2023/2/51第4章不確定性知識的表示與推理技術2023/2/52內容4.1不確定性知識表示與推理概述4.2確定性理論4.3主觀貝葉斯方法4.4證據理論4.5基于貝葉斯網絡的推理4.6模糊推理4.7不確定性推理的應用2023/2/534.1不確定性知識表示與推理概述一般的（確定性）推理過程：運用已有的知識由已知事實推出結論.如已知:事實A，B知識ABC可以推出結論C。此時，只要求事實與知識的前件進行匹配。問題：如果A可能為真，B比較真，知識ABC只在一定程度上為真，結論如何？2023/2/544.1不確定性知識表示與推理概述通過幾個例子認識不確定性：今天有可能下雨如果烏云密布并且電閃雷鳴，則很可能要下暴雨。張三是個禿子“禿子悖論”2023/2/554.1不確定性知識表示與推理概述4.1.1不確定性及其類型4.1.2不確定性推理概述2023/2/564.1.1不確定性及其類型(1)不確定性：知識和信息中含有的不肯定、不可靠、不準確、不精確、不嚴格、不嚴密、不完全甚至不一致的成分。按性質分類：隨機不確定性模糊不確定性不完全性不一致性2023/2/574.1.1不確定性及其類型(2)隨機不確定性隨機不確定性是基于概率的一種衡量，即已知一個事件發生有多個可能的結果。雖然在該事件發生之前，無法確定哪個結果會出現，但是，可以預先知道每個結果發生的可能性。例如：“這場球賽甲隊可能取勝”“如果頭疼發燒，則大概是患了感冒。”2.模糊不確定性模糊不確定性就是一個命題中所出現的某些言詞其涵義不夠確切，從概念角度講，就是其代表的概念的內涵沒有硬性的標準或條件，其外延沒有硬性的邊界。例如：“小王是高個子。”“張三和李四是好朋友。”把涵義不確切的言詞所代表的概念稱為軟概念。2023/2/584.1.1不確定性及其類型(3)3.不完全性

對某事物了解得不完全或認識不夠完整。如，刑偵過程的某些階段往往要針對不完全的證據進行推理。4.不一致性

隨著時間或空間的推移，得到了前后不相容或不一致的結論。如，人們對太空的認識等。2023/2/594.1.2不確定性推理（1）1.不確定性推理方法的分類控制方法模型方法非數值方法數值方法模糊推理基于概率純概率可信度方法證據理論主觀Bayes通過識別領域內引起不確定性的某些特征及相應的控制策略來限制或減少確定性對系統產生的影響。貝葉斯網絡2023/2/5104.1.2不確定性推理概述（2）對比一下不確定性推理與通常的確定性推理的差別：(1)不確定性推理中規則的前件能否與證據事實匹配成功，不但要求兩者的符號模式能夠匹配（合一），而且要求證據事實所含的信度必須達“標”，即必須達到一定的限度。這個限度一般稱為“閾值”。(2)不確定性推理中一個規則的觸發，不僅要求其前提能匹配成功，而且前提條件的總信度還必須至少達到閾值。(3)不確定性推理中所推得的結論是否有效，也取決于其信度是否達到閾值。(4)不確定性推理還要求有一套關于信度的計算方法，包括“與”關系的信度計算、“或”關系的信度計算、“非”關系的信度計算和推理結果信度的計算等等。2023/2/5114.1.2不確定性推理概述（3）2.不確定性推理需要解決的問題1）不確定性的表示與度量證據的不確定性規則（知識）的不確定性結論的不確定性2）不確定性的匹配算法3）不確定性的計算與傳播組合證據的不確定性計算(最大最小方法、概率方法、有界方法)證據和知識的不確定性的傳遞不同證據支持同一結論時其不確定性的合成因此，不確定性推理的一般模式也可以簡單地表示為：不確定性推理=符號推演+不確定性計算2023/2/5124.2確定性理論4.2.1知識的不確定性表示4.2.2證據的不確定性表示4.2.3不確定性的傳播與計算4.2.4確定性理論的特點及進一步發展2023/2/5134.2.1知識的不確定性表示（1）不確定性度量知識的不確定性表示：

ifEthenH(CF(H,E))

CF(H,E)：是該條知識的可信度，稱為可信度因子或規則強度，它指出當前提條件E所對應的證據為真時，它對結論為真的支持程度。如：“如果頭疼發燒，則患了感冒；(0.8)。”“如果烏云密布并且電閃雷鳴，則很可能要下暴雨。(0.9)”2023/2/5144.2.1知識的不確定性表示（2）在CF模型中，CF的定義為

CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)

