16/162021北京燕山初三（上）期末數學一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（3分）下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是A． B． C． D．2．（3分）拋物線的頂點坐標是A． B． C． D．3．（3分）如圖，以點為圓心作圓，所得的圓與直線相切的是A．以為半徑的圓 B．以為半徑的圓 C．以為半徑的圓 D．以為半徑的圓4．（3分）下列關于二次函數的說法正確的是A．它的圖象經過點 B．它的圖象的對稱軸是直線 C．當時，隨的增大而減小 D．當時，有最大值為05．（3分）點關于原點對稱的點的坐標是A． B． C． D．6．（3分）的半徑為5，點到圓心的距離為4，點與的位置關系是A．無法確定 B．點在外 C．點在上 D．點在內7．（3分）已知二次函數的圖象如圖所示，則下列選項中不正確的是A． B． C． D．8．（3分）如圖，，，曲線是雙曲線的一部分．曲線與組成圖形．由點開始不斷重復圖形形成一線“波浪線”．若點，在該“波浪線”上，則的值為____，的最大值為____．A．， B．， C．， D．，二、填空題（本題共24分，每小題3分）9．（3分）二次函數圖象的開口方向是．10．（3分）已知點與點都在反比例函數的圖象上，則（填“”或“”或“”．11．（3分）草坪上的自動噴水裝置的旋轉角為，且它的噴灌區域是一個扇形．若它能噴灌的扇形草坪面積為平方米，則這個扇形的半徑是米．12．（3分）請寫出一個開口向下，與軸交點的縱坐標為3的拋物線的函數表達式．13．（3分）如圖，，是的切線，，為切點，是的直徑，，則的度數為．14．（3分）“閱讀讓自己內心強大，勇敢面對抉擇與挑戰”．某校倡導學生讀書，下面的表格是該校九年級學生本學期內閱讀課外書籍情況統計表．請你根據統計表中提供的信息，求出表中、的值：，．圖書種類頻數頻率科普常識210名人傳記2040.34中外名著0.25其他360.0615．（3分）《九章算術》是中國古代的數學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步．問勾中容方幾何．”其大意是：如圖，的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內接正方形的邊長為．16．（3分）在實數范圍內定義一種運算“”，其運算法則為．根據這個法則，下列結論中錯誤的是．（把所有錯誤結論的序號都填在橫線上）①；②若，則；③是一元二次方程；④方程的根是，．三、解答題（本題共52分，第17題6分，第18-22題，每小題6分，第23-25題，每小題6分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（6分）用適當的方法解下列方程：（1）．（2）．18．（5分）如圖，健身廣場地面上有一段以點為圓心的，小明要站在的中點的位置上．小明的想法是：只要從點出發，沿著與弦垂直的方向走到上，就能找到的中點．老師肯定了小明的想法．（1）請按照小明的想法，在圖中畫出點；（2）小明確定點所用方法的依據是．19．（5分）如圖，是的直徑，弦于點，已知，，，求的半徑．20．（5分）已知關于的方程．（1）求證：當時，方程總有兩個實數根；（2）若方程兩個相等的實數根都是整數，寫出一組滿足條件的，的值，并求此時方程的根．21．（5分）已知一個二次函數圖象上部分點的橫坐標與縱坐標的對應值如下表所示：0100（1）求這個二次函數的表達式；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數的圖象；（3）當時，直接寫出的取值范圍．22．（5分）學完《概率初步》的知識，小聰設計了一個問題：經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉．如果這三種可能性大小相同，求三輛汽車經過這個十字路口時，下列事件的概率：（1）三輛車全部繼續直行；（2）兩輛車向左轉，一輛車向右轉；（3）至少有兩輛車向右轉．請你選擇列表法或者樹狀圖解決小聰的問題．23．（7分）為了預防“流感”，某學校對教室采取藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，與成反比例（如圖所示）．現測得藥物8分鐘燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量為6毫克．根據題中所提供的信息解答下列問題：（1）求藥物燃燒時關于的函數關系式及其自變量的取值范圍；（2）藥物燃燒后關于的函數關系式是；研究表明，①當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經過多少分鐘后，學生才能回到教室；②當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，你認為此次消毒有效嗎？請說明理由．24．（7分）如圖，以四邊形的對角線為直徑作圓，圓心為，過點作的延長線于點，已知平分．（1）求證：是切線；（2）若，，求的半徑和的長．