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〖蘇科版高三數學復試卷高考數學卷文科高考模擬卷創作人：百里航拍審核人：北堂中國

創作日期：2021.04.01創作單位：北市智語學校一、選題：在每小給出的個選項中，有一項合題目要求本大題10小題，每題5分，共50分）1.（5分）設全集為R，函數f）=

的定義域為M，則M為（）A.（﹣∞，1）（5分）已知向量（）

B.（∞）（﹣∞，D.[∞），），，），若∥，則實數m等于A.﹣

B.C.﹣

或

D.05分）設c均為不等于1的正實數，則下列等式中恒成立的是（）A.logbb=logaB.logba=logbC.logbc=logbcD.log（bc）=logblogc4.（5分）根據下列算法語句，當輸入為60時，輸出y的值為（）A.25B.30C.31D.615.（5分）對一批產品的長度（單位mm）進行抽樣檢測，下圖為檢測結果的頻率分布直方圖.據標準，產品長度在區間[，）上的為一等品，在區間[，）和區[，）上的為二等品，在區間[10）和[，）上的為三等品用頻率估計概率，現從該批產品中隨機抽取一件，則其為二等品的概率為（）A.0.09B.0.20C.0.25D.0.456.（5分）設z是復數，則下列命題中的假命題是（）A.若z

2

≥0則z是實數

B.若

2

＜0，則z是虛數C.若是虛數，則z

2≥0

D.若z是純虛數，則z＜07.（5分）若點（x，y）位于曲線|x|與所圍成的封閉區域，則﹣y的最小值為（）百里航拍創編

百里航拍創編A.﹣6B.﹣2C.0D.28.（5分）已知點（，b）在圓O：x2

+2

=1外，則直線+by=1與圓的位置關系是（）A.相切相交C.相離D.不確定9.（5分設△ABC的內角ABC所別為a，bc若bcosC+ccosB=asinA，△ABC的形狀為（）A.直角三角形銳角三角形鈍角三角形D.不確定10.（分）設[x]表示不大于x的最大整數，則對任意實數x，有（）A.[﹣x]﹣[x]

B.[+]=x]C.[]=2x][x]+[+]=[2x]二、填題：把答案寫在答卡相應題號的橫線（本大題共小題，每小題5分，共25分）11.（分）雙曲線

的離心率為.12.（分）某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為13.（分）觀察下列等式：（1+1）1（2+1）（2）=2

×1×（3+1）（2）（+）=2×13×…照此規律，第n個等式可為14.分）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園（陰影部分），則其邊長x為（m）.選做題（考生請注：請在列三題中任一題作，如果多做則按所的第一計分）15.（分）（不等式選做題）設a，b∈，|a﹣b|＞則關于實數x的不等式|x﹣a|+|x﹣＞2的解集是.16.（幾何證明選做題）如圖，AB與相交于點，過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點已知∠A=∠C，PD=2DA=2，則PE=.百里航拍創編

nnnn1nn111111111111nnnn1nn111111111111

17.（坐標系與參數方程做題）圓錐曲線（t為參數）的焦點坐標是.三、解題：解答應出文字明、證明過及演算驟（本大題小題，共75分）18.（12分）已知向量=（﹣），=（fx）.（Ⅰ）求（x）的最小正周期（Ⅱ）求（x）在[0]上的最大值和最小值19.（12分）設S表示數列a}的前n項和.（Ⅰ）若{}為等差數列，推導S的計算公式；

sinx，），∈R，設函數（Ⅱ）若a=1q0，且對所有正整數n，有S=

.判斷{a}是否為等比數列，并證明你的結論20.（12分）如圖，四棱柱ABCD﹣BCD的底面ABCD是正方形，為底面中心，AO⊥平面ABCD，AB=AA=.（Ⅰ）證明：平面ABD∥平面CDB；（Ⅱ）求三棱柱﹣BD的體積.21.（12分）有位歌手（1至7號）參加一場歌唱比賽，由名大眾評委現場投票決定歌手名次，根據年齡將大眾評委分為組，各組的人數如下：組別

ABCDE人數5010015015050（Ⅰ）為了調查評委對7位歌手的支持狀況，現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組中抽取了人.請將其余各組抽取的人數填入下表.組別人數抽取人數

ABCDE50100150150506（Ⅱ）在（Ⅰ）中，若A，兩組被抽到的評委中各有2人支持號歌手，現從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率.百里航拍創編