用P(H)表示H的先驗概率；P(H/E)表示在前提條件E對應的證據出現的情況下，結論H的條件概率。

MB（MeasureBelief）：稱為信任增長度，它表示因與前提條件E匹配的證據的出現，使結論H為真的信任增長度。

MB定義為：

2023/2/5154.2.1知識的不確定性表示（3）

MD（MeasureDisbelief）：稱為不信任增長度，它表示因與前提條件E匹配的證據的出現，使結論H為真的不信任增長度。MD定義為：

2023/2/5164.2.1知識的不確定性表示（4）由MB、MD得到CF(H,E)的計算公式：

2023/2/5174.2.1知識的不確定性表示（5）CF公式的意義當MB（H，E）>0時，MD（H，E）＝0，表示由于證據E的出現增加了對H的信任程度。當MD（H，E）>0時，MB（H，E）＝0，表示由于證據E的出現增加對H的不信任程度。注意：對于同一個E，不可能既增加對H的信任程度又增加對H的不信任程度。2023/2/5184.2.1知識的不確定性表示（6）當已知P(H)，P(H/E)，運用上述公式可以求CF(H/E)。但是，在實際應用中，P(H)和P(H/E)的值是難以獲得的。因此，CF(H,E)的值要求領域專家直接給出。其原則是：若由于相應證據的出現增加結論H為真的可信度，則使CF(H,E)>0，證據的出現越是支持H為真，就使CF(H,E)的值越大；反之，使CF(H,E)<0，證據的出現越是支持H為假，就使CF(H,E)的值越小；若證據的出現與否與H無關，則使CF(H,E)=0。

2023/2/5194.2.1知識的不確定性表示（7）例

如果感染體是血液，且細菌的染色體是革蘭氏陰性，且細菌的外形是桿狀，且病人有嚴重發燒，

則該細菌的類別是假單細胞菌屬（0.4）。這就是專家系統MYCIN中的一條規則。這里的0.4就是規則結論的CF值。2023/2/5204.2.2證據的不確定性表示（1）證據的不確定性表示初始證據CF(E)由用戶給出先前推出的結論作為推理的證據，其可信度由推出該結論時通過不確定性傳遞算法而來。2023/2/5214.2.3不確定性的傳播與計算（1）組合證據前提證據事實總CF值計算（最大最小法）E=E1E2…EnCF(E)=min{CF(E1),CF(E2),…CF(En)}E=E1E2…EnCF(E)=max{CF(E1),CF(E2),…CF(En)}E=E1CF(E)=-CF(E1)2023/2/5224.2.3不確定性的傳播與計算（2）推理結論的CF值計算

C-F模型中的不確定性推理是從不確定的初始證據出發，通過運用相關的不確定性知識，最終推出結論并求出結論的可信度值。結論H的可信度由下式計算：

CF(H)=CF(H,E)max{0,CF(E)}

當CF(E)<0時，CF(H)=0，說明該模型中沒有考慮證據為假時對結論H所產生的影響。2023/2/5234.2.3不確定性的傳播與計算（3）重復結論CF值計算

ifE1thenH(CF(H,E1))ifE2thenH(CF(H,E2))

（1）計算CF1(H)CF2(H)；（2）計算CF

(H)：CF1(H)+CF2(H)–CF1(H)

CF2(H)若CF1(H)0,

CF2(H)0CF1(H)+CF2(H)+CF1(H)

CF2(H)若CF1(H)0,

CF2(H)0

CF1(H)+CF2(H)若CF1(H)與

CF2(H)異號CF1，2(H)

=

2023/2/5244.2.3不確定性的傳播與計算（4）例4.1設有如下規則：

r1:IFE1THENH0.8)r2:IFE2THENH(0.9)r3:IFE3ANDE4THENE1(0.7)r4:IFE5ORE6THENE1(－0.3)并已知初始證據的可信度為：CF（E2）=0.8，CF（E3）=0.9，CF（E4）=0.7，CF（E5）=0.1，CF（E6）=0.5，用確定性理論計算CF（H）。

2023/2/5254.2.3不確定性的傳播與計算（5）由r3可得：

CF1（E1）=0.7×min{0.9,0.7}=0.49由r4可得：

CF2（E1）=－0.3×max{0.1,0.5}=－0.15從而

CF1,2（E1）=（0.49－0.15）/(1－min(|0.49|,|－0.15|))=0.34/0.85=0.4由r1可得：

CF1（H）=0.4×0.8=0.32由r2可得：

CF2（H）=0.8×0.9=0.72從而

CF1,2（H）=0.32+0.72-0.32×0.72=0.8096這就是最終求得的H的可信度。2023/2/5264.2.4確定性理論的特點及進一步發展可信度方法的進一步發展(1)帶有閾值限度的不確定性推理知識表示為：ifEthenH(CF(H,E),)

其中

是閾值，它對相應知識的可應用性規定了一個度:0<<1(2)加權的不確定性推理知識表示為：ifE1(1)andE2(2)and…thenH(CF(H,E),)

其中1，1，…n為加權因子。(3)前提條件中帶有可信度因子的不確定性推理知識表示為：ifE1(cf1)andE2(cf2)and…thenH(CF(H,E),)2023/2/5274.3主觀貝葉斯方法（1）簡介

主觀貝葉斯方法是R.O.Duda等人1976年提出的一種不確定性推理模型，并成功地應用于地質勘探專家系統PROSPECTOR。其核心思想是：

根據：Ⅰ.證據的不確定性（概率）P(E);Ⅱ.規則的不確定性（LS，LN）；

LS：E的出現對H的支持程度，

LN：E的出現對H的不支持程度。把結論H的先驗概率更新為后驗概率P(H|E)；2023/2/5284.3主觀貝葉斯方法（2）4.3.1知識的不確定性表示4.3.2證據的不確定性表示4.3.3不確定性的傳播與計算4.3.4主觀貝葉斯方法的特點2023/2/5294.3.1知識的不確定性表示（1）

知識是用規則表示的，具體形式為：

ifEthen(LS,LN)H(P(H))或：

其中?

