專題1.30特殊平行四邊形重難點突破專題(專項練習)

一、填空題

類型一、最值問題

1.如圖，正方形ABC。，E是對角線BO上一動點，DFYBD,且DF=BE,連接CE,CF,

2.如圖，矩形A8CD中，AB=2,AD=4,E為8C的中點，F為DE上一動點,尸為4尸中

3.如圖，在矩形ABCC中，AB=6,AD=5,點P在邊4。上，點。在邊BC上，且AP=CQ,

連接CP,QD,則尸C+2。的最小值為.

二、解答題

類型二、條件(結論)探究型

4.如圖，在四邊形ABCO中，AB//CD,AB=AD,CB=CD,點E是CD上一點,連接8E

交AC于點凡連接。F

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)試探究BE滿足什么條件時，NEFD=NBCD,并說明理由.

5.已知“ABC是等邊三角形，點8,。關于直線AC對稱，連接A。，CD.

(1)求證：四邊形A8CD是菱形；

(2)在線段AC上任取一點P(端點除外)，連接PO.將線段PO繞點尸逆時針旋轉，使點D

落在54延長線上的點。處.請探究：當點P在線段AC上的位置發生變化時，NOP。的大

小是否發生變化？說明理由.

(3)在滿足(2)的條件下，探究線段4。與CP之間的數量關系，并加以證明.

6.已知，在正方形ABC。中，連接對角線8,點E為射線C8上一點，連接4E.尸是4E

的中點，過點尸作于尸，交直線于連接ME、MC.

⑴如圖1,當點E在CB邊上時.

①依題意補全圖1;

②猜想/MEC與/MCE之間的數量關系，并證明.

(2)如圖2,當點E在CB邊的延長線上時，補全圖2,并直接寫出AE與MC之間的數量關

系.

7.小明學習了特殊的四邊形后，對特殊四邊形的探究產生了興趣，發現另外一類特殊四邊

形，如圖1,我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是

(2)性質探究：通過探究，直接寫出垂美四邊形ABCO的面積S與兩條對角線AC、BD之間

的數量關系：.

(3)問題解決：如圖2,分別以RtAABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外做正方形ACFG和

正方形ABOE,連結BG、CE交于點N,CE交4B于點M,連結GE.

①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；

②已知AC=4,AB=5,則四邊形BCGE的面積為.

類型三、坐標系中的特殊四邊形

8.圖，平面直角坐標系中，0是坐標原點，直線y=^+15(kxO)經過點C(3,6),與x軸

交于點A,與>'軸交于點5.線段平行于X軸，交直線丁=31于點。，連接OC,AD.

4

(1)填空：k=，點。的坐標是(,)；

(2)求證：四邊形OADC是平行四邊形；

(3)動點尸從點。出發，沿對角線。。以每秒1個單位長度的速度向點。運動，直到點。為

止；動點。同時從點。出發，沿對角線。。以每秒1個單位長度的速度向點。運動，直到點

0為止.設兩個點的運動時間均為r秒.

①當r=2時，ACPQ的面積是.

②在點P,。運動過程中，當CP_LCQ時請直接寫出此時，的值______.

9.如圖，在以點。為原點的平面直角坐標系中，點4,B的坐標分別為(4,0),(4,。)，點C

在)，軸上，且8C〃x軸，b滿足3|+瘧4=0.點產從原點出發，以每秒2個單位

長度的速度沿著O-A-3-C-O的路線運動(回到。為止)

(1)直接寫出點A，B,C的坐標；

(2)求出使得三角形CPO的面積是四邊形0ABe面積的一半的點P的橫坐標；

(3)點P運動f秒后(20),是否存在點P到x軸的距離為，個單位長度的情況.若存在，

求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由

10.對于平面直角坐標系xQy中的兩點A和C,給出如下定義：若A,C是某個矩形對角線

的頂點，且該矩形的每條邊均與X軸或y軸垂直，則稱該矩形為點A,c的“對角矩形”，下

圖為“對角矩形'’的示意圖.已知點A的坐標為(1,1),點C的坐標為&-1).

⑴①當，=4時，點A,C的“對角矩形”的面積S的值為

②若點A,C的“對角矩形”的面積是8,則f的值為；

(2)若點A,C的“對角矩形”是正方形，求直線AC的解析式.

類型四、特殊平行四邊形中的動點問題

11.如圖所示，在矩形ABC。中，A8=24cm,BC=10cm,點P從A開始沿A8邊以4m/s

的速度運動，點。從C開始沿CO邊以2m/s的速度運動，如果點P,Q分別從A,C同時出

發，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為fs.

(1)當f=2時，求P,。兩點之間的距離.

(2)當f為何值時，線段AQ與OP互相平分？

(3)當r為何值時，四邊形APQD的面積為矩形A8C。面積的，.

O

P

12.如圖，在矩形ABCD中,M是邊4。的中點,P是邊BC上的動點，且PELMC,

垂足分別為E,F.

(1)當矩形A8CD的長與寬滿足什么數量關系時，四邊形PEMF是矩形？證明你的結論.

