廣東省梅州市梓皋中學2022-2023學年高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設復數z1＝1－i，z2＝＋i，其中i為虛數單位，則的虛部為A．B．C．D．參考答案：D2.已知P是橢圓上的一點，F是橢圓的左焦點，O為坐標原點，且，，則點P到該橢圓左準線的距離為（

）A.6

B.4

C.3

D.

參考答案：答案：D3.已知函數，且，的導函數，函數的圖象如圖所示．則平面區域所圍成的面積是（

）A．8 B．5 C．4 D．2參考答案：C考點：線性規劃導數的綜合運用試題解析：由圖知：f(x)在單調遞減，單調遞增，又，所以等價于作

的可行域：A(2，0),B(0，4)，所以故答案為：C4.設集合M={0，1}，N={11－a，lga，2a，a}，以下對“是否存在實數a，使M∩N={1}”的判斷正確的是

（

）

A．存在，且有四個值

B．存在，且有兩個值

C．存在，且只有一個值

D．不存在參考答案：答案：D5.設，其中都是非零實數，若，那么（

）A．1

B．2

C．0

D．參考答案：A6.已知集合，集合，則等于（

）A． B． C．

D．參考答案：B7.已知△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且3+4+5=，則?的值為(

)A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：A【考點】向量在幾何中的應用．【專題】平面向量及應用．【分析】先將一個向量用其余兩個向量表示出來，然后借助于平方使其出現向量模的平方，則才好用上外接圓半徑，然后進一步分析結論，容易化簡出要求的結果．【解答】解：因為3+4+5=，所以，所以，因為A，B，C在圓上，所以．代入原式得，所以==．故選：A．【點評】本題考查了平面向量在幾何問題中的應用．要利用向量的運算結合基底意識，將結論進行化歸，從而將問題轉化為基底間的數量積及其它運算問題．8.設全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，則N∩(?UM)＝()A．{1,3}B．{1,5}

C．{3,5}

D．{4,5}參考答案：C9.函數的圖象大致是

（

）參考答案：D略10.已知則

A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.右圖是根據部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數據得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是［20.5，26.5］，樣本數據的分組為，，，，，.已知樣本中平均氣溫低于22.5℃的城市個數為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數為＿＿＿＿.參考答案：9

12.兩個不共線向量的夾角為θ，M、N分別為線段OA、OB的中點，點C在直線MN上，且，則的最小值為

．參考答案：因為三點共線，所以，所以，，表示原點與直線動點的距離的平方，它的最小值為，填．

13.考察下列式子：；；；；得出的結論是

．參考答案：14.定義函數，其中表示不小于的最小整數，如，.當，時，函數的值域為，記集合中元素的個數為，則________．參考答案：【知識點】數列求和D4【答案解析】易知：當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以；當時，因為，所以，所以，所以，由此類推：，所以，所以，所以【思路點撥】根據所給函數求出通項，然后利用裂項求和求出結果。15.（文）已知向量則的最大值為_________．參考答案：3，所以當時，有最大值，所以的最大值為3.16.若實數，滿足則的最大值為 ．參考答案：17.已知三棱錐P-ABC滿足PA⊥底面ABC，△ABC是邊長為的等邊三角形，D是線段AB上一點，且AD=3BD.球O為三棱錐P-ABC的外接球，過點D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為34π，則球O的表面積為

．參考答案：100π將三棱錐P—ABC補成正三棱柱，且三棱錐和該正三棱柱的外接球都是球O，記三角形ABC的中心為，設球的半徑為R，PA=2x，則球心O到平面ABC的距離為x，即O=x，連接C，則C=4，，在三角形ABC中，取AB的中點為E，連接D，E，則在直角三角形OD中，由題意得到當截面與直線OD垂直時，截面面積最小，設此時截面圓的半徑為r,則最小截面圓的面積為，當截面過球心時，截面面積最大為，，如圖三，球的表面積為故答案為：100π.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設橢圓=1（a＞b＞0）的左焦點為F，短軸上端點為B，連接BF并延長交橢圓于點A，連接AO并延長交橢圓于點D，過B、F、O三點的圓的圓心為C．（1）若C的坐標為（﹣1，1），求橢圓方程和圓C的方程；（2）若AD為圓C的切線，求橢圓的離心率．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：（1）由題意可得三角形BFO外接圓圓心為斜邊BF中點C，由此求得b，c的值，結合隱含條件求出a，則橢圓方程和圓C的方程可求；（2）由AD為圓C的切線，得到AD⊥CO，聯立直線和橢圓方程求得A的坐標，由得到a，b，c的關系式，結合隱含條件可求橢圓的離心率．解答：解：（1）∵三角形BFO為直角三角形，∴其外接圓圓心為斜邊BF中點C，由C點坐標為（﹣1，1）得，b=2，c=2，∴a2=b2+c2=8，則圓半徑，∴橢圓方程為，圓方程為（x+1）2+（y﹣1）2=2；（2）由AD與圓C相切，得AD⊥CO，BF方程為，由，得，由，得b4=2a2c2，（a2﹣c2）2=2a2c2a4﹣4a2c2+c4=0，解得：=．點評：本題考查了橢圓與圓的方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，解答此題的關鍵是由平面幾何知識得到對應的關系，考查了學生的計算能力，是中檔題．19.(本小題滿分14分)已知A(-2，0)，B(2，0)為橢圓C的左、右頂點，F為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且APB面積的最大值為2．(I)求橢圓C的方程及離心率；(II)直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D，當直線AP繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．參考答案：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為，．由題意知解得，．……………..3故橢圓的方程為，離心率為．……5（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可設直線的方20.（本題滿分14分）已知數列和滿足.若為等比數列，且（1）求與；（2）設。記數列的前項和為.（i）求；（ii）求正整數，使得對任意，均有.參考答案：

（1）

（2）21.常州地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給市民出行帶來便利.已知某條線路通車后，地鐵的發車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，．經測算，地鐵載客量與發車時間間隔t相關，當時地鐵為滿載狀態，載客量為1200人，當時，載客量會減少，減少的人數與的平方成正比，且發車時間間隔為2分鐘時的載客量為560人，記地鐵載客量為.⑴求的表達式，并求當發車時間間隔為6分鐘時，地鐵的載客量；⑵若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當發車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？參考答案：（1）由題意知，，（為常數），---------2分，，-----------------------------------------3分，----------------5分，-----------------------------------------6分（2）由，可得，-----------------------------------------8分當時，，當且僅當時等號成立；-----------------------------------------10分當時，，當時等號成立，------12分當發車時間間隔為分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元.答：當發車時間間隔為分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元.------14分22.（本小題滿分13分）已知函數，函數在x=1處的切線l與直線垂直.（1）求實數a的值；（2）若函數存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；（3）設是函數的兩個極值點，若，求的最小值.參考答案：∵，∴.