廣東省揭陽市東港中學2022年高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題中，正確的是(

)A．直線l⊥平面α，平面β∥直線l，則α⊥β

B．平面α⊥β，直線m⊥β，則m∥αC．直線l是平面α的一條斜線，且l?β，則α與β必不垂直D．一個平面內的兩條直線與另一個平面內的兩條直線分別平行，則這兩個平面平行參考答案：A2.為圓：上任意一點，為圓：上任意一點，中點組成的區域為，在內部任取一點，則該點落在區域上的概率為A． B． C． D．參考答案：方法1：設，中點，則代入，得，化簡得：，又表示以原點為圓心半徑為5的圓，故易知軌跡是在以為圓心以為半徑的圓繞原點一周所形成的圖形，即在以原點為圓心，寬度為3的圓環帶上，即應有，那么在內部任取一點落在內的概率為，故選．方法2：設，，，則，①，②，①2②2得：，所以的軌跡是以原點為圓心，以為半徑的圓環，那么在內部任取一點落在內的概率為，故選．3.定義在上的函數滿足（），，則等于（

）A．2

B．3

C．6

D．9參考答案：A4.已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為（O為原點），則兩條漸近線的夾角為

（

）A．30o B．45o

C．60o D．90o參考答案：答案：D5.設函數是偶函數，當時，，則}等于…（

）A．或 B．或C．或

D．或參考答案：D，當時，由得，所以函數的解集為，所以將函數向右平移2個單位，得到函數的圖象，所以不等式的解集為或,選D.6.對于函數與和區間D，如果存在，使，則稱是函數與在區間D上的“友好點”．現給出兩個函數：

①，； ②，；

③，； ④，，

則在區間上的存在唯一“友好點”的是（

）

A．①②

B．③④

C．②③

D．①④參考答案：D7.函數的部分圖象如圖所示，則＝ A.6 B.4

C.

D.參考答案：A8.已知函數f(x)的部分對應值如表所示.數列滿足且對任意，點都在函數的圖象上，則的值為12343124（A）1

（B）2

（C）3

（D）4參考答案：B考點：數列的遞推關系因為，

所以，數列每三項一循環，=

故答案為：B9.在△ABC中，D，E分別為BC，AB的中點，F為AD的中點，若，AB=2AC=2，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】9R：平面向量數量積的運算．【分析】根據題意畫出圖形，結合圖形根據平面向量的線性運算與數量積運算性質，計算即可．【解答】解：如圖所示，△ABC中，D，E分別為BC，AB的中點，F為AD的中點，，且AB=2AC=2，∴=（+）?=（﹣+）?（+）=﹣﹣?+=﹣×12﹣×（﹣1）+×22=．故選：B．10.已知集合，，則=A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一次考試后，從高三（1）班抽取5人進行成績統計，其莖葉圖如右圖所示，則這五人成績的方差為

．參考答案：20.8由題得所以成績的方差為

12.＿＿＿＿＿＿參考答案：13.設（），若△的內角滿足，則____________．參考答案：14.命題命題是的_________條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）。參考答案：充分不必切15.設向量，滿足，，則與夾角的最大值為

參考答案：略16.平面向量也叫二維向量，二維向量的坐標表示及其運算可以推廣到n(n≥3)維向量，n維向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．設＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，規定向量與夾角θ的余弦為cosθ＝.已知n維向量，，當＝(1,1,1,1，…，1)，＝(－1，－1,1,1,1，…，1)時，cosθ等于______________參考答案：由題意易知：，，所以cosθ＝。17.如圖，設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且若點D是△ABC外一點，，，則當四邊形ABCD面積最大值時，____．參考答案：分析：由正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理化簡已知等式可得，根據范圍B∈（0，π），可求B的值．由余弦定理可得AC2=13﹣12cosD，由△ABC為直角三角形，可求，,S△BDC=3sinD，由三角函數恒等變換的應用可求四邊形的面積為，利用三角函數化一公式得到最值時的角C值.詳解：，由正弦定理得到在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面積為四邊形的面積為

當三角形面積最大時，故答案為：點睛：本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，余弦定理，三角函數恒等變換的應用以及正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數在區間上有最大值4，最小值1，求a，b的值。設不等式在區間上恒成立，求實數k的取值范圍？參考答案：解：（1）①②綜上，a=1，b=0.（6分）（2）略19.如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的長．參考答案：【考點】解三角形的實際應用．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知條件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根據cos∠CAD，cos∠BAD的值分別，求得sin∠BAD和sin∠CAD，進而利用兩角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=?sin∠BAC=×=320.已知數列{an}，a1=2，a2=6，且滿足（n≥2且n∈N*）（1）求證：為等差數列；（2）令，設數列{bn}的前n項和為Sn，求{S2n－Sn}的最大值.參考答案：

21.已知函數，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t[1，2]，函數在區間（t，3）上總存在極值？參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．【專題】計算題；綜合題；壓軸題；數形結合；分類討論．【分析】利用導數求函數的單調區間的步驟是①求導函數f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數的增區間（或減區間），對于本題的（1）在求單調區間時要注意函數的定義域以及對參數a的討論情況；（2）點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數可知：，于是可求m的范圍．【解答】解：（Ⅰ），當a=1時，令導數大于0，可解得0＜x＜1，令導數小于0，可解得x＜0（舍）或x＞1故函數的單調增區間為（0，1），單調減區間是（1，+∞）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=﹣2∴，由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴．【點評】此題是個難題．本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，已知函數曲線上一點求曲線的切線方程即對函數導數的幾何意義的考查，考查求導公式的掌握情況．含參數的數學問題的處理，構造函數求解證明不等式問題．22.（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講如圖所示，為⊙的直徑，為的中點,延長與⊙相交于點，連結,，為與的交點．(Ⅰ)求證：(Ⅱ)若，求的值.參考答案：證明：(Ⅰ)…1分⊙的直徑…………