冪函數的性質與圖像冪函數及其性質1、冪函數的定義一般地，形如y二xa(xeR)的函數稱為幕孫函數，其中x是自變量，a是常數.如_1y-x2,y-x3,y-x4等都是幕函數，幕函數與指數函數，對數函數一樣，都是基本初等函數.2、函數的圖像(1)y二x(2)y二x2(3)y二x2(4)y二x_1(5)y二x3用描點法在同一坐標系內畫出以上五個函數圖像，通過觀察圖像，可以看出冪函數的性質。3．冪函數性質所有的幕函數在(0，+8)都有定義，并且圖象都過點(1，1)；x〉0時，幕函數的圖象都通過原點，并且在［0，+8］上，是增函數a<0時，幕函數的圖象在區間(0,+8)上是減函數.在第一象限內，圖象向上及向右都與坐標軸無限趨近.幕函數y=x?的圖象，在第一象限內，直線x=1的右側，圖象由下至上，指數y軸和直線x=1之間，圖象由上至下，指數a:規律總結1．在研究冪函數的性質時，通常將分式指數冪化為根式形式，負整指數冪化為分式形式再去進行討論；2?對于幕函數y=xa，我們首先應該分析函數的定義域、值域和奇偶性，由此確定圖象的位置，即所在象限，其次確定曲線的類型，即a<0,0<a<1和a〉1三種情況下曲線的基本形狀，還要注意a=0，±1三個曲線的形狀；對于幕函數在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負雙，大豎小橫”即a>0(a#1)時圖象是拋物線型；a<0時圖象是雙曲線型；a>1時圖象是豎直拋物線型；0<a<1時圖象是橫臥拋物線型.在［0,+8］上，y=xy二x2y二x3y二x2、、、是增函數，在(0，+8)上,y-x_1是減函數。例1.已知函數f(x)=(m2_m_1)x_5m_3,當m為何值時，f(x):是幕函數；(2)是幕函數，且是(°，+8)上的增函數；(3)是正比例函數；(4)是反比例函數；是二次函數；簡解：(1)m=2或m=_1(2)m=_1(3)42［m=_丁(4)m=_—(5)m=_1

變式訓練：已知函數f（x）=（m2+m）xm2-2m-3,當已知函數f何值時，f（x）在第一象限內它的圖像是上升曲線。簡解m2+m>0何值時，f（x）在第一象限內它的圖像是上升曲線。簡解m2一2m一3>0解得：（y,-1解得：（y,-1）U（3,等式求解。例2．比較大小：(1)1.52,1.72(2)(一1.2)3,(-1.25)3⑶5.25一1,5.26一1,5.26一2（4）0.53,30.5,log0.531解：（i）y=x2在［°,+w）上是增函數，1.5<1.7?1.5；<1.7：,??(2)y=x3在R上是增函數，一1.2>一1.25，?（一1.2）3>（一1.25）3（3）y=x-1在（o,+w）上是減函數,5.25<5.26，?5.25一1>5.26一1；y=5.26x是增函數，-1>一2,.5.26一1>5.26一2；綜上，5.25一1>5.26一1>5.26一2⑷?0<0.53<1,3o.5>1log0.5<0,?log0.5<0.53<30.5例3.已知幕函數y=xm2-2m-3(meZ)的圖象與x軸、y軸都無交點，且關于原點對稱，求m的值.解：??幕函數y=xm2一2m-3(meZ)的圖象與x軸、y軸都無交點，m2一2m一3<0?-1<m<3；?，…,?/meZ，?(m2一2m一3)eZ，又函數圖象關于原點對稱，m2―2m―3是奇數，m=0或m=2.例4、設函數f(x)=X3，求它的反函數；分別求出f-i(x)=f(x)，f-i(x)〉f(x)，f-i(x)<f(x)的實數x的范圍.解析：(1)由y=X3兩邊同時開三次方得x=一13y，..f-i(x)=x3.1V函數f(x)=X3和f-i(x)=x3的圖象都經過點(0,0)和(i,i).?f-i(x)=f(x)時，x=±i及0；在同一個坐標系中畫出兩個函數圖象，由圖可知f-i(x)〉f(x)時，x<-i或0<x<i；f-i(x)<f(x)時，x〉i或一i<x<0.點評：本題在確定x的范圍時，采用了數形結合的方法，若采用解不等式或方程則較為麻煩．1例5、求函數y=x5+2x5+4(x±-32)值域．