222222第課時

奇偶性、稱性與周期題型一函數奇偶性的判定例判下函數的奇偶性：f()＝3＋x－；2f()＝；－－，f()＝>0f()＝log(x＋x＋1)．解

(1)

x2x±3(){33}(x)x30.(xfx)f(x()(1,0)∪lg∴x2<0∴2∴f(x.xlg[1lg∵(xfx)x∴f(x)f)∞0)∪∞)∵x<0x>0f()(x2

xx

x(xx>0f()(x2

xx2()(x(x∴f()f)fx)log[log(2

x

2211112222333344422111122223333444log(2

x)log(2

x)fxf()思維升華判函數的奇偶性，中包括兩個必備條件定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，以首先考慮定義域；判斷(x)f－x)是否具有等量關系判奇偶性的運中以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系fx)f(－x＝0(奇函數或f(－f－x)＝偶函數)是否成立．跟蹤訓練(1)下列函數是偶函數的()Af()＝x

－sinxBf()＝3

－C．f(x)＝x＋tanD．()＝x·ln(x2

＋1－x答案D解析ABD設函數fx)(x的定義域為Rf(x是奇函數()是偶函數下結論正確的()Af()g(x)是偶函數Bf)(x是奇函數C．fx()是偶函數D．(|x|)()是奇函數答案解析x)()g(x∴(xf(x(xf())F()∴(x)A)fx)()|∴(x)fx(xf(xgx)|fx)gxx))B)fx()∴(xf)|g)fx)|gx)()∴(x)C)(|xgx)∴(xf(|x()(|x|)g()x)

411411x∴(x)D題型二函數奇偶性的應用命題點利用奇偶性求參的值例若數f)＝x＋

為偶函數，則a的值為．答案

解析方法一()∵()∴()()∴(x)3

ax3

a1

∴2

x12x1

1∴a方法二)f()∴(f(1)f(a(1)∴1命題點利用奇偶性求解式例全國)f(x)奇函數，且當x≥0時fx)＝

－，則當x<0時f(x)于()Ax

－1

Be

＋1C．e－1答案D解析x<0x>0∵x≥0fx)x1∴()e∵(x)∴()fx1.命題點利用奇偶性求函值

D．＋例已函f()＝3m＝

＋5若fx在區間[－，]上的最大值為M最小值為，則＋

minminmin023πminminmin023π答案解析gxax

bx

gx)x∈[]g(x)()0f()g)2∴()g()∴gx)g)24.思維升華利函數奇偶性可以決以下問題求函數值：將待求值利用奇偶性轉化為求已知解析式的區間上的數值．求解析式待求區間上的自變量轉化到已知解析式的區間上用奇偶性的定義求出．求解析式中的參數利用待定系數法求解根據f()±－)到關于參數的恒等式由系數的對等性得方程(組，進而得出參數的值．畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖．求特殊值：利用奇函數的最大值與最小值之和為零可求一些特殊構的函數值．跟蹤訓練(1)已知函數(x是定義在R上奇數，且當≥0時f(x)＝x＋，則f－1)的值為()AbB－－．－2D．2答案解析∵x)∴(0)020

b0∴b1∴(f(1)(211b已知函數f)＝asinx＋tanx＋1若f(a)＝－，則(－a)＝答案解析gxsintangx)(x)1∵()ga)2∴(a∴(a(a1(a1題型三函數的周期性、對稱性命題點函數的周期性x例5已知函數fx)任意x∈，都有f＋2π＝fx，當x∈(0，)時，f(x＝2sin，f

3

等于()

023π674πffπ023π674πffπ22B.C．1D.32答案解析f(2)fxf(2π.f

3

π×f

xx∈(0π)fxππf西模已知定義在R上函數(x)足fx)－f＋，當x∈時，f)

＋logx，則f(2等()A5C2D．－5答案D解析∵x)fx∴()4f(0)f(2)(222)5.思維升華函周期性常用結論對fx)義域內任一自變量的值x：若f(＋)＝－()，則T＝2(a>0)．若f(＋)＝，則＝2(a>0)f若f(＋)＝－，＝(>0)．f若f(＋)＋()＝，則T＝a>0c常數．命題點函數的對稱性例多)已知函數f(x的定義域為R對任意都有f＋＝(2－x)且－)＝()，則下列結論正確的是()Af()的圖象關于x＝對Bf()的圖象關于(2,0)對稱C．f(x)的最小正周期為D．＝fx＋4)偶函數答案ACD解析∵(2xfx)(xx2AB

＋＋2∵fx)x2(x)(4)f(f(x∴x4)f(x)∴T4C∵T4f)y(x4)D思維升華對性的三個常用結＋若函數fx)足f＋x)＝(－x)，則y＝()的圖象關于直線x＝對．若函數fx)足f＋x)＝－(－x)，則y＝(的象關于點，對．若函數fx)足f＋x)＋(－x)＝c，則函數f()的圖象關于點

，對．跟蹤訓練(1)設定義在R上函數f(x滿足fx＋＝f(且當∈[0,3)時fx＝x－x

＋1則f＋f＋f＋…f(2＝________.答案解析∵x()∴x∈f(x)221∴(0)1(1)f∴(0)(1)f2∴(0)(1)ff×4696.已知函數f)的定義域為，且fx)為奇函數，其圖象關于直線x＝2對．當x∈時，fx)2x，則f＝答案解析∵x)x∴()(4)f()∴()f(x)f(fx)T∵2022×8∴f(6)f(f(2)4.我們把不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特征的函數稱為抽象函數，一般用y＝()表示，抽象函數問題可全面考查函數的概念和性質，將函數定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、圖象集于一身，是考查函數的良好載體．例若數f

