1第二章極限與連續2第一節數列極限limitsofsequence例1割圓術

我國古代數學家劉徽在《九章算術注》利用圓內接正多邊形計算圓面積的方法--割圓術，就是極限思想在幾何上的應用。一、極限的思想

3

三國時的劉徽提出的的方法.他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···這樣繼續分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長.“割圓求周”

割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣.412345678…項號邊數內接多邊形周長直徑為1241263

2.5980762113533.000000000000

3.105828541230

3.13262861328148

3.13935020304796

3.141031950891192

3.141452472285384

3.141557607912……………定量分析

15例2截杖問題1：剩余的長度：截去的總長度0戰國時代哲學家莊周著的《莊子·天下篇》引用過一句話：一尺之棰日截其半萬世不竭.6二、數列的概念concepts例如稱為無窮數列,簡稱數列.

1、數列的定義7說明：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數82、單調數列

monotonicsequence稱單調增加稱單調減少單調數列3、有界數列

boundedsequence有界；無界。否則稱無界。9三、數列的極限1x210問題：當n無限增大時,xn

是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?一般地，有：通過上面圖示觀察：11如果數列沒有極限,就說數列是發散的.定義2.1記為或12用計算器計算由此猜想數列的極限(保留兩位有效數字)．由計算器可算得由此猜想【實驗】解13例114例2解1516函數的極限第二節17一、自變量趨于無窮大時函數的極限xy18通過上面圖示觀察:一般地有:定義2.319例2解例1解xy20類似地可以定義2122幾何解釋:ox2324例4解例3解xy25函數的極限第三節26定義2.4273.幾何解釋:說明：28例5例629單側極限左極限：30右極限：31解左右極限存在且相等,例732左右極限存在但不相等,例8證33例9

設解3435無窮大量與無窮小量第四節36一、無窮小量定義以零為極限的函數(或數列)稱為無窮小.例如,注：1、無窮小是變量,不能與絕對值很小的數混為一談;3、稱一個函數是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢。2、零是唯一可以作為無窮小的數；37１、無窮小的性質：

1°

有限多個無窮小之和仍是無窮小；

定理2°

有限多個無窮小之積仍是無窮小；

3°

無窮小與有界變量之積仍是無窮小。

138例1解39例2例3注：所有反三角函數均是有界函數。40定理

變量y以A為極限的充分必要條件是：變量y可以表示為A與一個無窮小的和。即lim

y=Ay=A+a，其中a是無窮小

。定理表明：

極限概念可以用無窮小概念來描述.證略。2、無窮小與極限的關系41二、無窮大量絕對值無限增大的變量叫無窮大.xoy42定義：

1、無窮大量是一個變量，不可與絕對值很大很大的數混為一談；2、稱函數是無窮大量，必須指明其自變量的變化趨勢。注：43同理，

44例如有兩條豎直漸近線:45三、無窮大與無窮小的關系意義

關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.例4無窮大.

46無窮大量的遐想

一萬年之說；

至少比你多一；

無窮大可分為無窮多個無窮大

47極限的性質、極限的四則運算法則第五節48一、存在極限的函數的基本性質性質1函數極限的唯一性性質2有極限函數的局部有界性性質3有極限函數的局部保號性49二、極限的四則運算法則證略定理50推論1推論251例2例1如果分母的極限為零,則不能直接運用上述方法。52解例3消零因子法53共軛因子法解解變量代換法

例4例554例6解一般,55例7例856例957例1058例11解注意：以下解法錯誤：因為法則(1)不能推廣到無限多個函數的情形.59解例1260復合函數的極限證略61解例11或解62例12解63例13解共軛因子法64兩個重要極限第六節65證略1、夾逼準則和66例1解由夾逼定理得67上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限.定理(夾逼定理)證略。68xy下面利用夾逼準則證明一個重要的極限:

169基本不等式：等號當且僅當x=0時成立。70即得71所以72解所以例2例373例4解74稱單調增加稱單調減少單調數列具體：單調增加有上界，或單調減少有下界。2、單調有界準則準則Ⅱ單調有界數列必有極限.75利用準則Ⅱ可證明另一個重要的極限：

76以e為底的對數稱為自然對數，

可以證明，相應的函數極限有

或77例5解78例7解例8解例6解79例9解求極限80小結1.兩個準則2.兩個重要極限夾逼準則;單調有界準則.81無窮小的比較第八節82例如,

比值極限不同,反映了兩者趨向于零的“快慢”程度不同.觀察各極限比較它們趨向于0的速度，83定義：84說明：

85例186例3證87例4證88例5解例6解89常用等價無窮?。?0定理(等價無窮小替換定理)證只有在乘、除的極限運算中才能替換；注意在其他極限運算中不能替換！91例7解92例8解解錯93例9解94函數的連續性第七節951、函數的改變量一、函數連續的定義96

例1

證明函數y=x2在給定點x0處連續。

證

在x0處，函數的改變量為所以y=x2在給定點x0處連續。2、函數在一點處連續的定義如果

97下面給出函數連續的定義的另一種等價形式。如果

98例2證（3）函數值與極限值相等.

99例3解1004、連續區間與連續函數101例5102二、函數的間斷點定義函數不連續的點稱為函數的間斷點.1、左右極限都存在的間斷點,稱第一類間斷點：

(1)可去型間斷點103例6討論函數解注意

可去型間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義,則可使其變為連續點.104(2)跳躍型間斷點例7解105例8解2、左右極限至少有一個不存在的間斷點,稱第二類間斷點。

106例9解這種情況稱為振蕩型間斷點。107解例10108三、初等函數的連續性1、連續函數的四則運算定理1例如,三角函數在其定義域內皆連續.109定理32、復合函數的連續性極限運算與函數運算可以交換次序110所有基本初等函數在其定義域內都是連續的.一切初等函數在其定義域內都是連續的.也就是說，對初等函數來說，連續區間即為其定義域。111連續性在函數極限計算中的應用初等函數求極限的方法：代入法.例1例2解解112例3解極限運算與函數運算可以交換次序思考：113例4解類似可得114例5解前面已證等價無窮小替換115例6解116四、閉區間上連續函數的性質定理1(有界性與最大值最小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上有界且能取得最大值和最小值.記作11