《三角函數的概念（第一課時）》教學設計教學目標教學目標1．了解三角函數的背景，體會三角函數與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系；2．經歷三角函數概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，發(fā)展數學抽象素養(yǎng)．教學重難點教學重難點教學重點：正弦函數、余弦函數、正切函數的定義．教學難點：理解三角函數的對應關系，包括影響單位圓上點的坐標變化的因素分析，以及三角函數的定義方式的理解；對符號sin，cos和tan的認識．課前準備課前準備Geogebra、計算器、PPT課件．用Geogebra作動畫來反映扇形的弧長、半徑、圓心角之間的關系；在角度制與弧度制換算時，計算器可以解決近似值問題．資源引用：【數學探究】三角函數的概念、【知識點解析】任意角的三角函數的定義、【知識點解析】理解三角函數的定義應注意的問題教學過程教學過程（一）創(chuàng)設情境圖1引導語：我們知道，現(xiàn)實世界中存在著各種各樣的“周而復始”變化現(xiàn)象，圓周運動是這類現(xiàn)象的代表．如圖1，⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向的旋轉．在把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角α的大小變化刻畫點P的位置變化．又根據弧度制的定義，角α的大小與⊙O的半徑無關，因此，不失一般性，我們可以先研究單位圓上點的運動．現(xiàn)在的任務是：圖1如圖1，單位圓⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉，建立一個函數模型，刻畫點P的位置變化情況．問題1：根據已有的研究函數的經驗，你認為我們可以按怎樣的路徑研究上述問題？預設的師生活動：學生在獨立思考的基礎上進行交流、討論．預設答案：明確研究背景—對應關系的特點分析—下定義—研究性質．設計意圖：明確研究的內容、過程和基本方法，為具體研究指明方向．（二）新知探究圖2引導語：下面我們利用直角坐標系來研究上述問題．如圖2，以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，點A的坐標為(1，0)，點P的坐標為(x，y)．射線OA從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉角α，終止位置為OP．圖2問題2：當α=時，點P的坐標是什么？當α=或時，點P的坐標又是什么？它們是唯一確定的嗎？★資源名稱：【數學探究】三角函數的概念★使用說明：本本資源為“三角函數的概念”知識探究，通過交互式動畫的方式，運用了本資源，可以吸引學生的學習興趣，增加教學效果，提高教學效率．注：此圖片為“動畫”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調用．一般地，任意給定一個角α，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標能唯一確定嗎？預設的師生活動：在學生求出α=時點P的坐標后追問以下問題．追問：（1）求點P的坐標要用到什么知識？（2）求點P的坐標的步驟是什么？點P的坐標唯一確定嗎？（3）如何利用上述經驗求α=時點P的坐標？（4）利用信息技術，任意畫一個角α，觀察它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能用函數的語言刻畫這種對應關系嗎？預設答案：（1）直角三角形的性質；（2）畫出的終邊OP，過點P作x軸的垂線交x軸于M，在Rt△OMP中，利用直角三角形的性質可得點P的坐標是；（3）可以發(fā)現(xiàn)，∠MOP=，而點P在第二象限，可得點P的坐標是；（4）對于R中的任意一個角α，它的終邊OP與單位圓交點為P(x，y)，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的．這里有兩個對應關系：f：實數（弧度）對應于點P的縱坐標y，g：實數（弧度）對應于點P的橫坐標x．根據上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是從集合R到集合[－1，1]的函數．設計意圖：以函數的對應關系為定向，從特殊到一般，使學生確認相應的對應關系滿足函數的定義，角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標都是圓心角α（弧度）的函數，為給出三角函數的定義做好準備．問題3：請同學們先閱讀教科書第178～179頁，再回答如下問題：（1）正弦函數、余弦函數和正切函數的對應關系各是什么？（2）符號sin，cos和tan分別表示什么？在你以往的學習中有類似的引入特定符號表示一種量的經歷嗎？（3）為什么說當≠＋kπ時，tan的值是唯一確定的？（4）為什么說正弦函數、余弦函數的定義域是R？而正切函數的定義域是{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}？★資源名稱：【知識點解析】任意角的三角函數的定義★使用說明：本資源展現(xiàn)“任意角的三角函數的定義”，輔助教師教學，加深學生對于知識的理解和掌握．適合課堂教師進行展示教學．注：此圖片為“知識卡片”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調用．