E

是該條知識的前提條件，它既可以是一個簡單條件，也可以是用and、or把多個條件連接起來的復條件。?H

是結論，P(H)是H的先驗概率，它指出在沒有任何專門證據的情況下，結論為真的概率，其值由領域專家根據以往的實踐及經驗給出。2023/2/5304.3.1知識的不確定性表示(2)?

LS

稱為充分性量度，用于指出E對H的支持程度，取值范圍為[0，∞），其定義為：

LS=

LS的值由領域專家給出，具體情況在下面論述。?

LN

稱為必要性量度，用于指出

E對H的支持程度，取值范圍為[0，∞），其定義為：

LN==

LN的值也由領域專家給出，具體情況在下面論述。?

LS,LN相當于知識的靜態強度。P(E/H)P(E/H)P(E/H)P(E/H)1P(E/H)1P(E/H)2023/2/531在貝葉斯方法中，引入幾率函數o(x)

，它與概率的關系為:幾率函數與概率函數有相同的單調性，但取值為[0，]下面討論LS、LN定義的由來O(x)=P(x)1－P(x)4.3.1知識的不確定性表示（3）2023/2/5324.3.1知識的不確定性表示(4)1)對于LS:

由Bayes公式得：

P(H/E)=[P(E/H)P(H)]/P(E)①

同理有：

P(H/E)=[P(E/H)P(H)]/P(E)②

①除以②，得：

P(H/E)P(E/H)P(H)

P(H/E)P(E/H)P(H)

③

LS=O(H)O(H/E)2023/2/5334.3.1知識的不確定性表示(5)使用幾率函數，③式可以表示為:

O(H/E)=LS×O(H)

可以看出，LS越大，O(H/E)越大，則P(H/E)越大，表明E對H為真的支持越強。當LS∞

，P(H/E)1，E的存在對H為真是充分的，故稱LS為充分性量度。對于上式，證據E肯定存在時，即P(E)=P(E/S)=1，考慮P(H/E)。由③式及“非”運算：P(H/E)=1–P(H/E)、P(H)=1–P(H),得：

LS將H的先驗概率更新為后驗概率P(H/E)=

LSP(H)(LS–1)P(H)+12023/2/5344.3.1知識的不確定性表示(6)2)對于LN:

由Bayes公式得：

P(H/E)=P(E/H)P(H)/P(E)①

同理有：

P(H/E)=P(E/H)P(H)/P(E)②

①除以②，得：

P(H/E)P(E/H)P(H)P(H/E)P(E/H)P(H)③

=LNO(H)O(H/E)2023/2/5354.3.1知識的不確定性表示(7)LN的定義還可以表示為：

O(H/E)=LN×O(H)則LN越大，表明

E對H為真的支持越強。當LN=0

，P(H/E)=0，E的不存在導致H為假，說明E對H是必要的，故稱LN為必要性量度。由③式及“非”運算P(H/E)=1–P(H/E)、P(H)=1–P(H),得：LN將H的先驗概率更新為后驗概率P(H/E)=LNP(H)(LN–1)P(H)+12023/2/5364.3.1知識的不確定性表示(9)可以證明：LS、LN>0,它們是不獨立的，且有如下約束關系：當LS>1時，LN<1；當LS<1時，LN>1；當LS=1時，LN=1；實際系統中，LS、LN值是有專家給出的。2023/2/537

4.3.2證據的不確定性表示（1）

證據的不確定性也是用概率表示的。

對于初始證據E，由用戶根據觀察S給出P(E/S)，它相當于動態強度。

具體應用中采用變通的方法，在PROSPECTOR中引進了可信度的概念，用C(E/S)刻畫證據的不確定性。讓用戶在–5至5之間的11個整數中選一個數作為初始證據的可信度C(E/S)。

初始可信度C(E/S)與概率P(E/S)的對應關系如下：

C(E/S)=-5，表示在觀察S下證據E肯定不存在，即P(E/S)=0；C(E/S)=0，表示S與E無關，即P(E/S)=P(E)；C(E/S)=+5，表示在觀察S下證據E肯定存在，即P(E/S)=1；2023/2/5384.3.2證據的不確定性表示（2）C(E/S)=其它數值時，與P(E/S)的對應關系可通過對上述三點進行分段線性插值得到，如下圖。P(E/S)1P(E)C(E/S)-5-4-3-2-1012345由上圖可得到C(E/S)與P(E/S)的關系式，即由C(E/S)計算P(E/S)：P(E/S)=若0C(E/S)5若5C(E/S)<0C(E/S)+P(E)(5C(E/S))55P(E)(C(E/S)+5)2023/2/5394.3.3不確定性的傳播與計算

在主觀Bayes方法的知識表示中，P(H)是專家對結論H給出的先驗概率，它是在沒有考慮任何證據的情況下根據經驗給出的。隨著新證據的獲得，對H的信任程度應該有所改變。主觀Bayes方法推理的任務就是根據證據E的概率P(E)及LS,LN的值，把H的先驗概率P(H)更新為后驗概率P(H/E)或P(H/E)。

