1第十二章彎曲變形2主要內容§12.1

引言

§12.2

梁變形基本方程

§12.3

計算梁位移的積分法

§12.4計算梁位移的疊加法

§12.5簡單靜不定梁

§12.6梁的剛度條件與合理設計3

工程中的彎曲變形問題彎曲變形及其特點

撓度與轉角§12.1引言4工程中的彎曲變形問題5工程中的彎曲變形問題6工程中的彎曲變形問題搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至會出現廢品。橋式起重機的橫梁變形過大，則會使小車行走困難，出現爬坡現象。工程中的彎曲變形問題8工程中的彎曲變形問題汽車上使用的疊板簧但在另外一些情況下，有時卻要求構件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。9工程中的彎曲變形問題10工程中的彎曲變形問題11彎曲變形及其特點

撓曲軸是一條連續、光滑曲線對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向對稱面的平面曲線撓曲軸變彎后的梁軸，稱為撓曲軸

研究彎曲變形的目的，進行梁的剛度計算，分析靜不定梁，為研究壓桿穩定問題提供有關基礎

對于細長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計,

因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交12撓度與轉角轉角－撓度撓度與轉角的關系（小變形）撓度－橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移－撓曲軸方程轉角－橫截面的角位移－轉角方程（忽略剪力影響）（rad）13

撓曲軸微分方程

撓曲軸近似微分方程§12.2梁變形基本方程14撓曲軸微分方程（純彎）（忽略剪力對梁變形的影響，推廣到非純彎）

w－彎矩引起的撓度

smax<sp－撓曲軸微分方程平面曲線任意一點的曲率為：15撓曲軸近似微分方程小變形時：－撓曲軸近似微分方程

小變形

坐標軸

w

向上應用條件：坐標軸

w

向下時：16撓曲軸微分方程的積分與邊界條件積分法求梁位移

撓曲軸的繪制例題§12.3計算梁位移的積分法17撓曲軸微分方程的積分與邊界條件約束處位移應滿足的條件－位移邊界條件梁段交接處位移應滿足的條件－位移連續條件利用位移邊界條件與連續條件確定積分常數18積分法求梁位移qA

=?EI=

常數建立撓曲軸近似微分方程并積分利用邊界條件確定積分常數由條件

(1),(2)

與式

(b)

，得計算轉角（）規定：向上的撓度為正；逆時針的轉角為正19撓曲軸的繪制繪制依據

滿足基本方程

滿足位移邊界條件與連續條件繪制方法與步驟

畫

M圖

由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置

由M圖的正、負、零點或零值區，確定撓曲軸的

凹、凸、拐點或直線區，即確定撓曲軸的形狀20例題例

3-1用積分法求梁的最大撓度，EI為常數解：1.建立撓曲軸近似微分方程并積分AC段CB段213.最大撓度分析（）當a>b

時位移邊界條件：位移連續條件：2.確定積分常數發生在AC段22例

3-2

建立撓曲軸微分方程，寫出邊界條件，EI

為常數解：1.建立撓曲軸近似微分方程AB段:CB段:2.邊界條件與連續條件位移邊界條件：位移連續條件：23F=qa例

3-3繪制撓曲軸的大致形狀F=qa24

疊加法

逐段分析求和法例題§12.4計算梁位移的疊加法25疊加法方法分解載荷分別計算位移求位移之和當梁上作用幾個載荷時，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨作用時在該截面引起的位移的代數和或矢量和26理論依據上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合（小變形,比例極限內）（小變形）疊加法適用條件：小變形，比例極限內27逐段分析求和法分解梁分別計算各梁段的變形在需求位移處引起的位移求總位移在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時，其余梁段視為剛體28例題例

4-1q(x)=q0cos(px/2l)，利用疊加法求wB=?解：()()29例

4-2解：()()()30例

4-3圖示組合梁，EI=常數，求

wB與qA()()解：31例

4-4圖示剛架，求截面

C的鉛垂位移解：32例

4-5求自由端位移d撓曲軸與外力作用面不重合一般情況下解：33

靜不定度與多余約束簡單靜不定梁分析方法例題§12.5簡單靜不定梁34靜不定度與多余約束多余約束

凡是多于維持平衡所必須的約束多余反力

與多余約束相應的支反力或支反力偶矩靜不定度

＝未知支反力（力偶）數－有效平衡方程數靜不定度＝多余約束數4-3

=

1度靜不定5-3

=

2度靜不定靜不定梁

支反力（含力偶）數超過平衡方程數的梁35簡單靜不定梁分析方法選

FBy

為多余力－變形協調條件－物理方程－補充方程－平衡方程1度靜不定算例綜合考慮三方面求梁的支反力,EI=常數36判斷梁的靜不定度用多余力

代替多余約束的作用，得受力與原靜不定梁相同的靜定梁－相當系統計算相當系統在多余約束處的位移，并根據變形協調條件建立補充方程由補充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力通過相當系統計算內力、位移與應力等依據－綜合考慮三方面關鍵－確定多余支反力分析方法與步驟相當系統相當系統注意:相當系統有多種選擇37例

5-1懸臂梁

AB，用短梁

DG

加固，試分析加固效果解：1.靜不定分析382.加固效果分析（剛度）減少

50%減少39.9%3.加固效果分析（強度）39例5-2

圖示桿梁結構，試求桿

BC

的軸力解：梁截面形心的軸向位移一般忽略不計40例

5-3直徑為d的圓截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：41

梁的剛度條件

梁的合理剛度設計

例題§12.6梁的剛度條件與合理設計42梁的剛度條件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑動軸承處:43梁的合理剛度設計橫截面形狀的合理選擇材料的合理選擇使用較小的截面面積

A，獲得較大慣性矩

I

的截面形狀，例如工字形與盒形等薄壁截面影響梁剛度的力學性能是

E

，為提高剛度，宜選用E

較高的材料注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的

E

基本相同44

梁跨度的合理選取跨度微小改變，將導致撓度顯著改變例如

l

縮短

20％，dmax

將減少

48.8%45合理安排約束與加載方式q=F/l此外，增加梁的約束，制作成靜不定梁，對于提高梁的剛度也非常有效。46例題