25．（7分）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，．（1）求拋物線的表達式及頂點的坐標；（2）線段繞點旋轉得到線段，點是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在，之間的部分為圖象（包含，兩點）．結合函數圖象，①若直線與圖象有公共點，求的最大值；②若直線與圖象沒有公共點，直接寫出點縱坐標的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；、既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：．【點評】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關鍵是掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉后與原圖重合．2．【分析】已知拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標．【解答】解：拋物線的頂點坐標是．故選：．【點評】本題考查二次函數的性質，記住頂點式，頂點坐標是，對稱軸是直線．3．【分析】根據直線與圓的位置關系的判定方法進行判斷．【解答】解：于，以點為圓心，為半徑的圓與直線相切．故選：．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系：判斷直線和圓的位置關系：設的半徑為，圓心到直線的距離為．若直線和相交；直線和相切；直線和相離．4．【分析】直接利用二次函數的性質分別判斷得出答案．【解答】解：二次函數，當時，，故它的圖象不經過點，故選項錯誤；它的圖象的對稱軸是直線軸，故選項錯誤；當時，隨的增大而減小，故選項正確；當時，有最小值為0，故選項錯誤；故選：．【點評】此題主要考查了二次函數的性質，正確掌握二次函數的增減性是解題關鍵．5．【分析】根據關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可直接寫出答案．【解答】解：點關于原點對稱的點的坐標是，故選：．【點評】此題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特點，關鍵是掌握點的坐標的變化規律．6．【分析】直接根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷．【解答】解：的半徑為5，點到圓心的距離為4，點到圓心的距離小于圓的半徑，點在內．故選：．【點評】本題考查了點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有3種．設的半徑為，點到圓心的距離，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內．7．【分析】根據開口方向，對稱軸，與軸交點位置等即可得答案；【解答】解：、由開口向下得，故不符合題意，、由圖判斷在軸下方，故，（如答圖），故符合題意，、拋物線與軸交點在軸正半軸，，故不符合題意，、對稱軸在軸左側，在右側，故，不符合題意；故選：．【點評】本題考查拋物線的圖象與系數的關系，利用數形結合，從開口方向、對稱軸、與軸軸）的交點進行判斷．8．【分析】利用點在函數圖象上及圖象的重復性求解．【解答】解：在的圖象上．．當時，．．又因為．．在該“波浪線”上．的最大值是5．故選：．【點評】本題考查反比例函數的圖象，求出函數表達式和相應點的坐標是求解本題的關鍵．二、填空題（本題共24分，每小題3分）9．【分析】由拋物線解析式可知，二次項系數，可知拋物線開口向下．【解答】解：二次函數的二次項系數，拋物線開口向下．故答案為：向下．【點評】本題考查了拋物線的開口方向與二次項系數符號的關系．當時，拋物線開口向上，當時，拋物線開口向下．10．【分析】把所給點的橫縱坐標代入反比例函數的解析式，求出與的值，比較大小即可．【解答】解：點在反比例函數的圖象上，，點在反比例函數的圖象上，，．故答案為．【點評】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積等于比例系數．11．【分析】根據已知得出自動噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形，面積為平方米，圓心角為，利用扇形面積公式求出即可．【解答】解：草坪上的自動噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形，面積為平方米，圓心角為，它能噴灌的草坪的面積為：．解得：故答案為：3．【點評】此題主要考查了扇形面積求法，利用已知得出圖形形狀進而利用公式求出是解題關鍵．12．【分析】首先根據開口向下得到二次項系數小于0，然后根據與軸的交點坐標的縱坐標為3得到值即可得到函數的解析式．【解答】解：開口向下，中，與軸的交點縱坐標為3，，拋物線的解析式可以為：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟知二次函數中各項系數的作用．