即：

P(H)P(H/E)或P(H/E)

P(E)LS,LN2023/2/5404.3.3不確定性的傳播與計算(1)

在現實中，證據肯定存在或肯定不存在的極端情況是不多的，更多的是介于兩者之間的不確定情況。

現在要在0<P(E/S)<1的情況下確定H的后驗概率P(H/S)。在證據不確定的情況下，不能再用上面的公式計算后驗概率，而需使用R.O.Doda等人1976年證明的如下公式：

P(H/S)=P(H/E)P(E/S)+P(H/E)P(E/S)

①2023/2/5414.3.3不確定性的傳播與計算(2)下面分四種情況討論：

1)P(E/S)=1

當P(E/S)=1時，P(E/S)=0，此時公式①變為：

P(H/S)=P(H/E)=

這是證據肯定存在的情況。

2)P(E/S)=0

當P(E/S)=0時，P(E/S)=1，此時公式①變為：

P(H/S)=P(H/E)=

這是證據肯定不存在的情況。

LSP(H)(LS–1)P(H)+1

LNP(H)(LN–1)P(H)+12023/2/5424.3.3不確定性的傳播與計算(3)3)P(E/S)=P(E)

當P(E/S)=P(E)時，此時公式①變為：

P(H/S)=P(H/E)P(E)+P(H/E)P(E)=P(H)

表示H與S無關。

4)當P(E/S)=其它值時，通過分段線性插值可得到計算P(H/S)的公式。全概率公式2023/2/5434.3.3不確定性的傳播與計算(4)0P(E)1P(E/S)

P(H/E)P(H)P(H/E)P(H/S)

P(H/E)+P(E/S)若0P(E/S)<

P(E)P(H)+[P(E/S)–P(E)]

若P(E)P(E/S)1P(H)–P(H/E)

P(E)P(H/E)–P(H)1–P(E)

P(H/S)=該公式稱為EH公式。2023/2/5444.3.3不確定性的傳播與計算(5)由前面可知P(E/S)、P(H/S)的計算公式分別為：P(E/S)=若0C(E/S)5若5C(E/S)<0C(E/S)+P(E)(5C(E/S))55P(E)(C(E/S)+5)

P(H/E)+P(E/S)若0P(E/S)<

P(E)P(H)+[P(E/S)–P(E)]

若P(E)P(E/S)1P(H)–P(H/E)

P(E)P(H/E)–P(H)1–P(E)

P(H/S)=2023/2/5454.3.3不確定性的傳播與計算(6)對初始證據，用可信度C(E/S)計算P(H/S)

對于初始證據，由于其不確定性是用可信度C(E/S)給出的，此時只要把C(E/S)與P(E/S)的對應關系帶入上式，便可得到下述公式：

該公式稱為CP公式。P(H/E)+[P(H)–P(H/E)][C(E/S)+1]，若C(E/S)0P(H)+[P(H/E)–P(H)]C(E/S)，若C(E/S)>01515P(H/S)=2023/2/5464.3.3不確定性的傳播與計算(7)相同結論的后驗概率合成：若有n條知識都支持相同的結論H，而且每條知識的前提條件所對應的證據Ei（i=1,2,…,n）都有相應的觀察Si

與之對應,此時只要先求出每條知識的O(H/Si)，然后運用下述公式求出O(H/S1,S2,…,Sn)。O(H/S1)O(H)O(H/S2)O(H)O(H/Sn)O(H)O(H/S1,S2,…,Sn)=…O(H)最后，再利用P(H/S1,S2,…,Sn)與O(H/S1,S2,…,Sn)的關系：

P(H/S1,S2,…,Sn)=O(H/S1,S2,…,Sn)/(1+O(H/S1,S2,…,Sn))計算P(H/S1,S2,…,Sn)

。2023/2/5474.3.3不確定性的傳播與計算(8)例4.2設有如下規則：

r1:IFE1THEN(65,0.01)H1r2:IFE2THEN(300,0.001)H1r3:IFH1THEN(200,0.002)H2已知：

P(E1)=0.1，P(E2)=0.03，P(H1)=0.1，P(H2)=0.05，用戶提供證據：C(E1/S1)=2，C(E2/S2)=1，計算P(H2/S1，S2)。2023/2/5484.3.3不確定性的傳播與計算(9)分析：自下而上計算：根據LS值，將H的先驗概率轉換為后驗概率，計算P(H1/E1)、P(H1/E2)

使用CP公式計算P(H1/S2)、P(H1/S2)，計算O(H1/S1)、O(H1/S2)對H1合成。計算O(H1/S1,S2)、P(H1/S1,S2)。根據LS值，將H的先驗概率轉換為后驗概率，計算P(H2/H1)

使用EH公式計算P(H2/S1，S2)(1)計算P(H1/E1)、P(H1/S1)和O(H1/S2)2023/2/5494.3.3不確定性的傳播與計算(10)對于初始證據，使用CP公式：