1解析：設t=x5，Vx^-32，.t三一2，則y=t2+2t+4=(t+i)2+3.當t=-i時，y=3.min2丄...函數y=x5+2x5+4(x±—32)的值域為[3,+⑴).點評：這是復合函數求值域的問題，應用換元法．下列函數中不是冪函數的是()a.y=、」xb.y=x3c.y二2xd.y=x-丄答案：C下列函數在(一8，°)上為減函數的是()丄a.y=x3b.y=x2C.y=x3d.y=x-2答案：b下列幕函數中定義域為h|x>的是()3-2a.y=x3b.y=x2c.y=x-3-3d.y=x-2答案：D—丄4?函數y=g—2x)2的定義域是()A.{x|x#0或x#2}B.(—8,0)丫(2,+?)C.(—8,0)Y[2,+8]D.(0,2)解析：函數可化為根式形式,即可得定義域.答案：B丄TOC\o"1-5"\h\z函數y=(1—X2)2的值域是()A.[0,+8]B.(0,1)C.(0,1)D.[0,1]解析：這是復合函數求值域問題,利用換元法,令t=l—X2，則y=.?.?—1WxW1,.?.0WtWl,.0WyWl.答案：D26?函數y=x5的單調遞減區間為()A.(—8,1)b.(—8,0)c.[0,+8]D(—8,+8)2解析：函數y=x5是偶函數，且在[0,+8)上單調遞增，由對稱性可知選B.答案：B1_丄7.若a2<a2，則a的取值范圍是()A.a三1B.a〉0C.1>a>0D.l±a±0解析：運用指數函數的性質，選C.答案：C8.函數y=甘(15+2_￥—x2)3的定義域是。解析：由(15+2x—X2)3±0..15+2x—x<20..—3WxW5.答案：A丄9.函數y=2在第二象限內單調遞增，則x2—m—m2m的最大負整數是.解析：m的取值應該使函數為偶函數.故m=—1.答案：m=—1210、討論函數尸x5的定義域、值域、奇偶性、單調性,并畫出圖象的示意圖2思路：函數y=x5是幕函數?要使y=x5=5x2有意義，x可以取2]；2]；(5)其圖象如下圖所示.11(5)其圖象如下圖所示.11、比較下列各組中兩個數的大小：任意實數，故函數定義域為R．Vx€R,.；x2±0..?.y三0.f(—x)=5(—x)2=5x2=f(x),2函數y=x5是偶函數；2(4)Vn=5〉0,2幕函數y=x5在[0,+出]上單調遞增.2由于幕函數y=x5是偶函數，2幕函數y=x5在(一,0)上單調遞減.3(1)1.55,1.75；_2_22)0.71.5，0.61.5；(3)(_1.2)_3,(_1.25)_3.3解析：(1)考查冪函數y=x5的單調性，在第一象限內函數單調遞增，3?.T.5<1.7,.?.出5<1.75,3(2)考查幕函數y=x2的單調性，同理0.71.5〉0?61.5.先將負指數冪化為正指數冪可知它是偶函數222???(_1.2)_3=1.2_3,(_1.25)_3=2221.25_3，又1.2_3〉1.25_3,221.2)_3〉1.25_3.點評：比較冪形式的兩個數的大小，一般的思路是：若能化為同指數，則用冪函數的單調性；若能化為同底數，則用指數函數的單調性；若既不能化為同指數，也不能化為同底數，則需尋找一個恰當的數作為橋梁來比較大小.12?已知函數y=4'15_2x_x2.求函數的定義域、值域；判斷函數的奇偶性；求函數的單調區間.解析：這是復合函數問題，利用換元法令t=15—2X—X2，則y=41,由15—2X—X2三0得函數的定義域為[—5,3],.t=16—(x—1)2W[0,16]..?.函數的值域為[0,2].V函數的定義域為】_5,3]且關于原點不對稱,.函數既不是奇函數也不是偶函數.V函數的定義域為】_5,3],對稱軸為x=1,.?.xW[—5,1]時，t隨x的增大而增大；(1,3)時，t隨x的增大而減小.又丁函數丫=41在tW[0,16]時，y隨t的增大而增大,.函數y=415_2x_x2的單調增區間為[_5,1],單調減區間為(1,3].答案：(1)定義域為[_5,3],值域為[0,2)2)函數即不是奇函數，也不是偶函數；數．5.5.函數y=x"4在區間上是減函3)(1，3］．則f(4)的值等于23)(1，3］．