第二章信號與系統的時域分析2本章內容：信號的時域分解——用表示離散時間信號；用表示連續時間信號；離散時間LTI系統的時域分析：卷積和；連續時間LTI系統的時域分析：卷積積分；

LTI系統的性質；

LTI系統的微分方程、差分方程表示以及方框圖表示；3§2.0引言線性和時不變性是信號與系統分析中最重要的兩個特性。這是因為：1.很多物理過程都具有這樣的特性，因此可以用LTI系統來表示；2.可以對LTI系統進行詳細的分析。基本思想：如果能夠把任意的輸入信號都分解成基本信號的線性組合，那么只要得到LTI系統對基本信號的響應，就可以利用系統的線性特性，將系統的輸出響應表示成系統對基本信號的響應的線性組合。(Introduction)4

如果一個系統是線性的，當我們能夠把輸入信號分解成若干個簡單的信號的線性組合時，只要能得到該系統對每一個簡單信號所產生的響應。就可以很方便地根據線性特性，通過線性組合而得到系統對地輸出響應。即若，且則5信號與系統的時域分析:一般的信號都可以表示為延遲沖激的線性組合。結合系統的疊加性和時不變性，就能夠用LTI的單位沖激響應來完全表征任何一個LTI系統的特性。這樣一種表示在離散情況下稱為卷積和；在連續時間情況下稱為卷積積分。6對信號分解可在時域進行，也可在頻域或變換域進行，相應地產生了對LTI系統的時域分析法、頻域分析法和變換域分析法。分析方法：7

離散時間信號中,最簡單的是,可以由它的線性組合構成，即：

§2.1離散時間LTI系統：卷積和

一用單位脈沖表示離散時間信號

對任何離散時間信號,如果每次從其中取出一個點，就可以將整個信號拆開來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權、不同位置的單位脈沖。（Convolutionsum）89

二卷積和（Convolutionsum）

表明：任何信號都可以被分解成移位加權的單位脈沖信號的線性組合。

如果一個線性系統對的響應是，由線性特性就有系統對任何輸入的響應為：若系統具有時不變性，即：若

，則10因此，只要得到了LTI系統對的響應單位脈沖響應(impulseresponse)，就可以得到LTI系統對任何輸入信號的響應：這表明，一個LTI系統可以完全由它的單位脈沖響應來表征。這種求得系統響應的運算關系稱為卷積和（Theconvolutionsum）。11三卷積和的計算計算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數值解法）例1

12...13運算過程：

將一個信號不動，另一個信號反轉后成為為,再隨參變量移位.在每個值的情況下，將

與

對應點相乘，再把乘積的各點值累加，得到

時刻的

。通過圖形正確確定反轉移位信號的區間表示，對于確定卷積和計算的區段及各區段求和的上下限是很有用的。

14例列表法

分析卷積和的過程，可以發現：①與所有的各點都要遍乘一次；

②在遍乘后，各點相加時，根據

，參與相加的各點都具有與的守量之和為的特點。

15優點：缺點：計算非常簡單。①只適用于兩個有限長序列的卷積和；②一般情況下，無法寫出的封閉表達式。16（Theconvolutionintegral）一用沖激信號表示連續時間信號

與離散時間信號分解的思想相一致，連續時間信號應該可以分解成一系列移位加權的單位沖激信號的線性組合。例如單位階躍與單位沖激之間有這種關系：§2.2連續時間LTI系統：卷積積分

17表明：任何連續時間信號都可以被分解為移位加權的單位沖激信號的線性組合。于是：

對一般信號，可以分成很多寬度的區段，用一個階梯信號近似表示.當時，18表明，LTI系統可以完全由它的單位脈沖響應來表征。這種求得系統響應的運算關系稱為卷積積分（Theconvolutionintegral）。二

卷積積分（Theconvolutionintegral）＝若則19例1:20

卷積積分的計算與卷積和很類似，也有圖解法、解析法和數值解法。運算過程的實質也是：參與卷積的兩個信號中，一個不動，另一個反轉后隨參變量移動。對每一個的值，將和對應相乘，再計算相乘后曲線所包圍的面積。通過圖形幫助確定積分區間和積分上下限是很有用的。三卷積積分的計算21§2.3線性時不變系統的性質

（thepropertyofLinearTime-invariantSystem）一、卷積積分與卷積和的性質1、交換律：22結論：一個單位沖激響應是的LTI系統對輸入信號所產生的響應，與一個單位沖激響應是的LTI系統對輸入信號所產生的響應相同。23結論：兩個LTI系統并聯，其總的單位脈沖響應等于各子系統單位脈沖響應之和。2、分配律：243結合律:結論：兩個LTI系統級聯時，系統總的單位沖激脈沖響應等于各子系統單位沖激脈沖響應的卷積。25

由于卷積滿足交換律，因此，系統級聯的先后次序可以調換。26產生以上結論的前提條件：①系統必須是LTI系統；②所有涉及到的卷積運算必須收斂。如：平方乘2乘2平方若交換級聯次序，即：顯然是不等價的。又如：若，系統都是LTI系統。當時，由于

不收斂，因而也不能交換其級聯次序。274、卷積還有如下性質：卷積積分滿足微分、積分及時移特性：①若，則②若，則28將微分一次的，恰當地利用卷積的性質可以簡化卷積的計算：例如：§2.2中的例22930二、LTI系統的性質1、記憶性：