P(H/E)+[P(H)–P(H/E)][C(E/S)+1]，若C(E/S)0P(H)+[P(H/E)–P(H)]C(E/S)，若C(E/S)>01515P(H/S)=∵C(E1/S1)=2>0∴使用CP公式的后半部。2023/2/5504.3.3不確定性的傳播與計算(11)

3000.1(300-1)0.01+1P(H1/E2)=LS2P(H1)(LS2-1)P(H1)+1==0.9709(2)計算P(H1/E2)、P(H1/S2)

、(O(H1/S2))對于初始證據，使用CP公式，∵C(E2/S2)=1>0∴使用CP公式的后半部。P(H1)+[P(H1/E2)–P(H1)]C(E2/S2)15P(H1/S2)==0.1+[0.9709-0.09]11/5=0.2742O(H1/S2)=

P(H1/S2)1-P(H1/S2)0.27421-0.2742=0.3778=2023/2/5514.3.3不確定性的傳播與計算(12)(3)計算P(H1/S1,S2)、O(H1/S1,S2)2023/2/5524.3.3不確定性的傳播與計算(13)(4)計算P(H2/S1,S2)(O(H2/S1,S2))使用EH公式∵P(H1/S1,S2)>P(H1)∴使用EH公式的后半部。2000.05(200-1)0.05+1P(H2/H1)=LS3P(H2)(LS3–1)P(H2)+1==0.9132P(H1/S1,S2)–P(H1)1–P(H1)P(H2/S1,S2)=P(H2)+[P(H2/H1)–P(H2)]=0.05+[(0.9132-0.05)/(1-0.1)](0.7038-0.01)=0.6291H2的先驗概率為0.05，而最后算出的后驗概率為0.6291

P(H/E)+P(E/S)若0P(E/S)<

P(E)P(H)+[P(E/S)–P(E)]

若P(E)P(E/S)1P(H)–P(H/E)

P(E)P(H/E)–P(H)1–P(E)

P(H/S)=2023/2/5534.3.4主觀貝葉斯方法的特點主要優點：

?其計算公式大多是在概率論的基礎上推導出來的，具有較堅實理論基礎；

?知識的靜態強度LS、LN由領域專家根據實際經驗得到，避免了大量的數據統計工作；

?給出了在證據不確定情況下更新先驗概率為后驗概率的方法，且從推理過程中看，確實是實現了不確定性的傳遞.主要缺點：

?它要求領域專家在給出知識時，同時給出H的先驗概率，這是比較困難的。

?Bayes定理中要求事件間相互獨立，限制了該方法的應用。2023/2/5544.4證據理論（1）20世紀60年代Dempster把證據的信任函數與概率的上下值相聯系，從而提供了一個構造不確定性推理模型的一般框架。20世紀70年代中期，Shafer對Dempster的理論進行了擴充，在此基礎上形成了處理不確定信息的證據理論，出版了《證據的數學理論》。證據理論又稱Dempster-Shafer理論（D-S理論）或信任函數理論。是經典概率論的一種擴充形式。證據理論能充分區分“不確定”和“不知道”的差異，并能處理由“不知道”引起的“不確定”性，具有較大的靈活性。2023/2/5554.4證據理論（2）4.4.1D-S理論4.4.2

證據理論的不確定推理模型2023/2/5564.4.1D-S理論(1)識別框架或論域

U1={客機，轟炸機，戰斗機}

U2={紅，綠，藍，橙，黃}

U3={谷倉，草，人，牛，車}

正確答案:θ1={轟炸機，戰斗機}識別框架的子集就構成了求解問題的各種解答。將一個不變的、元素兩兩互斥的完備集合U稱為識別框架或論域。哪些是軍用飛機？（對應識別框架U1）哪些是民用飛機？（對應識別框架U1）正確答案:θ2={客機}2023/2/5574.4.1D-S理論(2)每一個子集都可以看做是一個隱含的命題。證據理論就是通過定義在這些子集（命題）上的幾種信任函數來計算識別框架中諸子集（命題）為真的可信度U={感冒，支氣管炎，鼻炎}可能是{感冒}、{支氣管炎}、{鼻炎}、{感冒，支氣管炎}、{感冒，鼻炎}、{支氣管炎，鼻炎}、{感冒，支氣管炎，鼻炎}、Φ

其中之一。考察某人得了什么疾病時，如何處理？2023/2/5584.4.1D-S理論(4)1.基本概率分配函數2.信任函數（下限函數）3.似真函數（上限函數）4.信任區間5.德普斯特組合規則2023/2/5591.基本概率分配函數（1）定義4.1

給定識別框架U，A∈2U，稱

m(A):2U

→[0，1]

是2U上的一個基本概率分配函數（FunctionofBasicProbabilityAssignment），若它滿足基本概率分配函數的物理意義：

1.若A屬于U，且不等于U，表示對子集命題A的精確信任度

2.若A等于U，表示這個數不知如何分配2023/2/5601.基本概率分配函數（2）例4.3U1={客機，轟炸機，戰斗機}，分別用A，B，F代表客機、轟炸機和戰斗機，其基本概率分配函數為：

m({A})＝0.4m({A，B})＝0m({A，Ｆ})＝0.2m({A，B，F})＝0.2m({B})＝0m({B，F})＝0.2m({F})＝0m({Φ})＝0基本概率分配函數值由主觀給出，一般是某種信度。所以概率分配函數也被稱為信任度分配函數。

m({A})＋m({B})＋m({F})＝0.4≠1可以看出，基本概率分配函數之值并非概率。2023/2/5612.信任函數定義4.2：信任函數（下限函數）給定識別框架U,對于2U中的任意A