則f(4)的值等于23?函數y=x5的單調遞減區間為6?—個幕函數y=f(x)的圖象過點(3,427),另一個幕函數y=g(x)的圖象過點(一8,—2),(1)求這兩個冪函數的解析式；(2)判斷這兩個函數的奇偶性；(3)作出這兩個函數的圖象，觀察得f(x)〈g(x)的解集.練習1.用“〈”或”〉”連結下列各式：0.320.60.320.5°.340.5，0.&0.4——0.60.4?1__32?函數y=(x-1)2+(4-x)—2的定義域是_3.y=xa24a-9是偶函數，且在(°,+8)是減函數，則整數a的值是254?已知x3〉x3，x的取值范圍為5?若幕函數y二xa的圖象在0〈x〈1時位于直線y=x的下方，則實數a的取值范圍是若幕函數/(x)與函數g(x)的圖像關于直線y=x對稱，且函數g(x)的圖象經過(3「亍，€)，則f(x)的表達式為函數f(x)=的對稱中心是，x+3在區間是函數(填“增、減”)8?比較下列各組中兩個值的大小3322(1)1.5與16(2)063與0.7.3(3)3.53與5.33(4)0.18).3與0.150.310.已知函數y=415—2x—x21如果幕函數f(x)=xd的圖象經過點(迸),_12?函數y=(X2—2x)2的定義域是14?函數y=-在第二象限內單調遞增，則mx2—m—m2的最大負整數是例1比較下列各組數的大小：11(1)1.53,1.73,1；--2102,(2)(—)3,(―一)3,1.13；-7--2333.8,3.95,(—1.8)5；31.4,51.5.例2已知幕函數y=xm-6(meZ)與y=x--m(meZ)的圖象都與x、y軸都沒有公共點,且y=xm-2(meZ)的圖象關于y軸對稱，求m的值.7丨3t-t2例3幕函數f(x)=(t3—t+1)x5是偶函數，且在(0,+8)上為增函數，求函數解析式.1.幕函數y=f(x)的圖象過點(4,2)，則f⑻的值為2?比較下列各組數的大小：(a+2)2a2；22(5+a2)-35-3；0.40.50.50.4.13?幕函數的圖象過點(2,—)，則它的單調遞增區4間是設x￡(0,1)，幕函數y=xa的圖象在y=x的上方，則a的取值范圍是119.若(a+2)「3<(3-2a)「3，求a的取值范圍。(1)求函數的定義域、值域；(2)判斷函數的奇偶性；(3)求函數的單調區間.4.B4.B.a<0D.不能確定9、若四個幕函數y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐標系中的圖象如右圖，則a、b、c、d的大小關系是a嚴A、d〉c〉b〉aB、a>b>c>d]_\L-一尸$C、d>c>a>b(/\01w*D、a〉b〉d〉c冪函數習題精選一、選擇題：1．在函數y=丄，y=3x2,y=x2-x,y=x0中，幕X3函數的個數為()A.0B.1C.2D.32、幕函數的圖象都經過點()A.(1,1)B.(0,1)C.(0,0)D.(1,0)3、幕函數y=x「2的定義域為()A.(0,+QB.[0,+QC.RD.(-8,0)U(0,+8)若幕函數f(x)=xa在(°，+8)上是增函數,則()A.a>0C.a=01_15.若a=L】2,b=0.9-2,那么下列不等式成立的是()A.a<l<bB.1<a<bC.b<l<aD.1<b<a6?若幕函數f(x)=xm-1在(0,+g)上是減函數,

A、x<1且x#0B、0<x<1TOC\o"1-5"\h\zC、x〉1D、、<110、當xe(1,+g)時，函數)y=xa的圖象恒在直線y=x的下方，則a的取值范圍是A、a<1B、0<a<1C、a〉0D、a<0二、填空題：_丄_112、若(a+1)_2<(3a_2)_2，則a的取值范圍是；-313?函數y=x-2的定義域為.14.設f(x)=(m—2)xm+1，如果f(x)是正比例函數，則m=,如果f(x)是反比例函數,則m=,如果f(x)是幕函數，則m=.15.若冪函數y=(m2-m-1)xm2-2m-1在(0,+8)上是增函數,m=.。16、函數16、函數f(x)=的對稱中心是則()A.m>1B.m<1C.