學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE10學必求其心得，業必貴于專精專題06三角恒等變換與解三角形1．函數f（x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（｜φ｜＜\f（π，2）））的圖象向左平移eq\f（π，6）個單位后關于原點對稱,則函數f（x）在eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f（π,2)））上的最小值為（）A．－eq\f(\r（3),2） B．－eq\f(1,2）C.eq\f(1，2） D.eq\f(\r（3)，2）【答案】A2．已知函數f(x）＝sinx－cosx,且f′（x)＝eq\f（1,2）f（x)，則tan2x的值是（）A．－eq\f(2，3） B．－eq\f(4，3）C.eq\f(4，3） D.eq\f(3，4)【答案】D【解析】因為f′（x）＝cosx＋sinx＝eq\f（1,2)sinx－eq\f(1,2)cosx，所以tanx＝－3,所以tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x）＝eq\f（－6，1－9）＝eq\f（3,4)，故選D.3．已知函數f（x）＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，4）））,則下列結論中正確的是（）A．函數f(x）的最小正周期為2πB．函數f(x）的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，4)，0)）對稱C．由函數f（x）的圖象向右平移eq\f（π，8)個單位長度可以得到函數y＝sin2x的圖象D．函數f(x）在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，8），\f（5π，8））)上單調遞增【答案】C【解析】函數f（x）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，4）））的圖象向右平移eq\f(π，8)個單位長度得到函數y＝sin2x－eq\f(π,8）＋eq\f(π，4）＝sin2x的圖象，故選C。4．函數f(x)＝2sin（ωx＋φ)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（ω＞0，|φ｜＜\f（π,2）））的部分圖象如圖1。6所示,則f(0）＋feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（17π，12)）)的值為()圖1.6A．2－eq\r（3) B．2＋eq\r(3）C．1－eq\f（\r(3),2) D．1＋eq\f（\r(3),2）【答案】A5．設α，β∈[0，π］，且滿足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，則sin（2α－β)＋sin（α－2β)的取值范圍為(）A．［－1,1］ B．［－1,eq\r（2)]C．［－eq\r(2)，1] D．[1，eq\r(2）]【答案】A【解析】由sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β）＝1,α，β∈［0,π］，得α－β＝eq\f(π,2），β＝α－eq\f（π,2)∈[0,π］?α∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(π,2），π)),且sin(2α－β）＋sin（α－2β)＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,2))）＋sin（π－α）＝cosα＋sinα＝eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，4)）)，α∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(π,2），π）)?α＋eq\f(π，4)∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f（5π，4）））?sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4)))∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f(\r(2），2）,\f(\r(2）,2)）)?eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π,4）)）∈[－1，1］,故選A。6．已知函數y＝loga(x－1）＋3(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點P,若角α的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點P，則sin2α－sin2α的值為()A.eq\f(5,13) B．－eq\f(5,13)C.eq\f（3，13） D．－eq\f(3,13)【答案】D【解析】根據已知可得點P的坐標為(2，3），根據三角函數定義，可得sinα＝eq\f(3，\r（13)），cosα＝eq\f（2,\r（13）),所以sin2α－sin2α＝sin2α－2sinαcosα＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，\r(13）))）2－2×eq\f（3，\r（13)）×eq\f（2,\r(13)）＝－eq\f(3,13）.7．將函數f(x)＝sin（2x＋φ)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(｜φ｜＜\f（π，2）））的圖象向右平移eq\f(π,12）個單位，所得到的圖象關于y軸對稱,則函數f（x）在eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2））)上的最小值為()A.eq\f(\r（3)，2） B．eq\f(1，2)C．－eq\f（1,2) D．－eq\f(\r(3),2)【答案】D【解析】f(x）＝sin(2x＋φ）向右平移eq\f(π，12)個單位得到函數g(x）＝sineq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（π，12）))＋φ））＝sin2x－eq\f(π,6)＋φ，此函數圖象關于y軸對稱，即函數g（x）為偶函數，則－eq\f（π,6）＋φ＝eq\f（π,2）＋kπ，k∈Z.又|φ｜＜eq\f（π,2），所以φ＝－eq\f(π，3），所以f（x）＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π，3）))。因為0≤x≤eq\f(π,2)，所以－eq\f（π,3)≤2x－eq\f（π，3)≤eq\f（2π,3），所以f（x）的最小值為sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π，3）））＝－eq\f（\r（3)，2），故選D.8．已知函數f（x）＝asinx－bcosx(a，b為常數，a≠0,x∈R）在x＝eq\f（π,4)處取得最大值，則函數y＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，4)))是()A．