(2)若四邊形PEMF是矩形，當點P運動到什么位置時，四邊形PEMF是正方形？證明你的

結論.

類型五、特殊平行四邊形中的折疊問題

13.如圖，將長方形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在E處，若AB=3,BC=9,則:

(1)試判斷折疊后重疊部分三角形4CF的形狀，并證明；

(2)求重疊部分三角形ACF的面積.

14.如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使頂點8落在邊AD上的點E處，折痕的一端點G在邊

8c上，另一端尸在AO上，AB=8,BG=10.

(1)求證：四邊形BGEF為菱形；

(2)求FG的長.

A'

15.圖，一張矩形紙片ABC￡>,點E在邊AB上，將△BCE沿直線CE對折，點B落在對角

線AC上，記為點H

(1)若AB=4,BC=3,求AE的長.

(2)連接。凡若點D,F,E在同一條直線上，且。尸=2,求4E的長.

16.如圖1,在四邊形ABC。中，AB//DC,AB=AD,對角線AC、BZ)交于點O,4c平

分ZBAD.

(1)求證：四邊形A8CO是菱形；

(2)如圖2,點E是C。邊上一點，將四邊形ADE8沿著8E翻折得到四邊形若點次恰

好落在邊OC的中點處，且BO=2及，求菱形438的周長.

D

ED,

A,

AB

圖2

圖1

17.如圖，折疊矩形ABC。的一邊A。，使點。落在2c邊上的點F處，AE是折痕.

(1)如圖1,若AB=4,AD=5,求折痕AE的長；

(2)如圖2,若AE=布,且EC：FC=3：4,求矩形ABC。的周長.

圖1圖2

18.綜合與實踐

在數學教學中，教師和學生都學習到了新知識，掌握了許多新技能.例如教材八年級下冊的

數學活動——折紙，就引起了許多同學的興趣.在經歷圖形變換的過程中，進一步發展了同

學們的空間觀念，積累了數學活動經驗.

實踐發現：

對折矩形紙片ABCD,使A。與8c重合，折痕為EF,把紙片展平：再一次折疊紙片，使點

A落在EF上的點N處，并使折痕經過點8,折痕為BM,把紙片展平，連接AN,如圖①;

(1)折痕8M所在直線是否是線段4N的垂直平分線？請判斷圖中是什么特殊三角形？

請寫出解答過程.

(2)繼續折疊紙片，使點A落在2c邊上的點H處，并使折痕經過點3,得到折痕BG,把紙

片展平，如圖②，求/GBN的度數.

(3)拓展延伸：

如圖③，折疊矩形紙片ABCD,使點A落在BC邊上的點片處，并且折痕交BC邊于點7,

交AO邊于點S,把紙片展平，連接交S7于點0,連接AT；求證：四邊形S4Z4'是菱

形.

19.如圖，已知以AA8C的三邊為邊，在BC的同側分別作等邊三角形4B。、BCE^ACF.

(1)求證：四邊形AQEF是平行四邊形；

(2)△ABC滿足什么條件時，四邊形AOEF是菱形？是矩形？并說明理由；

(3)這樣的平行四邊形AOEF是否總是存在？請說明理由.

20.如圖，矩形。4BC中，點A在x軸上，點C在y軸上，點8的坐標是(6,8),將矩形0A8C

沿直線BO折疊，使得點C恰好落在對角線上的點E處，折痕8力所在直線與y軸、x

軸分別交于點。、F.

(1)求線段OE的長；

(2)求點尸的坐標；

⑶若點M在直線y=上，則在直線8。上是否存在點P,使以C、D、M、P為頂點的

四邊形是平行四邊形？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標；不存在，說明理由.

參考答案

1.2

【解析】

【分析】

過C作CE，B￡＞于點E,根據正方形的性質易得A￡B（WAEDC（S4S）,進而得到CE=CF,

NBCE=NDCF,易得到△ECF是等腰直角三角形，進而求出￡尸=應CE，當E運動到￡

時，CE最小，最小值即為CE的長度，此時EF最小值為EP=^CE'，求出CE'即可求解.

【詳解】

解：過C作CE'LBD于點￡,如圖：

?.?四邊形A8CO是正方形，

,CD=BC,NDBC=ABDC=45°.

?:DFLBD,

：.NF?3=90°,

NFDC=NFDB-NBDC=90。-45。=45°,

，ZFDC=ZEBC.

在AEBC和△尸。C中

BE=DF

NEBC=ZFDC,

BC=CD

：.^EBC^FDC(SAS),

CE=CF,ABCE=NDCF.

NBCF+NECD=90°,

：.ZDCF+ZECD=90°,

即NECF=90°,

尸是等腰直角三角形，

EF=?CE，

...當CE最小時，E尸最小，

...當E運動到￡時，CE最小，最小值即為CE的長度，此時所最小值為m=&C￡.

VAB^2,CE工BD,

：.CE'=-BD=-x>/2x2=y/2,

22

尸最小值為&C￡=V^x&=2.

