廣東省梅州市樂育中學2023年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若實數a，b滿足，則下列關系中不可能成立的是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據題意，結合對數函數的性質，依次分析選項，綜合即可得答案．【詳解】根據題意，實數，滿足，對于，若，均大于0小于1，依題意，必有，故有可能成立；對于，若，則有，故有可能成立；對于，若，均大于1，由，知必有，故有可能成立；對于，當時，，，不能成立，故選：D．【點睛】本題考查對數函數的單調性，注意分類討論、的值，屬于中檔題.

2.已知是兩條不同直線,是三個不同平面,則下列正確的是（）A．若,則

B．若,則C．若,則

D．若,則參考答案：D3.在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大依次構成等比數列{an}，已知a2=2a1，且樣本容量為300，則對應小長方形面積最小的一組的頻數為(

)A．20 B．40 C．30 D．無法確定參考答案：A【考點】頻率分布直方圖．【專題】等差數列與等比數列；概率與統計．【分析】根據題意等比數列前n項和頻率和為1，求出小長方形面積最小一組的頻率與頻數即可．【解答】解：根據題意，得；等比數列{an}中，a2=2a1，∴a3=4a1，a4=8a1；∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=1，解得a1=；又樣本容量為300，∴對應小長方形面積最小的一組的頻數為300×=20．故選：A．【點評】本題考查了頻率和為1與等比數列的通項公式、前n項和的應用問題，是基礎題目．4.若直線過圓的圓心，則的值為 A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B略5.設實數x，y滿足不等式組若x，y為整數，則3x＋4y的最小值是()

A．14

B．16

C．17

D．19參考答案：B6.已知平面上三點A、B、C滿足，，，則的值等于

(

)A．25

B．24

C．－25

D．－24參考答案：C7.如圖，平面中兩條直線和相交于點O，對于平面上任意一點M，若、分別是M到直線和的距離，則稱有序非負實數對是點M的“距離坐標”．對于給定的常數，給出下列命題：①若，則“距離坐標”為的點有且僅有1個；②若，且，則“距離坐標”為的點有且僅有2個；③若，則“距離坐標”為的點有且僅有4個．上述命題中，正確命題的個數是A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：D略8.從裝有2支鉛筆和2支鋼筆的文具袋內任取2支筆，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）

A．恰有1支鋼筆；恰有2支鉛筆。

B．至少有1支鋼筆；都是鋼筆。

C．至少有1支鋼筆；至少有1支鉛筆。D．至少有1個鋼筆；都是鉛筆。參考答案：A略9.某學校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤服務人員24名，今從中抽取一個容量為20的樣本，采用(

)較為合適．A．簡單隨機抽樣

B．系統抽樣

C．分層抽樣

D．其他抽樣參考答案：C10.平面直角坐標系中，雙曲線中心在原點，焦點在軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線y＝4x2的焦點坐標是________．參考答案：略12.已知集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，則A∩B=

.參考答案：{1，3}集合的交集為由兩集合的公共元素構成的集合，集合A={﹣1，0，1，3，5}，集合B={1，2，3，4}，則A∩B={1，3}．故答案為：{1，3}．13.已知等差數列｛an｝的前n項和為，若，且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則＝

參考答案：100略14.若函數，且，則

▲

.參考答案：略15.在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則有cos2α+cos2β=1．類比到空間中的一個正確命題是：在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=．參考答案：2【考點】類比推理；棱柱的結構特征．【分析】由類比規則，點類比線，線類比面，可得出在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形證明其為真命題即可．【解答】解：我們將平面中的兩維性質，類比推斷到空間中的三維性質．由在長方形中，設一條對角線與其一頂點出發的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos2α+cos2β=1，我們根據長方體性質可以類比推斷出空間性質，∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，如圖對角線AC1與過A點的三個面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分別為α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一頂點出發的三個棱的長分別為a，b，c，則有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案為：cos2α+cos2β+cos2γ=2．16.函數的最小正周期為__________．參考答案：π【分析】由周期公式求解即可【詳解】由題故答案為π【點睛】本題考查正弦函數的周期公式，熟記公式是關鍵是基礎題17.下列命題中：（1）、平行于同一直線的兩個平面平行；（2）、平行于同一平面的兩個平面平行；（3）、垂直于同一直線的兩直線平行；（4）、垂直于同一平面的兩直線平行.其中正確的個數有_____________；參考答案：2對于（1）、平行于同一直線的兩個平面平行，反例為：把一支筆放在打開的課本之間；（2）是對的；（3）是錯的；（4）是對的

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題14分）數列滿足，.（I）求數列的通項公式；（II）證明：；（III）證明：.參考答案：解：由得，猜想：下面用數學歸納法證明猜想：成立.ⅰ當時，猜想成立；ⅱ假設時，猜想成立，即；那么當時，；從而時猜想成立。綜合ⅰ，ⅱ知：猜想成立.即數列的通項公式為.(2)由于當時，；

所以令得即，∴，于是，從而即證：.(3)由柯西不等式得：所以要證即證，也就是需證：，即證：；因為函數的導函數當時所以當時，取得

∴，所以.19.設定義在（0，+）上的函數（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若曲線在點處的切線方程為，求的值。參考答案：（I）（方法一），…………3分當且僅當時，的最小值為。…………3分…………2分

…………3分…………1分（II）由題意得：，

①…………2分，

②…………3分由①②得：。

…………2分略20.如圖，已知圓內接四邊形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=120°(1)求線段BD的長與圓的面積。(2)求四邊形ABCD的周長的最大值。

參考答案：(1)由于四邊形ABCD為圓內接四邊形，所以∠BCD+∠BAD=1800由題設知∠BCD=1200，所以∠BAD=600……………1分在中由余弦定理得==7……………4分由正弦定理得………6分(2)解法一：設∠CBD=θ，那么00<θ<600……………7分在中有正弦定理得……………8分……………9分四邊形ABCD的周長=5+=…………11分由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200所以θ+600=900即所以θ=300時四邊形ABCD的周長取得最大值5+……………12分解法二：設，，在中由余弦定理得…7分…………8分………9分四邊形ABCD的周長………11分當且僅當時上式取等號，四邊形ABCD的周長最大值為……12分(沒有取等條件扣一分)21.隨機抽取某中學甲乙兩班各10名同學,測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數據的莖葉圖如右圖.（1）根據莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高；（2）計算甲班的樣本方差；（3）現從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學，求身高為176cm的同學被抽中的概率．參考答案：解:（1）由莖葉圖可知：甲班身高集中于之間，而乙班身高集中于之間。因此乙班平均身高高于甲班;

(2)

甲班的樣本方差為

＝57.2

（3）設身高為176cm的同學被抽中的事件為A；

從乙班10名同學中抽中兩名身高不低于173cm的同學有：（181，173）

（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）

（178，173）

(178,

176)

（176，173）共10個基本事件，而事件A含有4個基本事件；

；

略22.（8分）某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的