2021-2022學年福建省福州三中高一（上）開學數學試卷

1.在一個不透明的袋中裝有2個紅球和3個白球，它們除了顏色外都相同，從中隨機

摸出2個球，則摸出的球都是白球的概率是（）

A.-B.-C.-

10105

2.如圖，下列四個選項不一定成立的是（）

A.△CODs&AOB

B.△DCASRBAC

C.NACCsxBOD

D.4PCAS&PBD

2

3.關于x的一元二次方程/+2mx+m-m-0的兩實數根/、x2>滿足右小=2,

則（好+2）（媛+2）的值是（）

A.8B.32C.20或68D.16或40

4.如圖，△48。的頂點4在函數丫=：0>0）的圖象上，乙480=90。，過4。邊的三

等分點M、N分別作x軸的平行線交A8于點P、Q.若四邊形MNQ尸的面積為3,

則%的值為（）

A.9B.12C.15D.18

5.如圖，在邊長為2的正方形A8CD中，對角線AC與BZ）

相交于點O,點尸是8。上的一個動點，過點P作EF〃/1C,

分別交正方形的兩條邊于點E,F,連接OE,OF,設BP=x,

△OEF的面積為y,則能大致反映y與x之間的函數關系

的圖象為（）

C.乙D'FE

D.^LAGE

7.在平面直角坐標系中，我們把橫縱坐標相等的點稱之為“完美點”，下列函數的圖

象中存在完美點的是（）

A.y=—2xB.y=x-6

C.y=：D.y=x2—3x+4

8.如圖所示，4B是O。的直徑，D、E是半圓上任意兩點，連接A￡）、DE,AE與BD

相交于點C,若添加一個條件使A4DC與△ABD相似，則可添加下列條件中的（）

A.慶=靛

C.AB//DED.AD2=BD-CD

9.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱

軸為x=l,有下列結論：

①abc<0；

②2c<3b；

③4a+2b+c<0；

@a+b<m{am+b),

其中正確的結論有（）

A.①

B.②

第2頁，共11頁

C.③

D.?

10.已知二次函數y=-尤2+mx+m(?n為常數)，當一2sxs4時，y的最大值是15,

則機的值是()

A.—19B.C.6D.—10

11.用列舉法表示集合{小=瞿+品M力0}為：.

12,已知集合A={a6R|(x-I)。？+7ax+/+3x—4=0},{0}QA,則x的值為

13.如圖，RMABC中，4ABe=90。，以點C為圓心，CB為半徑作。C,。為上

一點，連接A。、CD,AB=AD,AC平分NBAC.

(1)求證：AD是。C的切線；

(2)延長A。、8c相交于點E,若SAE℃=2S-BC，求tan4BAC的值.

14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=+|刀+4與兩坐標軸分別相交

于A,B,C三點.

(1)求證:乙ACB=90°；

(2)點。是第一象限內該拋物線上的動點，過點。作x軸的垂線交BC于點E,交x

軸于點F.

①求DE+BF的最大值；

②點G是AC的中點，若以點C,D,E為頂點的三角形與AAOG相似，求點。的

坐標.

第4頁，共II頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：將2個紅球分別記為a、b,3個白球分別記為4、B、C,

從中隨機摸出2個球，所有的基本事件為：ah.aA.aB、aC、bA,bB、bC、AB、AC.

BC,共10種,

其中，事件“隨機摸出2個球都是臼球”所包含的基本事件有：AB.AC,BC,共3種，

因此，所求事件的概率為P=。，

故選：A.

將2個紅球分別記為“、b,3個白球分別記為A、B、C,列舉出所有的基本事件，并確

定事件“隨機摸出2個球都是白球”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求

得結果.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：根據相交弦的性質和同弧或等弧所對的圓周角的關系，

所以==所以△CODS^ZOB,故A正確；

同理NAOC=NB。。，乙ACB=LADB,所以故C正確；

根據割線定理：NP=NP,^PCA=^PBD,所以△PCAS^PB。，故。正確.

故選：B.

直接利用割線定理和三角形相似的條件的應用求出結果.

本題考查的知識要點：三角形相似的條件，割線定理和三角形的關系，主要考查學生的

運算能力，屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：由題意可知4=4m2-4(血2一機)=4m>0,所以m>0,

由韋達定理可得x/2=皿？-?n=2,又m>0,

所以m=2,

所以原方程可化為/+4x+2=0,

所以X1+=—4,

22

故(好+2)(%2+2)=Xj%2+2(%i+X2)+4=(x1x2)+2Kxi+x2)—2XiX2]+4=

4+2x(16-4)+4=32,

故選：B.