故答案為：2.

【點撥】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三

角形的性質，求出EF=0CE是解答關鍵.

2.272

【解析】

【分析】

取AO中點，，連接84,CH,設8”與AE的交點為0,連接C0,可證四邊形DE8H是平

行四邊形，可得BH〃DE,由三角形中位線定理可得尸”〃ED,可得點P在8〃上，當

CPL2,時，PC有最小值，即可求解.

【詳解】

解：如圖，取A。中點H,連接B",CH,設3”與AE的交點為0,連接CO,如圖所示:

???四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CO=2,AO=BC=4,AD//BC,NBAH=NCDH=90°,

..?點E是8c中點，點，是AO中點，

：.AH=CE=DH=BE=AB=CD=2,

.?.四邊形BEDH是平行四邊形，NAHB=/ABH=-x90°=45°,

2

ZDHC=ZDCH='x90。=45。，

2

BH//DE,

??,點P是AF的中點，點，是的中點，

PH〃ED,

，點戶在8H上，

ZAHB=NDHC=45’,

：.ZBHC=180°-45°-45°=90°,

BH±CH,

Y點P在BH上,

...當CPLBH時，此時點P與”重合，PC有最小值，

在RtACDH中,CH=^Clf+DH2=20

的最小值為20，

故答案為：20.

【點撥】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質，平行四邊形

的性質，垂線段最短等知識，確定點P的運動軌跡是本題的關鍵.

3.13

【解析】

【分析】

連接8P,在8A的延長線」二截取AE=A8=6,連接PE,CE,PC+QD=PC+PB,則PC+。。的

最小值轉化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=6,則

PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,根據勾股定理可得結果.

【詳解】

解：如圖，連接8P,

在矩形48co中，AD//BC,AABC,

'：AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

...四邊形。P8Q是平行四邊形，

：.PB//DQ,PB=DQ,

貝ijPC+QD^PC+PB,貝ljPC+QD的最小值轉化為PC+PB的最小值，

在BA的延長線上截取AE=AB=6,連接PE,

,：PA1.BE,

...以是8E的垂直平分線，

；.PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

連接CE,則PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,

,:BE=2AB=12,BC=AD=5,

CE=4BE?+BC?=V122+52=13.

；.PC+P8的最小值為13.

故答案為：13.

【點撥】本題考查的是最短線路問題，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，熟知兩點之

間線段最短的知識是解答此題的關鍵.

4.(1)見解析

(2)當8E_LC。時，NEFD=NBCD,理由見解析

【解析】

【分析】

(1)首先利用SSS定理證明4ABC咨△ACC可得NBAC=ND4C,由平行線的性質可得

ZCAD^ZACD,再根據等角對等邊可得AD=C￡>,再由條件A8=AD,CB=C。可得

Afi=CB=CD=AD,可得四邊形ABC。是姜形：

(2)首先證明△BCFV4DCF可得NCBF=NCDF,再根據BE工CD可得NBEC=NDEF=90。,

進而得到

(1)

AB=AD

證明：在△48C和△ACC中，，CB=CD,

AC=AC

/.△A?C^AXDC(SSS).

：.ZBAC^ZDAC.

,:AB〃CD,

：.ZBAC=ZACD.

：.ZDAC=ZACD.

：.AD=CD.

"：AB=^AD,CB=CD,

：.AB^CB=CD=AD.

四邊形ABC￡＞是菱形.

(2)

解：當8E_LCO時，NEFD=NBCD.理由：

由(1)知四邊形ABC。為菱形，

：.ZBCF=ZDCF.

BC=DC

在ABC尸和AOC尸中，,NBCF=NDCF,

CF=CF

：.ABCF^ADCF(SAS).

:.NCBF=NCDF.

'：BE±CD,

：.ZBEC=ZDEF=90°.

：.ZBCD+ZCBF=/EFO+/CO尸=90°

:.NEFD=NBCD.

【點撥】本題主要考查了菱形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，同角或等角的余角

相等，靈活運用三角形全等的判定及性質是解本題的關鍵.

5.(1)見解析

(2)NOP。大小不變，理由見解析

(3)CP=AQ,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接8。，由等邊三角形的性質可得AC垂直平分8D,繼而得出4?=BC=CD=A。，

便可證明；

(2)連接PB,過點P作PE〃CB交AB于點E,P產，A8于點F,可證明VAPE是等邊三

角形，由等腰三角形三線合一證明=NQPF=NBPF,即可求解；

(3)由等腰三角形三線合一的性質可得4尸=尸￡QF=BF,即可證明.

⑴

連接BD,

???AABC是等邊三角形，

:.AB=BC=AC,

■:點B,。關于直線AC對稱，

垂直平分BD,

：.DC=BC,AD=AB,

AB=BC=CD=AD,

四邊形A8CD是菱形；

(2)

當點。在線段AC上的位置發生變化時，NOPQ的大小不發生變化，始終等于60。，理由如

下：

???將線段PD繞點尸逆時針旋轉，使點D落在延長線上的點。處，

；.PQ=PD,

???AABC是等邊三角形，

AB=BC=AC,ABAC=ZABC=AACB=60°,

連接尸8,過點尸作PE〃C3交A8于點E,PALABF點凡

則ZAPE=ZACB=60°,ZAEP=ZABC=60°,

ZAPE=ABAC=60°=ZAEP.