RR百里航拍創編RR

22.（13分）已知動點x，）到直線：的距離是它到點N（0的距離的2倍.（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點P（0，3）的直線m與軌跡C交于A，兩點.若是PB的中點，求直線m的斜率.23.（14分）已知函數f（）=ex，∈R.（Ⅰ）求（x）的反函數的圖象上的點（1，）處的切線方程；（Ⅱ）證明：曲線y=f（）與曲線y=

有唯一公共點.（Ⅲ）設＜b比較f（）

與

的大小，并說明理由.參考答案試題解析一、選題：在每小給出的個選項中，有一項合題目要求本大題10小題，每題5分，共50分）1.（5分）設全集為R，函數f）=

的定義域為M，則?M為（）A.（﹣∞，1）

B.（∞）（﹣∞，D.[∞）【分析】由根式內部的代數式大于等于求出集合M，然后直接利用補集概念求解.【解答】解：由1﹣x≥0得x≤，即M=（﹣∞1]，又全集為，所以?（1，+∞）.故選：B.【點評】本題考查了函數的定義域及其求法，考查了補集及其運算，是基礎題.（5分）已知向量（）

，），，），若∥，則實數m等于A.﹣

B.C.﹣

或

D.0【分析】直接利用向量共線的坐標表示列式進行計算.【解答】解：∵（，m），=（，2），且

，所以1?m，解得m=

或m=.故選：C.【點評】本題考查了平面向量的坐標運算，向量百里航拍創編

1221accaccaaaaaaaaaa1221accaccaaaaaaaaaaccaaaaaaaaaaaaaaa，則

的充要條件是xy﹣xy=0是基礎題5分）設c均為不等于1的正實數，則下列等式中恒成立的是（）A.logbb=logaB.logba=logbC.logbc=logbcD.log（bc）=logblogc【分析】通過對數的換底公式以及對數運算公式log（）=logx+logy（、y＞0），判斷選項即可.【解答】解：對于，logbb=loga?以A不正確；對于B，a=logb?

，與換底公式矛盾，所，符合換底公式，所以正確；對于C，bc=logbc不滿足對數運算公式log（xyx+logy（、＞0），所以不正確；對于Dlog（b+）blogc不滿足log（xyx+logyx、＞），所以不正確；故選：B.【點評】本題考查對數的運算法則，基本知識的考查.4.（5分）根據下列算法語句，當輸入為60時，輸出y的值為（）A.25B.30C.31D.61【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出分段函y=【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出分段函數y=當x=60時，則y=25+0.6（60﹣50），故選：C.

的函數值.的函數值.百里航拍創編

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【點評】算法是新課程中的新增加的內容，也必然是新高考中的一個熱點，應高度重視程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環的條件③變量的賦值④變量的輸.其中前兩點考試的概率更大此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤.5.（5分）對一批產品的長度（單位mm）進行抽樣檢測，下圖為檢測結果的頻率分布直方圖.據標準，產品長度在區間[，）上的為一等品，在區間[，）和區[，）上的為二等品，在區間[10）和[，）上的為三等品用頻率估計概率，現從該批產品中隨機抽取一件，則其為二等品的概率為（）A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45【分析】在頻率分布表中，由頻率與頻數的關系，計算可得各組的頻率，根據頻率的和等于1可求得二等品的概率.【解答】解：由頻率分布直方圖知識可知：在區間15）和25，）上的概率為0.04×5+[1（0.02+0.04+0.06+）×]故選：D.【點評】本小題主要考查樣本的頻率分布直方圖的知識和分析問題以及解決問題的能力統計初步在近兩年高考中每年都以小題的形式出現，基本上是低起點題.6.（5分）設z是復數，則下列命題中的假命題是（）A.若z

2

≥0則z是實數

B.若

2

＜0，則z是虛數C.若是虛數，則z

2≥0

D.若z是純虛數，則z＜0【分析】設出復數z，求出

2，利用a，b的值，判斷四個選項的正誤即可【解答】解：設z=a+bi，，b，z

2

=a

2

﹣

+，對于A，z≥0則b=0所以z是實數，真命題；對于B，

2

＜0，則a=0，且≠，

z是虛數；所以B為真命題；對于，z是虛數，則b≠0，所以z

2

≥0是假命題對于Dz是純虛數，則a=0，0所以故選：C.百里航拍創編

2＜是真命題；

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【點評】本題考查復數真假命題的判斷，復數的基本運算.7.（5分）若點（x，y）位于曲線|x|與所圍成的封閉區域，則﹣y的最小值為（）A.﹣6B.﹣2C.0D.2【分析】先根據曲線y=||與所圍成的封閉區域畫出區域，再利用線性劃的方法求出目標函數2x﹣y的最大值即可.【解答】解：畫出可行域，如圖所示解得A（﹣22，設z=2x﹣y，把z=2xy變形為y=2x﹣z則直線經過點時取得最小值；所以z=2×（﹣2）﹣2=﹣故選：A.【點評】本題考查利用線性規劃求函數的最值屬于基礎題.8.（5分）已知點（，b）在圓O：x2

