專題06雙變量問題【方法技巧與總結】破解雙參數不等式的方法：一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的不等式；二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.【題型歸納目錄】題型一：雙變量單調問題題型二：雙變量不等式:轉化為單變量問題題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題題型四：雙變量不等式:中點型題型五：雙變量不等式:剪刀模型題型六：雙變量不等式:主元法【典例例題】題型一：雙變量單調問題例1.(2022?蘇州三模)已知函數/(x)=(x-l)0r-，其中(I)函數/*)的圖象能否與％軸相切？若能，求出實數“，若不能，請說明理由；(II)求最大的整數。，使得對任意%wR,x2e(0,-Ko),不等式/(X+x2)~/(^-x,)>-2x2恒成立例2.(2020秋?龍巖期中)已知函數g(x)=x-a阮j(1)討論g(x)的單調性；(2)若a>2,且/(x)=1-g(x)存在兩個極值點內，x,(n<x,),證明：J\xx)-/(x,)>(?-2)(x1-x2).x例3.(2022?遼寧)已知函數/(x)=(a+l)阮c+ar-+].(1)討論函數/(幻的單調性；(2)設。<一1.如果對任意用，七￡(。，+8)，"(X)-/02)1??41%-馬I，求a的取值范圍.例4.(2020春?平頂山期末)已知函數/。)=2/2+乂，m>0.x(1)當〃?=e(e為自然對數的底數)時，求/(力的極小值；(2)討論函數g(x)=/(x)-x的單調性；(3)若〃L.1,證明：對于任意匕>a>0,幺？-<]b-a題型二：雙變量不等式:轉化為單變量問題例5.(2021春?海曙區校級期中)已知函數/(x)=L-x+4mr.x(1)討論/")的單調性：(2)已知若八幻存在兩個極值點%,占，且為<M，求以史的取值范圍.2x(x,例6.(2021春?江寧區校級期中)已知函數/(x)=ar/nx,awR.(1)當〃=1時，①求f(x)的極值；m②若對任意的x..e都有/(x)…'e”,/〃>0,求m的最大值；x(2)若函數g(x)=/'(x)+/有且只有兩個不同的零點也，x2,求證：$七>/.例7.(2022?德陽模擬)設函數=(1)當4時，求g(x)=/'(x)?ei的單調區間(/'(X)是/(幻的導數)；e(2)若/(x)有兩個極值點芭、x2(x,<x2),證明：x}+2x2>3.例8.(2022?潮州二模)已知函數/(.r)=lux,g(x)=x2-ax(a>0).(1)討論函數〃(x)=/(x)+g(x)的極值點；(2)若％,毛(%〈工)是方程/。)-駕+1=0的兩個不同的正實根，證明：x-+^>4a.XX-例9.(2022?浙江模擬)已知4￡尺，函數/(x)=e'—ar+a.（I）若/1（%）..0,求?的取值范圍;（II）記X],（其中西<工2）為/（X）在（。，中功上的兩個零點，證明：――<<—+1?a-eIna題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題例10.（2021春?溫州期中）已知函數/（x）=3-々or-」）?2x（1）若々=1,證明：當0<xvl時，/（x）>0；當x>l時，/（x）<0.（2）若/'5）存在兩個極值點%,小，證明：<一%一々2例11.（2021春?浙江期中）已知函數/"）=,一4+4伍廠x（1）當4=0時，求函數/。）在點（1,0）處的切線方程；（2）討論/'（幻的單調性；（3）若f（x）存在兩個極值點M，x,,證明："/）二"3。-2.例12.（2021秋?武漢月考）已知函數/（1）=布+羅一（4+1）人”/?.（1）討論函數/（%）的單調區間;（2）設玉，%（。<%V%2）是函數g（X）=/（X）+X的兩個極值點，證明：&（百）-g02）<]-/〃〃恒成立?題型四：雙變量不等式:中點型例13.(2022?呼和浩特二模)己知函數/(x)=/〃x-a*+(2-〃)x.①討論/（X）的單調性；②設4>0,證明：當0<X<L時，/（—4-x）>f（--x）；aaa③函數），=/（?的圖象與x軸相交于4、B兩點,線段4?中點的橫坐標為%,證明例14.（2021秋?山西期末）已知函數/。）=24+（1-24加+色.x（1）討論/。）的單調性；（2）如果方程/（的=，〃有兩個不相等的解內，與，且證明：r（"殳）>（）.例15.（2022?沙坪壩區校級開學）已知函數/*）=k一2公+2/w（a>0）.（1）討論函數/3）的單調性；（2）設g（x）=〃n-質-工，若函數/（幻的兩個極值點耳,為（*<W）恰為函數g。）