.【△APE1是等邊二角形,

:.AP=EP=AE,

???PF上AB,

ZAPF=NEPF,

???點從。關于直線AC對稱，點尸在線段AC上，

?.PB=PD,ZDPA=ZBPA,

PQ=PD,

??PhAB,

?,.ZQPF=ZBPF,

???NQPF-/APF=NBPF-NEPF,

即/Q%=NBPE,

ZDPQ=ZDPA-ZQPA=ZBPA-ZBPE=NAPE=60。；

(3)

AQ=CP,證明如下：

-AC=ABtAP=AE,

：.AC-AP=AB-AE,即CP=BE,

?:AP=EP,PFLAB,

?.AF=FE,

?；PQ=PD,PFA.AB,

QF=BF,

「?QF-AF=BF-EFfBPAQ=BE,

?.AQ=CP.

【點撥】本題考查了圖形的旋轉，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，菱形的判

定等，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

6.(1)①見解析；②NMEC=NMCE,見解析

(2)見解析，AE=6CM.

【解析】

【分析】

(1)①根據題意作圖；

②連接AM,利用ASA證明推出MA二A/C,即可得到NMELNMCE；

(2)利用ASA證明△AOMZZ\CDM,推出M4=MC,ZMAD=ZMCD,再證明△EM4

是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解.

(1)

解：①補全圖如圖所示,

②NMEC=NMCE,

證明：連接AM,

是AE的中點，FMLAE,

???四邊形A8CQ是正方形，8。是對角線,

:./ADM=/CDM,AD=CD,

AAD=CD

在AAOM和△COM中，＜ZADM=/CDM,

DM=DM

：.(ASA),

：.MA=MCf

:,ME=MC,

：.NMEC=/MCE；

(2)

解：AE=41CM,

:F是AE的中點，FMLAE,

：.MA=ME,

???四邊形A8CO是正方形，3。是對角線,

???NADM=NCDM,AD=CD,

NAO=CD

在AADMflUCDM中，,ZADM=ZCDM,

DM=DM

：./\ADM^^CDM(ASA),

：.MA=MCfZMAD=ZMCDf

???ZMEC=ZMCE,

：./MEC+NMAD=/DCM+/MCE=90。,

*：AD//CEf

：.ZDAE+ZCEA=\SO°f

AZMAE+ZME4=90°,

ZAAfE=90°,

1?△EMA是等腰直角三角形，

:?AE=4iAM=6CM.

【點撥】本題主要考查正方形的性質和線段垂直平分線的性質，關鍵是掌握兩者性質定理并

能靈活使用.

7.(1)菱形和正方形

(2)yACBD

⑶①證明見解析；②?

【解析】

【分析】

⑴由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質即可得出結論；

(2)四邊形A8CO的面積=△A8C的面積+△ADC的面積=；4CBO+；ACOO=；ACBD-,

(3)①連接CG、BE,證出NGA8=NC4E,由SAS證明AG4B絲△C4E,得出8G=CE,

NA8G=NAEC,再由角的互余關系和三角形內角和定理求出NBMW=90。，得出BG,CE即

可；

②根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合(2)的結論計算即可.

⑴

(1)?.?在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形、正方

形，

...菱形和正方形一定是垂美四邊形:

故答案為：菱形、正方形；

(2)

如圖1所示：

D

圖1

;四邊形A8CC的面積=△A8C的面積+△AZ5C的面積

222

故答案為：—ACBD；

(3)

證明：連接CG、BE,如圖2所示：

???四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形,

，ZF=ZCAG=ZBAE=90°,

FG=AG=AC=CF,AB=AE.

：.ZCAG+/BAC=NBAE+/BAC,

即NGAB=ZCAE,

在△648和4CAE中，

AG=AC

</GAB=ZCAE

AB=AE

△GABgACAE(SAS),

：.BG=CE,ZABG=ZAEC,

又：/AEC+/AME=90°

NAME=NBMN,

ZABG±ZBMN=90°

，NBNM=90°

：.BG1CE,

四邊形8CGE為垂美四邊形；

"：FG=CF=AC=4,ZACB=90°,AB=5,

-'-BC=ylAB2-AC2=3-

BF=BC+CF=7,

在BFG中，

BG=J/+FG。=Q+42=屈，

:.CE=BG=底,

，四邊形8CGE為垂美四邊形，

/.四邊形BCGE的面積=1BGCE=里,

故答案為：—

【點撥】本題是四邊形綜合題目，考查的是垂美四邊形的判定與性質、正方形的性質、全等

三角形的判定和性質、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運

用勾股定理是解題關鍵.