13．【分析】先利用切線的性質得到，則利用互余計算出，再根據切線長定理得到，然后根據等腰三角形的性質和三角形內角和計算的度數．【解答】解：為切線，，，，，是的切線，，，．故答案為．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．14．【分析】首先計算出總數，然后利用總數減去各組的頻數可得的值，然后再利用1減去各組的頻率可得的值．【解答】解：，，．故答案為：150，0.35．【點評】此題主要考查了頻數分布表，關鍵是掌握頻率，各組頻率之和為1．15．【分析】設正方形邊長為，用，對應邊成比例列方程即可求解；【解答】解：設正方形邊長為，則，由的兩條直角邊的長分別為5和12可知，，，正方形，，，又，，，，解得．故答案為：．【點評】本題考查正方形性質及相似三角形對應邊成比例，關鍵是根據三角形相似列方程．16．【分析】各項利用題中的新定義判斷即可．【解答】解：①根據題中的新定義得：，正確，不符合題意；②若，則有，，，即，正確，不符合題意；③已知等式變形得：，即，合并得：，是一元一次方程，錯誤，符合題意；④方程變形得：，整理得：，即，，，，，解得：，，錯誤，符合題意．故答案為：③④．【點評】此題考查了根與系數的關系，實數的運算，以及一元一次方程的解，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．三、解答題（本題共52分，第17題6分，第18-22題，每小題6分，第23-25題，每小題6分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）移項，然后把方程左邊分解因式，利用因式分解法即可求解．【解答】解：（1），，則或，解得，；（2），移項，得：，分解因式，得：，則或，解得，．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．18．【分析】（1）連接，過點作垂線交于點．（2）根據垂徑定理判斷即可．【解答】解：（1）如圖，點即為所求作．（2）小明確定點所用方法的依據是：垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條?。蚀鸢笧椋捍怪庇谙业闹睆狡椒窒宜鶎Φ膬蓷l?。军c評】本題考查作圖應用應用與設計，垂徑定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．19．【分析】連接，根據垂徑定理求出的長和的度數，設，根據勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：連接，是的直徑，，，，設，則，根據勾股定理得：，即，解得，所以的半徑為5．【點評】本題考查的是垂徑定理的應用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵．20．【分析】（1）根據根的判別式符號進行判斷；（2）根據判別式以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】（1）證明：△，方程總有兩個實數根；（2）由題意可知，△，即：．以下答案不唯一，如：當，時，方程為．解得．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的判別式，本題屬于基礎題型．21．【分析】（1）設交點式，然后把代入求出得到拋物線解析式；（2）利用描點發法畫函數圖象；（3）結合函數圖象，根據二次函數的性質寫出對應的函數值的范圍．【解答】解：（1）設，將代入得，解得，拋物線解析式為，即；（2），拋物線的頂點坐標為，如圖，（3）當時，的取值范圍是．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．也考查了二次函數的性質．22．【分析】畫出樹狀圖，列舉出所有情況．（1）看三輛車全部直行的情況占所有情況的多少即可；（2）看兩輛車向左轉，一輛車向右轉的情況占所有情況的多少即可；（3）看至少有兩輛車向右轉的情況占所有情況的多少即可．【解答】解：根據題意，可以畫出如下的樹狀圖：共有27個等可能的結果，三輛車全部繼續直行的結果有1種，兩輛車向左轉，一輛車向右轉結果有3種，至少有兩輛車向右轉結果有7種，（1）三輛車全部繼續直行的概率是；（2）兩輛車向左轉，一輛車向右轉的概率是；（3）至少有兩輛車向右轉的概率是．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．解題的關鍵是根據題意畫出樹狀圖，再由概率所求情況數與總情況數之比求解．23．【分析】（1）直接利用正比例函數解析式求法得出答案；（2）利用反比例函數解析式求法得出答案；①當時，代入得出答案；②將分別代入，得出答案．【解答】解：（1）藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（分鐘）成正比例，所以設關于的函數關系式是，將點代入，得；，即