預設的師生活動：學生獨立閱讀課文，再舉手回答上述問題．預設答案：（1）正弦函數的對應關系：sina→點P的縱坐標y；余弦函數的對應關系：cosa→點P的橫坐標x；正弦函數的對應關系：tana→（2）分別表示y，x，；引入符號logab表示ax=b中的x．（3）當≠＋kπ時，如果α確定，那么的終邊確定，終邊與單位圓的交點P確定，P點的橫、縱坐標x、y就會唯一確定，因此的值也是唯一確定的，所以tan的值也是唯一確定的．（4）當＝＋kπ時，的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標x等于0，所以＝tan無意義．除此之外，對于任意角，P點的橫、縱坐標的值x，y都是存在且唯一確定的．設計意圖：在問題引導下，通過閱讀教科書、辨析關鍵詞等，使學生明確三角函數的“三要素”；引導學生類比已有知識（引入符號logab表示ax=b中的x），理解三角函數符號的意義．問題5：在初中我們學了銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數．設x∈，把按銳角三角函數定義求得的銳角x的正弦記為y1，并把按本節(jié)三角函數定義求得的x的正弦記為z1．y1與z1相等嗎？對于余弦、正切也有相同的結論嗎？預設的師生活動：教師引導，學生作圖并得出結論．預設答案：作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再將它放入直角坐標系中，使點A與原點重合，AC在x軸的正半軸上，可得出y1=z1的結論．對于余弦、正切也有相同的結論．設計意圖：建立銳角三角函數與任意角三角函數的聯(lián)系，使學生體會兩個定義的和諧性．例1利用三角函數的定義求的正弦、余弦和正切值．預設的師生活動：先由學生發(fā)言，再總結出從定義出發(fā)求三角函數值的基本步驟，并得出答案．預設答案：在直角坐標系中，作∠AOB=（圖3）．圖3易知∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標為．圖3所以，sin，cos，tan．設計意圖：通過概念的簡單應用，明確用定義求三角函數值的基本步驟，進一步理解定義的內涵．★資源名稱：【知識點解析】理解三角函數的定義應注意的問題★使用說明：本資源展現(xiàn)“理解三角函數的定義應注意的問題”，輔助教師教學，加深學生對于知識的理解和掌握．適合教師進行“理解三角函數的定義”教學時進行展示．注：此圖片為“知識卡片”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調用．練習：在例1之后進行課堂練習：（1）利用三角函數定義，求π，的三個三角函數值．（2）說出幾個使cosα＝1的α的值．預設的師生活動：由學生逐題給出答案，并要求學生說出解答步驟，最后可以總結為“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數）”．預設答案：（1）sinπ＝0，cosπ＝－1，tanπ＝0；sin＝－1，cos＝0，tan不存在．（2）α＝0，2π，－2π等．設計意圖：檢驗學生對定義的理解情況．例2如圖4，設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為(x，y)，點P與原點的距離為r．求證：sinα=，cosα=，tanα=．師生活動：給出問題后，教師可以引導學生思考如下問題，再讓學生給出證明：（1）你能根據三角函數的定義作圖表示出sinα，cosα嗎？（2）在你所作出的圖形中，，，各表示什么，你能找到它們與做任意角α的三角函數的關系嗎？圖4圖5圖4圖5預設答案：如圖5，設角α的終邊與單位圓交于點P0(x0，y0)．分別過點P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0，則|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，△OMP∽△OM0P0．于是，即|y0|=．因為y0與y同號，所以y0=，即sinα=．同理可得cosα=；tanα=．設計意圖：通過問題引導，使學生找到△OMP，△OM0P0，并利用它們的相似關系，根據三角函數的定義得到證明．追問：例2實際上給出了任意角三角函數的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價的．你能用嚴格的數學語言敘述一下這種定義嗎？預設的師生活動：可以由幾個學生分別給出定義的表述，在交流的基礎上得出準確的定義．預設答案：設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為(x，y)，點P與原點的距離為r，則、、分別叫做角α的正弦、余弦、正切．設計意圖：加深學生對三角函數定義的理解．練習：在例2之后進行課堂練習：（3）已知點P在半徑為2的圓上按順時針方向做勻速圓周運動，角速度為1rad/s．求2s時點P所在的位置．預設的師生活動：由學生獨立完成后，讓學生代表展示作業(yè)．預設答案：以坐標原點為圓心O，OP所在直線為x軸正方向建立平面直角坐標系．2s時點P所在位置記為Q．因為點P是在半徑為2的圓上按順時針方向作勻速圓周運動，角速度為1rad/s，所以圓心角∠POQ＝－2rad．所以2s時，點P在該坐標系中的位置為（2cos2，－2sin2）．設計意圖：三角函數是刻畫勻速圓周運動的數