8.(1)-3,8,6

(2)見解析

⑶①9②5+9或5-而

【解析】

【分析】

(1)代入C點坐標求出上的值，再根據線段而平行于X軸，交直線y=Jx于點。，得出。

4

點的縱坐標為6,代入反比例函數解析式求解即可；

(2)先通過點的坐標求出OA=C￡>,再根據題意得出Q4〃8,即可證明;

3

（3）①作C7/_LO。與“，設”的坐標為（見二次），由勾股定理得。“2+。”2=。。2,算出

CH的長度，根據運動時間求出PQ的長度即可求解；

②先確定四邊形C用。是矩形，根據對角線相等確定。。的長度，再根據尸、。的位置分情

況計算即可.

（1）

?.?直線y="+15（無，0）經過點C（3,6）,

「.6=32+15，

2=-3,

???線段CD平行于x軸，交宜線），==x于點。，

4

??.D點的縱坐標為6,

,_3

?'6=4X,

.,.x=8,

.??點。的坐標是（8,6）,

故答案為：—3,8,6；

（2）

由（1）知，點。的坐標為（8,6）,

?.?直線y=-3x+15與x軸交于點A,

???點A的坐標為（5,0）,

:點C的坐標為（3,6）,

CD=8—3=5,

OA=CD=5,

乂?.?線段8平行于x軸，

OA//CD,

二四邊形OADC為平行四邊形；

（3）

①作C”J_OO與H,

3

???H點在直線上,

4

3

.二設〃的坐標為。幾;”)，

4

33

CH'=(m-3)2+(-/n-6)2,DH2=(m-8)2+(-/?-6)2,

由勾股定理得，CH'DH?=CD，，

即(m-3)2+(-/n-6)2+(m-8)2+(-m-6)2=52,

44

24

解得機=三或8(舍去)，

:.CH=3,

?.?0￡)=花2+62=10,

.?1=2時，PQ=OD-t-t=10-2-2=6,

S^CPQ=-PQCH=^x6x3=9,

故答案為：9；

②由(2)知，四邊形。4OC是平行四邊形，

.1.。。與4c互相平分，

又???點尸、。的運動速度相同，

???PQ與AC互相平分，

四邊形CF。是平行四邊形，

當CP_LCQ時，

四邊形CFQ是矩形，

v00=10,

當0W5時，尸。=10-2/,

當5Wf<10時，PQ=2t-\Q,

當尸、0運動至四邊形CR1Q為矩形時，PQ=AC,

-.-AC=7(5-3)2+62=2回,

當04r45時，PQ=10-2r=2屈，

解得r=5-Vi3，

當54f410時，P2=2r-10=2>/i0,

解得f=5+ViU,

綜上，點尸，。運動過程中，當CPLCQ時，t的值為5+而或5-癡，

故答案為：5+J而或5-J16.

【點撥】本題考查了一次函數的性質，平行線的判定和性質，矩形的判定和性質，熟練掌握

知識點是解題的關鍵.

9.(l)A(3,0),2(3,4),C(0,4)

(2)3

⑶(3,1)或(0考14)

【解析】

【分析】

(1)直接根據矩形的性質寫出坐標即可；

(2)當尸點在線段AB上時滿足要求，此時尸點橫坐標與4點橫坐標相等，即可作答；

(3)點戶可能運動到A8或8c或OC上，所以進行分類討論.

(1)

'：\a-3>\+4b^4=0,

."-3=0,6-4=0,

a=3,b=4,

根據平面直角坐標系得，

43,0),3(3,4),

8C〃x軸，

???C點、8點的縱坐標相等,

，C(0,4)；

⑵

?”(3,0),8(3,4),

；.A8J_x軸,

軸,

.-.BC1.AB,

???可得四邊形OA8C是矩形,

=

即四邊形8c的面積為：S四邊彩OAHCOCxOA=4x3=12,

當P點在線段A8上時,

即有P點橫坐標與A點橫坐標相等為3,

SAro?=—xOCxP=ix4x3=6

ZACC/r2A2

則有S&COP=5S四邊形QA8C,

此時尸點橫坐標為3,

當尸點在線段OA或者線段BC上時,

S&COP=2PX

,-,此時P點橫坐標小于A點橫坐標，即RV3,

??S&COP=24<6,

,,SACOP<5S四邊形OABC(

故此時P點不滿足要求;

當P點在OC上時，顯然治,8=0,不滿足要求;

綜上：P點橫坐標為3；

⑶

存在,

如圖2,?〃工0,

點可能運動到AB或BC或OC上,

①當點尸運動到ABI二時,2r47,

7

0<r<—,々A=2t-OA=2r-3,

.-.2t-3=-t,

2

解得：t=2,

.-.^A=2x2-3=1.

.??點6的坐標為(3,1)；

②當點P運動到3c上時，742r410,即點鳥到x的距離為4,

廠,

解得：r=8.