奇函數且它的圖象關于點（π，0）對稱B．偶函數且它的圖象關于點eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3π，2),0)）對稱C．奇函數且它的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3π,2)，0))對稱D．偶函數且它的圖象關于點（π，0）對稱【答案】B9．已知函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）(A＞0,ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖1.9所示,且f(α)＝1，α∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,3)))，則coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2α＋\f(5π,6)））＝（）圖1。9A．±eq\f（2\r(2），3） B．eq\f(2\r（2）,3）C．－eq\f(2\r（2)，3) D。eq\f(1，3)【答案】C10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b,c，若eq\f(b，\r(3）cosB)＝eq\f(a，sinA）,則cosB＝（)A．－eq\f（1，2) B。eq\f(1，2）C．－eq\f(\r（3）,2) D.eq\f（\r(3)，2)【答案】B【解析】由正弦定理，得eq\f（b,\r（3)cosB）＝eq\f(a，sinA)＝eq\f(b，sinB)，即sinB＝eq\r(3)cosB，∴tanB＝eq\r（3)。又0<B〈π，故B＝eq\f(π，3），cosB＝eq\f（1，2）.11．在△ABC中，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b,c,若bsinA－eq\r（3)acosB＝0,且b2＝ac,則eq\f（a＋c,b）的值為(）A。eq\f(\r（2),2) B.eq\r（2）C．2 D．4【答案】C【解析】由正弦定理得sinBsinA－eq\r(3）sinAcosB＝0.∵sinA≠0，∴sinB－eq\r(3）cosB＝0，∴tanB＝eq\r（3）。又0＜B＜π，∴B＝eq\f(π，3）。由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac,即b2＝(a＋c）2－3ac又b2＝ac，∴4b2＝（a＋c)2，解得eq\f(a＋c,b）＝2。故選C12．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b,c，若c2＝（a－b)2＋6,C＝eq\f(π，3),則△ABC的面積是(）A．3 B．eq\f(9\r（3)，2)C。eq\f（3\r（3),2） D．3eq\r（3）【答案】C13．在△ABC中，c＝eq\r（3），b＝1，∠B＝eq\f(π，6)，則△ABC的形狀為（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】根據余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2,當a＝1時,三角形ABC為等腰三角形，當a＝2時，三角形ABC為直角三角形，故選D。14．如圖2。1，在△ABC中，C＝eq\f（π,3），BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2eq\r(2)，則cosA＝()圖2.1A.eq\f（2\r(2)，3) B。eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(6),4） D.eq\f(\r(6）,3)【答案】C15．設角A,B，C是△ABC的三個內角，則“A＋B〈C”是“△ABC是鈍角三角形”的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由A＋B＋C＝π，A＋B〈C，可得C〉eq\f（π,2）,故三角形ABC為鈍角三角形，反之不一定成立．故選A。16．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b,c。若三邊的長為連續的三個正整數,且A>B>C,3b＝20acosA，則sinA∶sinB∶sinC＝()A．4∶3∶2 B．5∶6∶7C．5∶4∶3 D．6∶5∶4【答案】D【解析】∵A>B>C，∴a〉b〉c.又∵a,b,c為連續的三個正整數，∴設a＝n＋1,b＝n，c＝n－1（n≥2，n∈N＊)．∵3b＝20acosA，∴eq\f(3b，20a）＝cosA，∴eq\f（3b,20a)＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc），eq\f（3n,20n＋1）＝eq\f（n2＋n－12－n＋12,2nn－1)，即eq\f(3n，20n＋1）＝eq\f(nn－4，2nn－1），化簡得7n2－27n－40＝0，（n－5)（7n＋8)＝0，∴n＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（n＝－\f（8,7）舍）).又∵eq\f（a,sinA）＝eq\f（b,sinB)＝eq\f(c，sinC），∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4。故選D17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b,c,且滿足csinA＝eq\r(3）acosC，則sinA＋sinB的最大值是()A．1 B．eq\r（2）C．3 D.eq\r（3）【答案】D18．已知函數f(x）＝(a＋2cos2x）cos（2x＋θ）為奇函數，且feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,4)）)＝0，其中a∈R,θ∈（0，π）．(1)求a，θ的值；（2）若feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（α,4）))＝－eq\f(2，5），α∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，2），π）)，求sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，3）））的值．解:（1）因為f（x)＝（a＋2cos2x）cos(2x＋θ）是奇函數，而y1＝a＋2cos2x為偶函數,所以y2＝cos（2x＋θ）為奇函數，由θ∈（0,π），得θ＝eq\f(π,2），所以f（x）＝－sin2x·(a＋2cos2x),由feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,4)））＝0得－(a＋1）＝0，即a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝－eq\f（1,2）sin4x，因為feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（α，4)））＝－eq\f(1，2）s