的兩個零點，且丫=（3-占）/（與土）的取值范圍是［加3-1,+oo）,求實數〃的取值范圍.題型五：雙變量不等式:剪刀模型例16.（2022?日照一模）已知函數/。）=*+加（娉-〃）仍>0）在點（」,/（」））處的切線方程為226—1（e-l）x+ey+=0.2（1）求a,b；（2）函數f（x）圖象與x軸負半軸的交點為P,且在點尸處的切線方程為）=力（幻，函數F（x）=f（x）-h（x）,xwR,求F（x）的最小值；（3）關于x的方程=有兩個實數根%,北，且西〈乂，證明：x,—苦,，1+2'”_-.2\-e例17.（2021春?道里區校級期中）已知函數/（x）=ar-e'+l,小3是/。）的極值點.（I）求。的值：（II）設曲線），=/（?與X軸正半軸的交點為尸，曲線在點P處的切線為直線/.求證：曲線），=/*）上的點都不在直線/的上方；（HI）若關于x的方程/'（x）=/〃（〃?>0）有兩個不等實根玉，x2（xi<x2）,求證：七一%<2-產.例18.（2022?江西校級二模）已知函數/（x）=6x-f,xwR.（I）求函數/*）的極值；（II）設曲線y=/（x）與x軸正半軸的交點為尸，求曲線在點尸處的切線方程；（III）若方程/（幻=a（。為實數）有兩個實數根X1，占且王<工2，求證：9-題型六：雙變量不等式:主元法例19.（2021春?哈密市校級月考）已知函數f（x）=xbix.（1）求函數fW的單調區間和最小值；（2）當。>0時，求證：從..（1）5（其中e為自然對數的底數）；e例20.（2021秋?廣東月考）已知函數/（幻=。《+（加（其中acR且“為常數，e為自然對數的底數,x6=2.71828…）.（I）若函數f（x）的極值點只有一個，求實數〃的取值范圍；（II）當a=0時,若f（x\,H+〃？（其中機>0）恒成立,求（Z+1）〃?的最小值h（m）的最大值.例21.（2022?微山縣校級二模）設函數=（I）求/（x）的極值；（1【）設g（x）=/（x+l），若對任意的X.0，都有g（X）..〃2X成立，求實數W的取值范圍；（III）若OvavZ?,證明：0</（4）+/（1）—2］（"；"）<3—〃）加2.【過關測試】（2022?遼寧?撫順市第二中學三模）已知函數=x-；（2-a）/一:底相（=2.71828…）⑴當時，證明函數/(X)有兩個極值點：⑵當OvaWl時，函數g(x)=/(x)-；bx2-法在(0,y)上單調遞減，證明人1+1(2022?北京?北師大二附中三模)已知函數"x)=eX(l+〃Hnx),其中機>0,2(力為外力的導函數.(1)當〃?=1,求/("在點(lj(l))處的切線方程；⑵設函數且〃(工)...|恒成立.①求〃?的取值范圍；②設函數/(x)的零點為/'("的極小值點為巧，求證：(2022?湖北?高二階段練習)已知函數/(x)=lnx+3x2-(a+l)M4€R),g(x)=f(x)-^-x2+(a+\)x.(1)討論/⑶的單調性;(2)任取兩個正數.，當王<*2時，求證：g(xl)-g(x2)<z^——.X]+x2(2022?陜西?漢臺中學模擬預測(理))已知函數/(工)=1門+@+8(?,bwR).JC⑴求函數/(X)的極值；(2)若函數/(X)的最小值為0,陽，々(玉</)為函數g(x)=/(x)-g的兩個零點，證明：cAl-elnx,>2.(2022?江蘇?海門中學高二階段練習)已知函數/(x)=lnx+jf—公⑴討論函數f(x)的單調性；(2)若/(冷有兩個極值點不天，證明"")"七)<2一InIna-\nb2Ina-\nb2(2022.湖北.模擬預測)已知對于不相等的正實數小b,有疝<.°-b〈孚成立,我們稱其為對數平均不等式.現有函數〃耳=見山⑴求函數Ina-\nb2①證明：—T；②證明：|-^~x2\<—^(Inm)2-2\nm.(2022?山東濟寧?高二期中)已知函數/(x)=-x+1+alnx(awR),且/(x)有兩個極值點%,占.X⑴求實數。的取值范圍；⑵是否存在實數〃，使以上3=。一2成立，若存在求出。的值，若不存在，請說明理由.司一聲(2022?廣東?廣州市第七中學高二期中)已知函數/⑴=lnx-加+(2-4)二⑴討論/")的單調性；⑵若函數y=/(x)的圖像與％軸交于A,8兩點，線段AB中點的橫坐標為小,證明：/'5)<().(2022?重慶?萬州純陽中學校高二期中)設函數/(x)=lnx+g(aeR).x(1)討論函數/(X)的單調性：⑵若/⑴有兩個零點中士,①求〃的取值范圍；②證明：2a<xl+x2<\.(2022?福建省廈門集美中學高二期中)已知函數/(x)=ar+lnx.⑴試討論/(x)的極值；⑵設晨司=丁-2丹2