7

f<5,

2

??,不符合題意;

③當點尸運動到OC上時，10<2r<14,即

AO=OA+AB+8C+OC-2/=14-2f,

.-.14-2r=-Z,

2

解得：”三，

n八-28-14

=-2x—+14=—

14

???點6的坐標為（0,不），

綜上所述，點尸運動f秒后，存在點尸到x軸的距離為個單位長度的情況，點的尸坐標為:

（3」）或（0考14）.

圖2

【點撥】本題考查了矩形的性質、平行線的性質、絕對值與二次根式的非負性、坐標與圖形

的性質，解題的關鍵是掌握非負數的性質，矩形的性質.

10.(1)①6；②5或-3

(2)直線AC的解析式為y=-x+2或y=x

【解析】

【分析】

(1)①求出C(4,-1),根據“對角矩形”的定義得到8(1,-1),求出A8、BC,再根據

公式計算面積；

②求出AB=l-(-l)=2,BC=|r-l|,利用面積公式得到2，-1|=8,求出f即可；

(2)根據正方形的性質得到A8=8C,列得方程卜-1|=2,解得=3或片-1；利用待定系數

法求出解析式.

(1)

解：①當r=4時，C(4,-1),

;四邊形4BCD為“對角矩形”，A(1,1),

：.B(1,-1),

；.AB=1+I=2,8c=4-1=3,

???"對角矩形”的面積S=2x3=6,

故答案為：6

②???點4的坐標為(11)，點C的坐標為&-1).

.*.AB=l-(-l)=2,BC="1|,

???點4,C的“對■角矩形''的面積是8,

2!?-1|=8,解得仁5或43；

故答案為:5或-3；

(2)

???點A,C的“對角矩形”是正方形，

：.AB=BC,

.?.卜—1|=2,解得3或U-1；

：.C(3,-1)或(-1,-1),

設直線AC的解析式為產fcv+b,將A(1,1),C(3,-1)代入得

[k+b=\,[k=-\

k.,I，解得“…

[3k+b=-[[h=2

???直線AC的解析式為產-"2；

設直線4c的解析式為廣〃a+〃，將A(1,I),C(-1,-1)代入得

[m+n=l,[m=\

解得n，

[-m+n=-i=0

直線AC的解析式為產x；

綜上，直線AC的解析式為y=-x+2或y=x.

【點撥】此題考查了矩形的性質，正方形的性質，待定系數法求函數解析式，解一元一次方

程，正確理解矩形的性質及正方形的性質是解題的關鍵.

11.(1)2^/6Tcm

(2)4s

(3)3s

【解析】

【分析】

(1)當片2秒時，表示出QC,AP的長，利用勾股定理求出PQ的長即可.

(2)根據線段A0與。P互相平分，則四邊形APQDA為矩形，也就是分別用含,

的代數式表示,解出即可.

(3)用r表示出四邊形APQO的面積，再求出矩形面積的。進而得出即可.

O

(1)

解：連接PQ，過。點尸作PEJ_OQ于點E,如圖所示:

：A8=24cm,BC=10cm,點P從A開始沿AB邊以4cm/s的速度運動，點QA從C開始沿8

邊2cm/s的速度移動，

.,.當/=2秒時，QC=4cm,AP=8cm,

.'.￡>Q=24-QC=20cm,則EQ=12cm,

PQ=y)QE2+PE2=>/102+122=2病(cm),

。兩點之間的距離2y/61cm.

(2)

"：AP=4t,DQ=24-2t,

當線段A。與DP互相平分，則四邊形APQC為矩形時,

則4P=。。，即4r=24-23

解得：片4,

故，為4s時，線段A0與。P互相平分.

(3)

在AB上，

：.S=^(DQ+AP)AD

=-(4f+24-2f)xl0

2

=10f+120(0</<6),

S矩9BC”=10x24=240，

.-.10f+120=-x240,

8

解得：/=3,

.1為3秒時，四邊形APQD的面積為矩形面積的，.

O

【點撥】本題考查了矩形的性質及勾股定理的應用，根據運動速度得出QC以及AP的長是

解題關鍵.

12.⑴當AD=2AB時，四邊形PEM尸是矩形，理由見解析

(2)當點P運動到邊BC的中點時，矩形PEMF是正方形，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)當仞=2/3時，四邊形PEMF是矩形.根據矩形的性質推出NA=NO=90。，

AM=DM=-AD.得到NABM=ZAM3=45。，ZDCM=ZDMC=45°,求出

2

ZBMC=180°-45°-45°=90°,即可證得結論：

(2)當點尸運動到邊8c的中點時，矩形PEM尸是正方形；證明△BFPgzXCEP(AAS),

得到PF=PE.由此得到四邊形PEM尸是正方形.

(1)

當時，四邊形尸是矩形.

證明：?四邊形48co是矩形，M是邊4力的中點，

,ZA=ZD=90。，AM=DM=-AD.

2

,/AD=2AB=2CD,

：.AB=AM=DM=CD，

：.ZABM=ZAMB=45°,NDCM=ZDMC=45°,

ZBMC=180°-45°-45°=90°,

又PFIBM,

，ZMEP=ZMFP=90°,

.??四邊形PEM尸是矩形，

即當">=2A8時，四邊形PEMF是矩形.