稱為2u上的信任函數(FunctionofBelief)。信任函數表示對A為真的信任程度，即為包含于A中的所有集合的基本概率分配函數值之和。性質：Bel(Φ)=0,Bel(U)=1,且對于2U中的任意元素A，有0≤Bel(A)≤1。根據定義：Bel(Φ)=?Bel(U)=?例：考試成績估分下限問題：做對的題目分數之和2023/2/5623似真函數（上限函數）

定義4.3

似真函數

A為2U中的元素，A’為A的補集

Pl(A)=1-Bel(A’)=

稱為A的似真函數（Plausiblefunction），函數值又稱似真度。

似真函數表示對A非假的信任程度，物理意義為與A交集不為空的所有集合的概率分配函數之和。例，考試成績估分上限問題：去掉錯誤題目的分數之后的得分2023/2/5633似真函數（上限函數）例4.3U1={客機，轟炸機，戰斗機}，分別用A，B，F代表客機、轟炸機和戰斗機，其基本概率分配函數為：

m({A})＝0.4m({A，B})＝0m({A，Ｆ})＝0.2m({A，B，F})＝0.2m({B})＝0m({B，F})＝0.2m({F})＝0m({Φ})＝0例4.4Bel({A，F})=m({A})＋m({F})＋m({A，F})=0.4+0+0=0.4例4.5Pl({A，F})=1-Bel({A，F}’)=1-Bel({B})=12023/2/5644.信任區間(1)證明根據定義有：

0≤Bel(A)≤Pl(A)≤1，Bel是Pl的一部分。2023/2/5654.信任區間(2)定義4.4信任區間設Bel(A)和Pl(A)分別表示A的信任度和似真度，稱二元組

[Bel(A),Pl(A)]

為A的一個信任區間。

信任區間刻劃了對A所持信任程度的上下限。考試成績估分區間問題信任區間所代表的含義(1)[1,1](2)[0,0](3)[0,1]

(4)[0.5,0.5](5)[0.25,0.85]表示A為真。表示對A完全無知。表示A為假。表示A是否為真完全不確定。表示對A為真信任的程度為0.25,對A’的信任程度為0.15。2023/2/5665.德普斯特組合規則(1)

有時，同樣的識別框架在不同的證據下會得到不同的概率分配函數，例如對飛機的識別框架：

U={A，B，F}假設第一傳感器對目標識別的基本概率分配函數用m1表示：m1（{B，F}）=0.7m1（{A，B，F}）=0.3其余為0第二種傳感器識別目標的基本概率分配函數用m2表示：m2（{B}）=0.9m2（{A，B，F}）=0.1其余為02023/2/5675.德普斯特組合規則(2)定義4.5

概率分配函數的正交和

設m1(A)和m2(A)（A∈2U）是識別框架U基于不同證據的兩個基本概率分配函數，則其正交和m=m1m2

為：.

組合后的m

(A)滿足：2023/2/5685.德普斯特組合規則(3)例4.6基于兩組不同證據得到的基本概率分配函數為：

m1({B,F})=0.7m2({B})=0.9m1({A,B,F})=0.3m2({A,B,F})=0.1

將m1和m2合并：

m12({B})=m1({B,F})m2({B})+m1({A,B,F})m2({B})=0.9m12({B,F})=m1({B,F})m2({A,B,F})=0.07m12({A,B,F})=m1({A,B,F})m2({A,B,F})=0.03

m12({B})=0.9m12({B,F})=0.07m12({A,B,F})=0.032023/2/5695.德普斯特組合規則(4)例：假設在證據組合后，第三種傳感器此時報告了一個客機的證據，即

m3({A})=0.95m3({A,B,F})=0.05m12({B})=0.9m12({B,F})=0.07m12({A,B,F})=0.03將m12和m3合并：

m(Φ)=m3({A})m12({B})+m3({A})m12({B,F})=0.95×0.9+0.95×0.07=0.9215這與基本概率分配函數中，m({Φ})=0相矛盾，這時就應該采用含有沖突修正的組合規則。

報酬分配問題2023/2/5705.德普斯特組合規則(5)定義4.6含沖突修正的組合規則設m1和m2是對同一識別框架的概率分配函數，則其正交和m=m1

m2為：

規范數K的引入，實際上是把空集所丟棄的正交和按照比例地補到非空集上，使m（A）仍然滿足：2023/2/5715.德普斯特組合規則(6)對于多個概率分配函數的情形，假設m1，m2，…，mn是n個概率分配函數，則其正交和m=m1

m2

…

mn為：其中：2023/2/5725.德普斯特組合規則(6)例4.7：假設在證據組合后，第三種傳感器此時報告了一個客機的證據，即

m3({A})=0.95m3({A,B,F})=0.05m12({B})=0.9m12({B,F})=0.07m12({A,B,F})=0.03將m12和m3合并：2023/2/5735.德普斯特組合規則(7)從而K=12.73892023/2/5744.4.2證據理論的不確定性推理模型（1）1.概率分配函數與類概率分配函數