+2

=1外，則直線+by=1與圓的位置關系是（）A.相切相交C.相離D.不確定【分析】由M在圓外，得到||大于半徑，列出不等式，再利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線ax+by=1的距離d，根據列出的不等式判斷與r的大小即可確定出直線與圓的位置關系【解答】解：∵Ma，在圓x2∴a2+b2＞1，

+2

=1外，∴圓O（0，0到直線ax+by=1的距離d=

＜1=r，則直線與圓的位置關系是相交故選：B.【點評】此題考查了直線與圓的位置關系，以及點與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，以及兩點間的距離公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵9.（5分設△ABC的內角ABC所別為a，bc若bcosC+ccosB=asinA，△ABC的形狀為（）百里航拍創編

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A.直角三角形銳角三角形鈍角三角形D.不確定【分析】根據正弦定理把已知等式中的邊轉化為角的正弦，利用兩角和公式化簡求得sinA的值進而求得A判斷出三角形的形狀【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin∵sinA0

A，∴sinA=1，A=

，故三角形為直角三角形，故選：A.【點評】本題主要考查了正弦定理的應用，解題的關鍵時利用正弦定理把等式中的邊轉化為角的正弦，屬于基本知識的考查10.（分）設[x]表示不大于x的最大整數，則對任意實數x，有（）A.[﹣x]﹣[x]

B.[+]=x]C.[]=2x][x]+[+]=[2x]【分析】依題意，通過特值代入法對AB，，四選項逐一分析即可得答案.【解答】解：對A，設x=﹣則[﹣x]=1，x=2所以A選項為假對B，設x=1.8，則[x+]=2，[x]所以B選項為假.對，x=﹣1.4則[2x]=[﹣2.8]=﹣32x]﹣所以C選項為假.故D選項為真.故選：D.【點評】本題考查函數的求值，理解題意，特值處理是關鍵，屬于中檔題.二、填題：把答案寫在答卡相應題號的橫線（本大題共小題，每小題5分，共25分）11.（分）雙曲線

的離心率為.【分析】通過雙曲線方程求出a，b，c的值然后求出離心率即可【：為雙曲線

，以a=4，，c=

，百里航拍創編

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所以雙曲線的離心率為：e=

.故答案為：.【點評】本題考查雙曲線的基本性質的應用，離心率的求法，考查計算能力.12.（分）某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為3.【分析】通過三視圖判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數據直接求解幾何體的表面積即可.【解答】解：綜合三視圖可知，幾何體是一個半徑r=1的半個球體.表面積是底面積與半球面積的和，其表面積=

.故答案為：3π.【點評】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關系，幾何體的表面積的求法，考查計算能力與空間想象能力13.（分）觀察下列等式：（1+1）1（2+1）（2）=21×3（3+1）（2）（+）=2×13×…照此規律，第n個等式可為（+）（n+）（n+）（+）=2n?（2n﹣

.【分析】通過觀察給出的前三個等式的項數，開始值和結束值，即可歸納得到第n個等式.【解答】解：題目中給出的前三個等式的特點是第一個等式的左邊僅含一項，第二個等式的左邊含有兩項相乘，第三個等式的左邊含有三項相乘，由此歸納第個等式的左邊含有n項相乘，由括號內數的特點歸納第個等式的左邊應為：（n1（n+（n+）…（nn），每個等式的右邊都是的幾次冪乘以從開始幾個相鄰奇數乘積的形式，且的指數與奇數的個數等于左邊的括號數，百里航拍創編

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由此可知第n個等式的右邊為2?1?5…（2n﹣1）.所以第n個等式可為（n+（n+（n+3）（n+n=2n?1?3?5…（﹣1）故答案為（n1（n+）（n+3）…n+=2n?1?3?5…（2n﹣.【點評】本題考查了歸納推理，歸納推理是根據已有的事實，通過觀察、聯想、對比，再進行歸納，類比，然后提出猜想的推理，是基礎題.14.分）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園（陰影部分），則其邊長x為