(2)

當點P運動到邊BC的中點時，矩形PEMF是正方形，此時BP=CP.

證明：?..四邊形尸為矩形，

4PFM=NPFB=APEC=90°.

NFBP=NECP=45°

在△8FP和ACEP中，，NPFB=ZPEC,

BP=CP

：.ABFP^ACEP(AAS),

/.PF=PE.

又???四邊形PEMF是矩形，

矩形PEMF是正方形，

即當點尸運動到8c的中點時，四邊形PEMF是正方形.

【點撥】此題考查了證明四邊形是矩形，證明四邊形是正方形，掌握矩形及正方形的判定定

理及正確的論證方法是解題的關鍵.

13.(l)AAFC是等腰三角形

嗚

【解析】

【分析】

(1)先根據平行線的性質得到ND4C=N4C8,再由圖形折疊的性質可得到NACB=NACE,

繼而可得出ND4C=NACE,這即可判斷出后重疊部分三角形的形狀；

(2)設AF長為x,貝FD=9-x,在宜角三角形CCF中，利用勾股定理可求出x,繼

而利用三角形面積公式進行計算求解.

(1)

解：aAFC是等腰三角形.理由如下：

?..四邊形ABC。是矩形，

.'.AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

由圖形折疊的性質可知：ZACB=ZACE,

：.ZDAC=ZACE.

.二△AFC是等腰三角形；

⑵

AF=CF=x,貝!jFC=9-x,

在RtACDF中，

(9-x)2+32=x2,

解得：x=5,

：.AF=5,

：.SAAFC=^AFXCD=^-X5X3=—.

222

故重疊部分面積為5.

【點撥】此題考查了圖形的折疊變換，能夠根據折疊的性質和勾股定理求出AF的長是解答

此題的關鍵.

14.(1)見解析；

(2)FG=4亞.

【解析】

【分析】

(1)由四邊形A8CD是矩形，根據折疊的性質，易證得AEFG是等腰三角形，即可得EF

=BG,又由E尸〃8G,即可得四邊形8GEF為平行四邊形，根據鄰邊相等的平行四邊形是

菱形，即可得四邊形8GEF為菱形；

(2)過點尸作FKJ_8G于K,可得四邊形A8KF是矩形，然后根據勾股定理，即可求得”

的長，繼而求得PG的長.

(1)

證明：???四邊形ABCD是矩形，

：.AD//BC,

:.NEFG=NBGF,

???圖形翻折后點3與點E直合，GF為折線，

:.NBGF=NEGF,

ZEFG=ZEGF,

:.EF=GE,

圖形翻折后BG與GE完全重合，

BG=GE,

:.EF=BG,

???四邊形BGEF為平行四邊形，

四邊形BGEF為菱形；

⑵

解：過點F作FK_L8G于K,則/FKB=90。,

四邊形A3KF是矩形，

：.FK=AB=S,BK=AF,

在心△A8F中，AB=8,ZA=90°,BF=BG=10,

'-AF=^BF2-AB-=6>

：.BK=AF=6,

：.GK=BG-BK=\O-6=4,

FG=yjFK2+KG2=V82+42=4石?

【點撥】此題考查了折疊的性質，平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，矩形的性

質，以及勾股定理等知識.此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的

應用.

15.(l)AE=g

(2)AE=2

【解析】

【分析】

(1)根據勾股定理和折疊的性質，求出AF=2,設AE=x,則BE=4—x=FE,然后利用勾

股定理，即可求出答案；

(2)由折疊的性質，得到。C=OE,又點。，F,E在同一條直線上，NEFC=NB,然后

證明ACDF/△OE4,即可求出答案.

(1)

解：如圖1,矩形紙片A8CD中，?；AB=4,BC=3,

DC

圖1

故由勾股定理可得4c=5.

由折疊知：FC=BC=3,NEFC=NB=90。,BE=FE.

：.AF=AC-FC=5-3=2.

設4E=x,^\BE=4-x=FE.

在RAAFE中，22+(4-x)2=d,

解得：x=|.

AAE=-.

2

(2)

：如圖2,矩形紙片ABC。中，

圖2

DC//AB.

:.NDCE=NBEC,

由折疊知：NBEC=NFEC,

:.NDCE=/FEC,

：.DC=DE.

又?.?點O,F,E在同一條直線上，/EFC=NB,

，NOFC=90°,

：.ZDFC=ZDAE=90°,

而CF=CB=DA,

^CDF^/XDEA,

：.AE=-DF=2.

【點撥】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識，

解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確地運用折疊的性質進行計算.

16.(1)證明見解析

⑵16

【解析】

【分析】

(1)運用平行線性質及角平分線的性質，證得NQCA=/04C,從而得到CO=AC,通過

等量代換可得，CD=AB,由A8〃CC,得四邊形A3CQ是平行四邊形，結合得

到平行四邊形A8C。是菱形.