在下面要討論的模型中，識別框架U={s1，s2，…，sn}上的概率分配函數還要滿足如下要求：（1）基本事件的概率分配函數值為非負，即：（2）全體基本事件的概率分配函數之和不大于1，即：2023/2/5754.4.2證據理論的不確定性推理模型（2）（3）識別框架的概率分配函數為：（4）當AU且|A|>1或|A|=0時，m（A）=0。

|A|表示命題A對應集合中的元素個數。2023/2/5764.4.2證據理論的不確定性推理模型（3）對這樣的概率分配函數，可計算對應命題和識別框架的信任函數值以及似真函數值：

2023/2/5774.4.2證據理論的不確定性推理模型（4）對任何AU和BU均有：m(U)表示對命題A或B不知道的程度。定義4.7類概率函數已知識別框架U，對所有的命題A∈2U，它的類概率函數為：其中，|A|、|U|表示集合A及U中元素的個數。2023/2/5784.4.2證據理論的不確定性推理模型（5）類概率函數具有如下性質：（1）全體基本事件的類概率函數之和為1，即：（2）對任何AU，都有：由以上性質可以得到如下推論：（1）空集的類概率函數值為0，即f(Φ

)=0。（2）全集的類概率函數值為1，即f(U)=1。（3）任何時間的類概率函數值都在0和1之間，即對任何AU，均有0≤f(A)≤1。2023/2/5794.4.2證據理論的不確定性推理模型（6）2.知識的不確定性表示不確定性知識用如下形式的規則來表示：

IFETHENH={h1，h2，…，hn}CF={c1，c2，…，cn}其中：E：前提條件，它可以是簡單條件，也可以是通過AND和OR連接起來的復合條件。H：結論，它用識別框架中的子集表示，h1，h2，…，hn是該子集中的元素。CF：可信度因子。其中ci用來指出hi

{i=1，2，…，n}的可信度，且滿足如下條件：2023/2/5804.4.2證據理論的不確定性推理模型（6）3.證據不確定性表示不確定性證據E的確定性用CER（E）表示，CER（E）的取值為[0，1]。對于初始證據，其確定性由用戶給出；對于中間結論作為當前推理的證據，確定性由推理得到。4.組合證據不確定性的計算采用最大最小方法計算，即：簡單證據的合取時，取最小值作為組合證據的不確定性；簡單證據的析取時，取最大值作為組合證據的不確定性。2023/2/5814.4.2證據理論的不確定性推理模型（7）5.不確定性的傳遞算法設有規則：IFETHENH={h1，h2，…，hn}CF={c1，c2，…，cn}則結論H的不確定性可以通過下述步驟求出：（1）求H的概率分配函數若有兩條規則支持同一結論H，即：IFE1THENH={h1，h2，…，hn}CF={c1，c2，…，cn}IFE2THENH={h1，h2，…，hn}CF={c1’，c2’

，…，cn

’}則先分別對每一條規則求出概率分配函數m1、m2，然后再求正交和得到H的概率分配函數m.2023/2/5824.4.2證據理論的不確定性推理模型（8）（2）求出Bel（H），Pl（H），f（H）（3）求H

的確定性CER（H）其中，MD（H/E）為規則前提條件與相應證據E的匹配度，定義為2023/2/5834.4.2證據理論的不確定性推理模型（9）例4.8設有如下推理規則：且已知初始證據的確定性分別為：

CER（E1）=0.5，CER（E2）=0.6，CER（E3）=0.8，CER（E4）=0.7。假設|U|=10，求CER（H）=？解：由給出的推理規則可形成如圖推理網絡：2023/2/5844.4.2證據理論的不確定性推理模型（9）（1）求CER（A）2023/2/5854.4.2證據理論的不確定性推理模型（9）（2）求CER（B）2023/2/5864.4.2證據理論的不確定性推理模型（10）（3）求正交和對于r3，其概率分配函數為：對于r4，其概率分配函數為：

2023/2/5874.4.2證據理論的不確定性推理模型（11）下面求m1和m2的正交和m。2023/2/5884.4.2證據理論的不確定性推理模型（12）同理可得：2023/2/5894.4.2證據理論的不確定性推理模型（13）（4）求CER（H）2023/2/590拓展閱讀及實踐閱讀D_S理論英文介紹：

:8080/UGAIWWW/lectures/dempster.html下載程序包試運行

http://www.quiver.freeserve.co.uk/Dse.htm

中程序包DempsterShaterEngine.zip2023/2/5914.5基于貝葉斯網絡的推理4.5.1什么是貝葉斯網絡4.5.2貝葉斯網絡推理2023/2/5924.5.1什么是貝葉斯網絡（1）貝葉斯網絡是一種以隨機變量為節點，以條件概率為節點間關系強度的有向無環圖（DirectedAcyclicGraph，DAG）。設V1，V2，…，Vk是貝葉斯網絡中的節點，滿足貝葉斯網絡的條件獨立性假設，則網絡中所有節點的聯合概率為：