20

（m）【分析】設矩形高為，由三角形相似可求得40=x+且＞0，＞0x＜，＜40，利用基本不等式即可求得答.【解答】解：設矩形高為y，由三角形相似得：40，＜40，

=

，且＞0y＞0，x＜?40=x≥2

，僅當x=y=20m時，矩形的面積取最大值400m2

.故答案為：20.【點評】本題考查基本不等式，考查相似三角形的應用，求得40=x+是關鍵，屬于中檔題.選做題（考生請注：請在列三題中任一題作，如果多做則按所的第一計分）15.（分）（不等式選做題）設，b，|a﹣|＞，則關于實數x的不等式﹣a|+|x﹣b|＞2的解集是R.【分析】判斷函數f（）=|x﹣a|+|x﹣b|的值域為（|a﹣b|，+∞），利用已知條件推出不等式的解集即可【解答】解：函數f（）=|x﹣a|+|x﹣b|的值域為（|a﹣b，+∞），因此，當?x∈R時，f（x）≥|﹣b＞2，所以不等式|x﹣|+|﹣＞2的解集是R.故答案為：R.【點評】本題考查絕對值不等式的基本知識，考查計算能力.16.（幾何證明選做題）如圖，AB與相交于點，過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點已百里航拍創編

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知∠A=∠C，PD=2DA=2，則PE=.【分析】利用已知條件判斷△EPD∽△APE，列出比例關系，即可求解的值.【解答】解：因為BC∥PE，∴∠∠，且在圓中∠BCD=∠BAD∠PED=∠BAD，?△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2??PE2

?PD=3×，∴PE=.故答案為：

.【點評】本題考查三角形相似的判斷與性質定理的應用，考查計算能力.17.（坐標系與參數方程做題）圓錐曲線（t為參數）的焦點坐標是（1，0）

.【分析】由題意第二個式子的平方減去第一個式子的4倍即可得到圓錐曲線C的普通方程，再根據普通方程表示的拋物線求出焦點坐標即可.【解答】解：由方程（t為參數）得2

=4x，它表示焦點在x軸上的拋物線，其焦點坐標為（1，）故答案為：（1，0）.【點評】本題是基礎題，考查參數方程與直角坐標方程的互化，極坐標方程的求法，考查計算能力三、解題：解答應出文字明、證明過及演算驟（本大題小題，共75分）18.（12分）已知向量=（﹣），=（

sinx，），∈R，設函數fx）.（Ⅰ）求（x）的最小正周期（Ⅱ）求（x）在[0]上的最大值和最小值【分析】Ⅰ通過向量的數量積以及二倍角的正弦函數兩角和的正弦函數，百里航拍創編

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化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過周期公式，求（x）的最小正周期.（Ⅱ）通過在[0]，求出fx）的相位的范圍利用正弦函數的最值求解所求函數的最大值和最小值【解答】解：（Ⅰ）函數f（）==sinxcosx）=sin（2x﹣

=（cosx，﹣）?

sinx，）最小正周期為：T=（Ⅱ）當x∈[

=π.]時，2x﹣∈，由正弦函數y=sinx在

的性質可知，sinx

，∴sin2x﹣），∴f）∈[﹣，1，所以函數f（x）在[0，]上的最大值和最小值分別為：1，﹣.【點評】本題考查向量的數量積以及兩角和的三角函數，二倍角公式的應用，三角函數的值域的應用，考查計算能力19.（12分）設S表示數列a}的前n項和.（Ⅰ）若{}為等差數列，推導S的計算公式；（Ⅱ）若a=1q0，且對所有正整數n，有S=

.判斷{a}是否為等比數列，并證明你的結論【分析】（I）設等差數列的公差為d則a=a+（n1）可得a+a=a+a﹣1

=…，利用“序相加即可得出；（II）利用=S﹣S即可得出a，進而得到a，利用等比數列的通項公式+++即可證明其為等比數列【解答】證明：（）設等差數列的公差為a+a=a+a=…，﹣百里航拍創編

，則a=a+，可得

n12nnnn11n1n2n1n11nn1n1nn111111111111n12nnnn11n1n2n1n11nn1n1nn111111111111111111111111111111111111111111111111111111