(2)通過翻折性質及已知條件，設。紡=DE=x貝lJCW=2x,8c=￡>C=4x,在心A8CE中,

RmBDUE中,分別運用勾股定理，建立關于x的方程，解方程，從而求出菱形的周長.

(1)

證明：'JAB//CD,

：.ZCAB=ZDCA,

「AC為ND48的平分線，

二NCA8=NOAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.CD^AD,

又?.,AD=AB

：.CD=AB.

'：AB//CD,CD=AB,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

又,.,A￡)=AB,

平行四邊形A8C。是菱形；

⑵

解：：四邊形AOE8沿著3E翻折得到四邊形A77團，且以恰好為￡>C的中點,

C.BEVCD,

設WE=DE=x,則CW=2x,BC=DC*

在.M△BCE中,BC=4x,CE=3x,則BE=V7x,

在/??△BD^E中，BE2+ED'1=BD2，

，/+(缶了=Q應>,解得41,

：.DC=4x=4,

，菱形A8C￡>周長為16.

【點撥】本題考查了菱形的判定與性質，勾股定理求直角三角形的邊長，運用翻折性質，大

膽設未知數建立方程是解題的關鍵.

17.⑴亞

2

喈

【解析】

【分析】

(I)由勾股定理求出BF,C尸的長，設EF=DE=x,則CE=4-x,得出22+(4-x)W,解方

程即可得解；

(2)設EC=3x,貝i」FC=4x,得出EF=DE=5x,設AF=A￡>=y,則BF=y-4x,在RAABF中，

得出(8x)2+(y-4x)2=),2,則y=10x,得出(10x)2+(5x)2=(>/5)2,解出X的值，求出

AD和A3的長，則答案可求出.

(1)

解：???四邊形A8c。是矩形，

ZABC=9O°,AB=CD=4,AO=BC=5,

由折疊可知，AD=AF=5,DE=EF,

二BF=ylAF2-AB2='5-42=3，

，FC=BC-BF=5-3=2,

設EF=DE=x,則CE=4-x,

,：C產+CE2=￡產，

：.22+(4-x)2=x2,

解得：x=|,

(2)

解：,:EC：FC=3：4,

.,.設EC=3x,JJllJFC=4x,

?'?EF=7CF2+CE2=5A-,

DE=5x,

.'.AB=CD=Sx,

設AF=AD=y,則BF=y-4x,

在Rt4ABF中，AB2+BF2=AF2,

：.(8x)2+(y-4x)2=y2,

解得y=10x,

在Rt&ADE中，Aiy+DE^AE2,

???(lOx)?+(5x)2=(石)2,

解得尸(或戶!(舍去)，

Q

.\AD=[0x=2,AB=Sx=-,

Q%

...矩形A8CQ的周長為(2+羨)x2=y.

【點撥】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質及方

程思想是解題的關鍵.

18.(1)折痕所在直線是線段AN的垂宜平分線，A的是等邊三角形，過程見解析

(2)15°

(3)見解析

【解析】

【分析】

(1)由折疊的性質可得AN=BN,AE=BE,Z/VEA=90°,垂直平分AN,NBAM=NBNM

=90°,可證△ABN是等邊三角形；

(2)由折疊的性質可得NABG=NHBG=45。，可求解；

(3)由折疊的性質可得AO=A'O,AA'IST,由“AAS”可證△ASO04A7O,可得SO=TO,

由菱形的判定可證四邊形SA7次是菱形.

(1)

解：如圖①，

???對折矩形紙片A8CD,使與8c重合，

尸垂直平分A8,

:.AN=BN,AE=BE,NNE4=90。，

???再一次折疊紙片，使點4落在EE上的點N處，

垂直平分AN,/8AW=NBNM=90。，

：.AB=BN,

：.AB=AN=BN,

...△A8N是等邊三角形，

解：???折疊紙片，使點A落在8C邊上的點”處,

NABG=/"5G=45°,

：.ZGBN=ZABN-ZABG=\50,

⑶

證明：；折疊矩形紙片A8CO,使點4落在8c邊上的點4處,

.?.ST垂直平分AA,

：.AO^A'O,AA'LST,

"：AD/7BC,

：.ZSAO^ZTA'O,ZASO^ZA'TO,

?*.AA5<9^AA'TO(AAS)

：.SO=TO,

，四邊形ASA7是平行四邊形，

又辦人。。

四邊形SA7X'是菱形.

【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性質，

折疊的性質，等邊三角形的判定和性質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

19.(1)證明見解析；

(2)當48=4C時，四邊形AOEF是菱形，當NBAC=150。時，四邊形ADE尸是矩形.理由見

解析；

(3)不總是存在，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)根據等邊三角形的性質得出AC=46AB=BD,BC=BE,ZEBC=ZABD=60°,求

出/O8E=NA8C,根據SAS推出AOBE<ZVIBC,根據全等得出￡>E=AC,求出力E=AF,

同理AZ)=EF,根據平行四邊形的判定推出即可；

(2)當A8=AC時，四邊形ADEF是菱形，根據菱形的判定推出即可；當N