利用韋達定理結合判別式求出m的值，再結合韋達定理可求得(好+2)(螳+2)的值.

本題主要考查韋達定理的應用，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：因為NQ"MP“OB,所以△力NQs△力MPs△4OB,

又M、N是04的三等分點，

??.?AN_―1,AN—1,.S&ANQ1,

AM2AO3S44MP4

又四邊形MNQP的面積為3,所以與2-=；,解得〃4皿=1,

又1/=嗡）2=看所以工4。8=9,所以k=2SA4°B=18.

S“OBA。9

故選：D.

根據平面幾何知識得AANQSAAMPS^AOB,由相似三角形的性質：面積比等于相似

比的平方可求出S-NQ=1，進而可求出aAOB的面積，則Z的值可求出得選項.

本題考查函數圖像與解三角形的綜合應用，是基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：當點？在。8上時，

???四邊形488是正方形，邊長為2,

AB=BC=2,AC1BD,Z.ACB=乙CAB=45",

AC=2V2,BO=DO=AO=CO=V2,

???EF//AC,

/.BAC=乙BEF=45°,乙BFE=4BCA=45°,乙40B=乙EPB=90°,

???乙BEF=乙BFE,

■1?BE—BF,

???乙BPE=90°,

BP=EP=FP=x,

:.OP=>/2—x,

?1?y=-^x\EF\xIOPI=Ix2x(V2—x)=—x2+V2x,(0<x<2),

當點P在。OHl寸，同理可得：y=-x2+3V2x-4,(V2<%<272).

故選：B.

分點尸在。8上和點尸在。。上兩種情況討論，由面積公式可求y與x的函數關系，即

可求解.

本題考查了指數函數的圖象和性質，屬于基礎題.

6.【答案】ABC

【解析】解：由題意可得四邊形FD'C'E絲四邊形尸。CE,

所以ZFEG=NFEC,可得4FEC的補角即為所求，

再由長方形ABC￡＞中可得：AD//BC,

顯然4BEF,/.EFD=ND'FE是NFEC的補角，

第6頁，共II頁

故選：ABC.

由題意可得全等四邊形，可得對應角相等，再在矩形中可得補角.

本題考查圖形的翻折可得對應角相等的性質的應用，屬于基礎題.

7.【答案】ACD

【解析】解：橫縱坐標相等的函數即丫=乂，與y=x有交點即存在完美點，

對于A，｛；二：2￡解得［二］即存在完美點(0,0)，A正確；

對于8,仁二無解，即不存在完美點，B錯誤；

對于C,1；=￡，解得匕:卷《二即存在完美點(低回(-V3,-V3),C

正確；

對于Cl；2_3x+4'解得即存在完美點(2,2),。正確.

故選：ACD.

橫縱坐標相等的函數即丁=x,與y=》有交點即存在完美點，依次計算即可.

本題考查了函數圖象的對稱性，是基礎題.

8.【答案】BD

【解析】解：在△4DC和△ABD中，當4D=0E時，4DAB=，E,

v乙E=乙B,:.Z,DAC=￡B,???Z.ADC=Z.ADB9

/.△ADCs^ABD,

在ZMCC和AABD中，當=時，則有絲=絲，

DBAD

???Z.ADC=Z-ADB,???△/DCSA/BD,

故選：BD.

根據相似三角形的判定方法可知，只要添加B,?？膳卸ā鰽DC與△4BD相似.

本題考查相似三角形的判定，考查圓周角定理，屬基礎題.

9.【答案】AB

【解析】解：對于①，由圖象可知，a<0,b>0,c>0,abc<0,故①正確，

對于②，由圖象可知，當x=3時函數值y=9a+3b+c<0,且對稱軸x=-/=1,

即a=一%

2

代入得，9x(—§+3b+c<0,得2c<3b,故②正確，

對于③，由二次函數的對稱性可知，當x=2時，函數值大于0,即y=4a+2b+c>0,

故③錯誤，

對于④，當冗=1時，y的值最大，此時y=a+b+c,

而當x=m時，y=am24-bm+c,

a+b+c>am2+bm+c,

a+b>am2+bm,即a+bNm(am+b),故④錯誤，

故選：AB.

根據二次函數的開口方向、對稱軸、與y軸交點坐標可判斷a,b,c的正負，進而判斷

①，由x=3時函數值y=9a+3b+c<0結合對稱軸為x=-1可判斷②，由x=2時，

函數值大于0可判斷③，由x=1時，>的值最大可判斷④.

本題主要考查了圖象與二次函數系數之間的關系，以及二次函數的性質，屬于中檔題.