)的定義域是[－1,1]，則f(log)的定義域為________．

222222答案

[24]解析yf

)≤x≤1∴

1

≤2

≤yf(logx)2

≤log≤∴2≤y(log)[4]例已函f()對任意正實數a，b都有fab＝)＋f(b)成立．求f(1)，f(－的值；求證：f

x

＝－f)；若f(2)＝，f＝(p為常)，求f的．解abf(1)(1)f(1)0ab1∴(1)(1)(1)∴(0.證明a，bxf(1)f

(x)∴f

fx)解a2(4)(2)f(2)2pabf(9)f(3)fa49f(4)f(9)2p2q.例3已函數y＝f(x)的定義域為R滿fx＋y＝f(x)f(y

＝1>0時)>0.求f(0)的；判斷函數的奇偶性并證明；判斷函數的單調性，并解不等式f＋f(2＋x)<2.解

(1)f(0)(0)f∴(0)0.f()yxf(0)f(x()0∴()f(x)()R

112121211121112112f112121211121112112fff()Rx∈R<xx∴(xf(xf(x)(x)(x(xf(x)(x)>0∴(xff()∵f

∴f

f

2∴()f)(xx(22)<

y(x)Rx2x<，∈∞課時精練．重慶一中下列函數中，既是偶函數(，＋∞)上單調遞增的是A＝－1B．y＋

)cosC．yx

D．y＝－答案Bk－2x．函數f(x)在義域上為奇函數，則實數的為)＋k·2xA2B．0C．1－1D答案解析f()k2(xfx)k·2x

2xk

k1k±1.

9x＋．南昌聯考函數f(x)的圖象)A關于軸稱B關于軸稱C．于坐標原點對稱D．于線＝對稱答案B1解析f)3xxfx3x∴()()f()．知函數fx)是定義在R上周期為奇函數，當0<<1時fx)，等于()A2B．0C．2．答案A解析∵f()∴(1)f1)(12)f(1)∴(1)0

－＋(1)f

1ff

2∴f

f(1)．(多選已知y＝()是定義在R上奇函數，則下列函數中為奇函數的()A＝f(|x|)C．yxf()

B＝(－x)D．y＝f(x)＋x答案BD解析f)(xAffx|)Bf[(x)]f)f)Cxf(x)·[fx)]()D(x()[()xBD選)若定義域為R的數fx)在(4上單調遞減數＝f(x＋4)偶函數)Af(2)>C．f＝f答案解析∵fx4)

Bf＝D．(3)>

∴(4)f(4)∴y(x)x4∴(2)(6)ffy(x)(∞)∴(5)>f∴f(3)>f(6)．知f(x)2是定義[a1,2a]上的偶函數，那么a值是________．答案

解析

f)ax2

bxb[aa]a1a∴a，∴.≤0，．咸陽模擬已知函數f(x＝>0

為奇函數，則＝________.答案－解析ff(x)f(f(1)a1)函f(x)對?∈R滿足f(1)＝(1)＋2)－ff(0)＝1f＝答案解析∵x(x∴()4∴f∵?∈Rfx)f(1x)∴()1∴(2)(0)1．知函數fx)＝x3＋，對任意的m∈[－2,2]f(－2)＋(恒成立，則x的值范圍為．答案－2，解析Rf2)f(f(2)<fx)fx)xm∈[2,2]gm)22<<

＋x，x>011已知函數(x)＝x＝，，x

是奇函數．求實數m的；若函數fx)區間[－1－上單調遞增，求實數取值范圍．解

(1)<0x(xx)2

2()x

2xf()(xfx)x<0f)x2xxm2.

fx)[(x)()

1<a≤3a(1,3]設f(x是定義在R上奇數對任意實數有f＋＝－fx)當∈時()＝2－2

求證：f(x是周期函數；當∈時求f)解析式．證明∵f(x2)()∴(fxf)∴()4解∈∴x∈[2]∴4∈∴x)2(4x(4xx68.∵x)(x(x∴(x)2

6x∈f)x．f()＝

－a

為奇函數，則滿足fx－1)>－2e2

的x的值范圍是)

11223112231212A(－2＋∞C．(2，＋∞

B(－1，＋∞D．(3，＋∞)答案B解析∵x)∴(0)101∴()x∴()f(

2

e2

2e2

∴fxf∴x1>2>．知函數f(x)對任意實數滿f－x＋f(x)＝2，若函數y＝的圖象與y＋1有三個交點(x，)(x，，(x，，則y＋＋＝答案解析f()fx2f()(0,1)yx(y(x)x(0,1)(0,1)y23.．多選已知fx)是定義域為R的函數，且函fx＋2)為偶函數，則下列論正確的是()A函數＝f(x)圖象關于直線x＝1稱Bf(4)＝0C．f(x＋＝f(x)D．f(5)＝－1，則f＝－答案解析f)Rf()fx)(2)()x2(xf(4)(x4)()

1112121111212112121212f(fxfx)()Af)x2AB()Rff(x)xf(4)0BCfx)8fx8)()D，