由S=a+a+…+a，S=a+a+…+a.﹣兩等式相加可得2S=（a+a）+（a+a）++（a+a），﹣∴

.（II）∵a=1q0，且對所有正整n有S=

.∴a=S﹣S==qn.++∴，可得（nN*），∴數列{a}是以a=1為首項，1為公比的等比數列.【點評】熟練掌握等差數列的通項公式及“倒序相”法、等比數列的定義及通項公式、通項公式與前n項和的公式是解題的關鍵20.（12分）如圖，四棱柱ABCD﹣BCD的底面ABCD是正方形，為底面中心，AO⊥平面ABCD，AB=AA=.（Ⅰ）證明：平面ABD∥平面CDB；（Ⅱ）求三棱柱﹣BD的體積.【分析】（Ⅰ）由四棱柱的性質可得四邊形DD為平行四邊形，故有BD和BD平行且相等，可得BD∥平面CBD.同理可證，AB∥平面CBD.而和AB是平面ABD內的兩條相交直線，利用兩個平面平行的判定定理可得平面ABD∥平面CDB.）由題意可AO為三柱ABDABD的高，由勾股定理得AO=

的值，再根據三棱柱ABD﹣BD的體積V=S

△

?AO，運算求得結果.【解答】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD的底面ABCD是正方形，為底面中心，AO⊥平面ABCD，AB=AA=

，由棱柱的性質可得BB和DD平行且相等，故四邊形BBDD為平行四邊形，故有BD和BD平行且相等而BD不在平面CBD內，而BD在平面CBD內，∴BD∥平面CBD.百里航拍創編

11111111111111111111111111111111111△11

同理可證，ABCD為平行四邊形，A∥平面CBD.而BD和AB是平面ABD內的兩條相交直線，故有平面BD∥平面CDB.（Ⅱ）由題意可得O為三棱柱ABD﹣BD的高.三角形AAO中，由勾股定理可得AO===1∴三棱柱ABD﹣ABD的體積V=S

?AO=

?AO=×1=1.【點評】本題主要考查棱柱的性質，兩個平面平行的判定定理的應用，求三棱柱的體積，屬于中檔題21.（12分）有位歌手（1至7號）參加一場歌唱比賽，由名大眾評委現場投票決定歌手名次，根據年齡將大眾評委分為組，各組的人數如下：組別

ABCDE人數5010015015050（Ⅰ）為了調查評委對7位歌手的支持狀況，現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組中抽取了人.請將其余各組抽取的人數填入下表.組別人數抽取人數

ABCDE50100150150506（Ⅱ）在（Ⅰ）中，若A，兩組被抽到的評委中各有2人支持號歌手，現從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率.【分析】Ⅰ利用分層抽樣中每層所抽取的比例數相等直接計算各層所抽取的人數；（Ⅱ）利用古典概型概率計算公式求出，B兩組被抽到的評委支持1號歌手的概率，因兩組評委是否支持1號歌手相互獨立，由相互獨立事件同時發生的概率公式計算從這兩組被抽到的評委中分別任選人，2人都支持號歌手的概率.【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例從不同的組中抽取人數.從組人中抽取人，即從人中抽取3人，從人中抽取人，填表如下：組別人數

A50

B100

C150

D150

E50百里航拍創編

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抽取人數

36993（Ⅱ）A組抽取的3人中有2人支持1好歌手，則從3人中任選1人，支持1號歌手的概率為.B組抽取的6人中有人支持1號歌手，則從人中任選1人，支持1號歌手的概率為.現從這兩組被抽到的評委中分別任選

1人，則2人都支持1號歌手的概率p=.【點評】本題考查了分層抽樣方法，考查了相互獨立事件同時發生的概率乘法公式，若事件A，B是否發生相互獨立，則pAB）=pA）p），是中檔題23.（14分）已知函數f（）=ex，∈R.（Ⅰ）求（x）的反函數的圖象上的點（1，）處的切線方程；（Ⅱ）證明：曲線y=f（）與曲線y=

有唯一公共點.（Ⅲ）設＜b比較f（）

與

的大小，并說明理由.【分析】（I）先求出其反函數，利用導數得出切線的斜率即可；）令xx）﹣

=

，利用導數研究函數

h（x）的單調性即可得出；（III）設b﹣a=t＞0通過作差﹣f（）

=

，構造函數（t=

（t0），可得g

（t==（t0.令hx）﹣x﹣x＞0），利用導數研究其單調性即可【解答】（I）解：函數fx）的反函數為g（x）=lnx，∵，∴g′（1）=1，∴x）的反函數的圖象上的點，）處的切線方程為y﹣（﹣），即y=x﹣（Ⅱ）證明：令hx）=fx）﹣百里航拍創編

=

，

百里航拍