBI即為兩異面直線的距離,

二、解答題

2.(2021?上海中學高二階段練習)如圖，長方體AB8-ABCQ中，|明=|也=1，|例|=2,點尸為

⑴求證：直線2。〃平面辦C；

(2)求異面直線BDt與AP所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析；(2)30°.

【分析】⑴AC和交于點。，山P。〃鳴即能證明直線8。〃平面PAC.

(2)由PO〃8R,得NAPO即為異面直線BR與AP所成的角.由此能求出異面直線5烏與"所成角的大小.

(1)設4c和BD交于點、。，則。為50的中點，

連結尸O,又；尸是。。的中點，.?.尸。〃8。，

又POu平面PAC,BDt￡平面PAC,

直線8。〃平面PAC；

⑵由⑴知，尸。〃町，ZAPO即為異面直線與心所成的角，

?：\PA\=\PC\=42,|AO|=；|AC|=^B.PO_LAO,

M^_l

sinNAP。===

\AP\O2

又ZAP。e(0°,90°],：.AAPO=30°

故異面直線8R與AP所成角的大小為30。.

3.（2021?上海市進才中學高二期中）已知正四棱錐尸-A8CD中，AB=\,PA=2；

⑴求側棱與底面所成角的正弦值;

（2）求正四棱錐P-ABCD的體積

【答案】（1）且（2）姮

46

【分析】（1）由于正四棱錐P-AB8,故頂點在底面的投影在底面的中心。，連結PO,A。

分析可得NPAO即為側棱與底面所成角，利用題干長度關系求解即可

（2）由于POJ?平面ABCD,VP-ABCD=|xPOxSABCD,計算即可

（1）由于正四棱錐尸-ABCD,故頂點在底面的投影在底面的中心。，連結PO,AO

故P。J_平面ABCD,ZPAO即為側棱與底面所成角

由/W=1,PA=2,故AO=旦AB=顯

22

又PO_L平面ABC￡>,AOu平面ABC。，故PC_LAOPO=JPA?-AO?=j一;=半

故疝〃4。=空眉

PA4

即側棱與底面所成角的正弦值為亞

4

(2)由(I)尸。,平面A8CZ),且「