習題課立體幾何中的向量方法學案編號：GEXX2-1T3-xtk【學習要求】通過利用向量方法解決綜合性較強的問題，進一步體會空間向量在解決立體幾何問題中的廣泛作用．【學法指導】結合例題的解題過程，對立體幾何中的三種方法(綜合法、向量法、坐標法)進行比較，進一步體會向量方法與坐標方法相結合的優越性.設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則線線平行l∥m?a∥b?_____________線面平行l∥α?________?________面面平行α∥β?u∥v?______________線線垂直l⊥m?a⊥b?________線面垂直l⊥α?a∥u?_____________面面垂直α⊥β?u⊥v?________線線夾角l，m的夾角為θ(0≤θ≤eq\f(π,2))，cosθ＝________線面夾角l，α的夾角為θ(0≤θ≤eq\f(π,2))，sinθ＝________面面夾角α，β的夾角為θ(0≤θ≤eq\f(π,2))，cosθ＝________題型一立體幾何中的綜合性問題例1如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)求證：PA∥平面EDB；(2)求證：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C—PB—D的大小．跟蹤1如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點．(1)求證：FH∥平面EDB；(2)求證：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大小．題型二立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題，在命題中多在解答題的一步中出現，試題有一定的難度．這類題型常以適合某種條件的結論“存在”、“不存在”、“是否存在”等語句表述．解答這類問題，一般要先對結論作出肯定的假設，然后由此肯定的假設出發，結合已知條件進行推理論證，若導致合理的結論，則存在性也隨之解決；若導致矛盾，則否定了存在性．例2如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．(1)求MN的長；(2)當a為何值時，MN的長最小．跟蹤2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD(1)求證：B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．(3)若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長．【達標檢測】1．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求證：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．2.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點．在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN?【課堂小結】1．解決立體幾何問題一般有三種方法：綜合法、向量法、坐標法．綜合法以邏輯推理作為工具解決問題；向量法利用向量的概念及其運算解決問題；坐標法利用數及其運算來解決問題．一般情況下，我們遵循的原則是以綜合法為基礎，以向量法為主導，以坐標法為中心．2．對于探索性問題，一般先假設存在，利用空間坐標系，結合已知條件，轉化為代數方程是否有解的問題，若有解滿足題意則存在，若沒有滿足題意的解則不存在.習題課立體幾何中的向量方法一、基礎過關1.如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？(3)設AB＝BE，證明：平面ADE⊥平面CDE.2.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．(1)若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；(2)求異面直線AE與CD所成角的余弦值．二、能力提升3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)證明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長．4.如圖，在四棱錐O—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝eq\f(π,4)，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點，N為BC的中點．(1)證明直線MN∥平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大小．5.等邊△ABC中，D，E分別是AC，AB的中點，沿DE將△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE(如圖所示)．(1)求證：平面ABC⊥平面ABE；(2)求直線AC與平面ABE所成角的正弦值．6.如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的eq