LTI系統可以由它的單位沖激/脈沖響應來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩定性）都應在其單位沖激響應中有所體現。如果系統是無記憶的，則系統在任何時刻的輸出僅與同一時刻的輸入值有關。即：離散時間情況下：有：無記憶系統的單位脈沖響應為：31當時系統是恒等系統：

如果LTI系統的單位沖激響應不滿足上述要求，則系統是記憶的。此時，連續時間情況下：當時系統是恒等系統：322.LTI系統的可逆性考慮一個LTI系統，僅當存在一個逆系統，其與原系統級聯后所產生的輸出等于第一個系統的輸入時，這個系統才是可逆的。因此有：例如：延時器是可逆的LTI系統，其，其逆系統是，顯然有：連續時間情況下：33

累加器是可逆的LTI系統，其，其逆系統是，顯然也有：離散時間情況下：34當LTI系統是因果系統時，在任何時刻，都只能取決于時刻及其以前的輸入。3、因果性：或連續時間系統：這是LTI系統具有因果性的充分必要條件。即：根據：離散時間系統：35根據穩定性的定義，有界輸入必導致有界輸出，若有界，則若系統穩定，則必有界，由可知，連續時間系統：

這是LTI系統穩定的充分必要條件。4穩定性：離散時間系統：

365、LTI系統的單位階躍響應：

在工程實際中，也常用單位階躍響應來描述LTI系統。單位階躍響應就是系統對或所產生的響應。LTI系統的特性也可以用它的單位階躍響應來描述。

離散時間系統：

連續時間系統：

37§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統

在工程實際中有相當普遍的一類系統，其數學模型可以用線性常系數微分方程或線性常系數差分方程來描述。分析這類LTI系統，就是要求求解線性常系數微分或差分方程。一線性常系數微分方程（Linearconstant-coefficientdifferentialequation）均為常數(ThecausalLTISystemsdescribedby

differentialanddifferenceequation)38

求解該微分方程，通常是求出一個特解

和通解，則.特解(受迫響應)是與輸入同類型的函數,通解（自然響應）是齊次方程的解，即的解，欲求得齊次解，可根據齊次方程建立一個特征方程：求出其特征根。在特征根均為單價根時，可得出齊次解的形式為：其中是待定系數。39

要確定系數，需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確定待定系數的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時刻都可以是任意的。當微分方程描述的系統是線性系統時，必須滿足系統零輸入——零輸出的特性。系統在沒有輸入即時，輸出。這就要求確定待定系數所需的一組初始4040

附加條件的值必須全部為零，即具有初始零附加條件，LCCDE才能描述線性系統。

在這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，LCCDE描述的系統不僅是線性的，也是因果的和時不變的。41

在信號加入時刻給出的零附加條件稱為零初始條件。結論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個LTI因果系統。這組條件是：

如果一個因果的LTI系統由LCCDE描述（方程具有零初始條件），就稱該系統初始是靜止的或最初是松弛的。如果LCCDE具有一組非零的初始條件，則可以證明它所描述的系統是增量線性的。42二線性常系數差分方程（LCCDE）:(Linearconstant-coefficientdifferenceequation)

一般的線性常系數差分方程（LCCDE）可表示為：

與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個特解和一個通解，即齊次解來進行，其過程與解微分方程一樣。要確定齊次解中的待定常數，也需要有一組附加條件.同樣地，當LCCDE具有一組全部為零的初始條件時，所描述的系統是線性、因果、時不變的。無論微分方程還是差分方程，由于其特解都是與輸入信號具有相同函數形式的，也就是說它是完全43

由輸入決定的,因而特解所對應的這一部分響應稱為受迫響應或強迫響應。齊次解所對應的部分由于與輸入信號無關，也稱為系統的自然響應。增量線性系統的響應分為零狀態響應和零輸入響應。零輸入響應由于與輸入信號無關，因此它屬于自然響應。零狀態響應既與輸入信號有關，也與系統特性有關，因而它包含了受迫響應，也包含有一部分自然響應。線性常系數差分方程還可以采用迭代的方法求解，將方程改寫為：例如：例2.1544當時，差分方程變為：此時,求解方程不再需要迭代運算，因而稱為非遞歸方程（nonrecursiveequation）顯然，此時方程就是一個卷積和的形式，相當于此時，系統單位脈沖響應是有限長的,因而把這種方程描述的LTI系統稱為FIR系統（FiniteImpulseResponse）.將遞歸方程（recursiveequation）描述的系統稱為IIR系統（InfiniteImpulseResponse）,此時系統的單位脈沖響應是一個無限長的序列。

FIR系統與IIR系統是離散時間LTI系統中兩類很45重要的系統，它們的特性、結構以及設計方法都存在很大的差異。三由微分和差分方程描述的LTI系統的方框圖表示

（Block-DiagramRepresentationoftheLTISystemdescribedbyLCCDE）

由LCCDE描述的系統，其數字模型是由一些基本運算來實現的，如果能用一種圖形表示方程的運算關系，就會更加形象直觀；另一方面,分析系統的很重要目的是為了設計或實現一個系統,用圖形表示系統的數學模型,將對系統的特性仿真、硬件或軟件實現具有重要意義。46

不同的結構也會在設計和實現一個系統時帶來不同的影響：如系統的成本、靈敏度、誤差及調試難度等方面都會有差異。

１.由差分方程描述的LTI系統的方框圖表示：可看出：方程中包括三種基本運算：乘系數、相加、移位（延遲）。可用以下符號表示：D4