貝葉斯網絡中的節點一般代表事件、對象、屬性或狀態；有向邊一般表示節點間的因果關系。貝葉斯網絡也稱因果網絡、信念網絡、概率網絡、知識圖等，是描述事物之間因果關系或依賴關系的一種直觀圖形。2023/2/5934.5.1什么是貝葉斯網絡（2）機器人舉積木問題。首先考慮第一個原因，即“電池被充電”（B）和“積木是可舉起來的”（L）相對應的變量。B和L對“手臂移動”（M）有一個因果影響，B對G（“儀表指示電池被充電了”）也有因果關系，BLMG節點表示隨機變量邊表示相關節點或變量之間某種依賴關系每個節點有一個條件概率表（CPT）因節點果節點P（G/B）=0.95P（G/?B）=0.1P（M/B,L）=0.9P（M/B,?L）=0.05P（M/B,?L）=0.05P（M/?B,?L）=0.0P（B）=0.95P（L）=0.72023/2/5944.5.2貝葉斯網絡推理（1）根據貝葉斯網絡的結構特征和語義特征，基于網絡中的一些已知節點（證據變量），利用這種概率網絡就可以推算出網絡中另外一些節點（查詢變量）的概率，即實現概率推理。推理可分為因果推理診斷推理辯解混合推理2023/2/5954.5.2貝葉斯網絡推理（2）1因果網絡由原因到結果的推理，即已知網絡中的祖先節點而計算后代節點的條件概率。是一種自上而下的推理。在積木是可以舉起的（L）的條件下，計算手臂能移動（M）的概率P（M/L）。由于積木可舉起是手臂能移動的原因之一，因此，這是一個典型的因果推理。L稱作推理的證據，而M稱作詢問節點。BLMGP（M/B,L）=0.9P（M/B,?L）=0.05P（M/B,?L）=0.05P（M/?B,?L）=0.02023/2/5964.5.2貝葉斯網絡推理（3）首先，由于M還有另外一個因節點——電池被充電（B），因此可以對概率P（M/L）進行擴展，得：（4-14）

對式（4-14）中第一項P（M，B/L）做如下變形：

2023/2/5974.5.2貝葉斯網絡推理（4）同理，可對式（4-14）中的第二項P（M，?B/L）變形得到：由式（4-14）可得結果：

（4-15）將這些概率代入到式（4-15）右端：

2023/2/5984.5.2貝葉斯網絡推理（5）因果推理的思路和方法（1）對于所求的詢問節點的條件概率，用所給證據節點和詢問節點的所有因果節點的聯合概率進行重新表達。（2）對所得表達式進行適當變形，直到其中的所有概率值都可以從問題貝葉斯網絡的條件概率表中得到。（3）將相關概率值代入到概率表達式中進行計算即得所求詢問節點的條件概率。2023/2/5994.5.2貝葉斯網絡推理（6）2診斷推理由結果到原因的推理，即已知網絡中的后代節點而計算祖先節點的條件概率。這種推理是一種自下而上的推理。診斷推理的一般思路和方法是：先利用貝葉斯公式將診斷問題轉化為因果推理問題；然后進行因果推理；再利用因果推理的結果，導出診斷推理的結果。2023/2/51004.5.2貝葉斯網絡推理（7）

假設機器人手臂未移動（?M），求積木不可舉起（?L）的概率，即，也即是用一個結果（或癥狀）來推理一個起因，把這類推理叫做診斷推理。由貝葉斯公式，得BLMG2023/2/51014.5.2貝葉斯網絡推理（8）用因果推理：將結果代入式（4-16）中，計算：同樣的，用因果推理可計算出：

2023/2/51024.5.2貝葉斯網絡推理（9）計算：因為：所以：解得P(~M)=0.38725，代入到式（4-16）中得：

2023/2/51034.5.2貝葉斯網絡推理（10）如果機器人舉積木的例子中已知的證據僅僅是?M（手臂不能移動），則能夠計算?L（積木不能舉起）的概率。如果現在僅僅給定?B（電池沒有被充電），那么?L就變得不確定。這種情況下，可以說?B解釋?M，使?L不確定。這種推理將使用嵌入在一個診斷推理中的因果推理。由貝葉斯公式可得：由條件概率定義：2023/2/51044.5.2貝葉斯網絡推理（11）所以：（4-17）由聯合概率可計算：其中2023/2/51054.5.2貝葉斯網絡推理（12）可得P（?M，?B）=0.05

代入式（4-17）中得：機器人舉積木例子中的推理方法可以推廣到更一般的推理過程中去。但是在實際應用系統中的網絡，不僅相關因素繁多，而且許多概率是無法得到的，因此，在推理的過程中將會引入大量的近似計算。貝葉斯網絡的建造涉及拓撲結構和條件概率，可以通過機器學習的方法來解決，稱為貝葉斯網絡學習。2023/2/51064.6模糊推理4.6.1模糊集合及模糊邏輯4.6.2簡單模糊推理2023/2/51074.6.1模糊集合及模糊邏輯（1）

1965年美國學者扎德（L．A．Zadeh）等人從集合論的角度出發，對傳統集合進行了推廣，提出了模糊集合、隸屬函數、語言變量、語言真值及模糊推理等重要概念。

1模糊集合的定義2模糊集合的運算3模糊關系4模糊關系的合成5模糊邏輯20