10.【答案】AC

2

【解析】解：二次函數y=-x2+mx+m=-(x-y)2+^-+m,

對稱軸為》=/，

①當￡<-2,即m<-4時，函數丫=-%2+加工+也在［-2,4］上單調遞減，

二當x=-2時，y取得最大值，即—(-2)2-2m+m=15,

解得m=-19,

②當一2三144,即一44mW8時，

止匕時當％=/時，y取得最大值，即一《)2+m-/+m=15,

解得?n=6或一10,

又-4<m<8,

???m=6,

③當1>4,即?n>8時，函數y=—%2+mx4-m在［—2,4］上單調遞增，

二當％=4時，y取得最大值，即一42+4瓶+?71=15,

解得TH=y,

又,.,zn>8,.,?無解，

綜上所述，加的值是-19或6,

故選：AC.

先求出二次函數的對稱軸，再對對稱軸的位置分情況討論，利用y的最大值是15即可

求出m的值.

本題主要考查二次函數的圖象和性質，考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題.

11.【答案】{0,—2,2}

【解析】解：當Q>0>Z?>0時：x=-+=2,

ab

當QV0、b<0Il寸，%=—4-—2,

ab

當Qb<0時，％=—1+1=0,

綜上可知，集合可表示為：{0,-2,2},

故答案為：{0,-2,2}.

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通過對a、6的正負分類討論即可求出集合.

本題主要考查了集合的表示方法，熟練掌握分類討論思想方法和集合間的關系是解題的

關鍵，屬于基礎題.

12.【答案】1或一4

【解析】解：由{0}=4可得064

把a=0代入(x—l)a2+7ax+x2+3x-4=0,

所以/+3x-4=0>解得x=1或x=—4,

故答案為：1或-4.

由{0}14知064把a=0代入(x-l)a2+7ax++3%-4=0,可求得答案.

本題主要考查了集合的關系及應用，屬于基礎題.

13.【答案】證明：(1)因為4B=4D,CB=CD,AC=AC,所以，△ABC三△ADC,

所以，^ADC=/.ABC=90",即40J.C。，

又因為。為。C上一點，所以，A￡>是OC的切線：

解：(2)由(1)可知，CD1AE,SAAOC=S“BC，

因為SAEDC=2S&ABC=2S“ADC，則5DE?CD=2x：AD?CD,：.DE=2AD=2AB,:.

AE=AD+DE=3AB,

因為4A8E=90。，則BE=7AE2-4—2=2VL48,

???乙EDC=EBA=90。，則ta山EB=*=黃=贏=圣

所以，CD=—DE=—AB,

42

BC=CD=—AB,

2

在RtAABC中，/.ABC=90",故tan4BAC=更=在.

AB2

【解析】(1)證明△ABCADC,可得出AD1CD,即可證得結論成立；

(2)由(1)可得S,Dc=SA.BC，根據已知條件得出DE=2AB,AE=34B,由tan/AEB=

%=槳=它可得出BC=CD=%AB,由此可計算得出tan/BAC的值.

DEBE42

本題考查與圓有關的比例線段，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

14.【答案】解：(l)y=—+|x+4中，令x=0得y=4,令y=0得/=—2,x2=8,

二4(一2,0),B(8,0),C(0,4),

OA=2,OB=8,OC=4,AB=10,

???AC2=OA2+OC2=20,BC2=OB2+OC2=80,

???AC2+BC2=100,

而4爐=102=100,

???AC24-BC2=AB2,

???乙ACB=90°；

(2)①設直線8C解析式為y=kx+b,將B(8,0),C(0,4)代入可得：;,人十°

解得卜="4,

kb=4

???直線3c解析式為y=-；%+4,

設第一象限。(m,-：7n2+|m+4)(m>0),則E(?n,—[zn+4),

：?DE=(一二十+三根+4)一(—+4)=--m2+2m,BF=8-m,

、42yv274

1

:.DE+BF=(--m2+2m)+(8—m)

1

=--mz9+m+8

4

=-；(W-2)2+9,

.?.當m=2時，CE+BF的最大值是9；

②由(1)知〃CB=90°,

???Z.CAB+^CBA=90°,

vDF1%軸于F,

/.zFEB+zCB^=90°,

???Z,CAB=乙FEB=乙DEC,

(一)當A與E對應時，

以點C,D,E為頂點的三角形與AAOG相似，只需黑=?；蚝?箓

而G為AC中點，4(—2,0),C(0,4),

???G(-1,2),OA=2,AG=V5,

由①知：DE=-^rn2+2m,E(m,—^m+4),

CE=J(0—m)2+[4—(—+4)]2=

當黑=蜘寸，—-+2771=*,解得m=4■或？n=°(此時D與C重合，舍去)

A0(4,6),

當猿=票