.PAGE.概率論與數理統計習題及答案習題一1．略.見教材習題參考答案.2.設A,B,C為三個事件,試用A,B,C的運算關系式表示下列事件：〔1A發生,B,C都不發生；〔2A與B發生,C不發生；〔3A,B,C都發生；〔4A,B,C至少有一個發生；〔5A,B,C都不發生；〔6A,B,C不都發生；〔7A,B,C至多有2個發生；〔8A,B,C至少有2個發生.[解]〔1A〔2AB〔3ABC〔4A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=<5>=<6><7>BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪<8>AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC4.設A,B為隨機事件,且P〔A=0.7,P<AB>=0.3,求P〔.[解]P〔=1P〔AB=1[P<A>P<AB>]=1[0.70.3]=0.65.設A,B是兩事件,且P〔A=0.6,P<B>=0.7,求：〔1在什么條件下P〔AB取到最大值？〔2在什么條件下P〔AB取到最小值？[解]〔1當AB=A時,P〔AB取到最大值為0.6.〔2當A∪B=Ω時,P〔AB取到最小值為0.3.=++=8.對一個五人學習小組考慮生日問題：〔1求五個人的生日都在星期日的概率；〔2求五個人的生日都不在星期日的概率；〔3求五個人的生日不都在星期日的概率.[解]〔1設A1={五個人的生日都在星期日},基本事件總數為75,有利事件僅1個,故P〔A1==〔5〔亦可用獨立性求解,下同〔2設A2={五個人生日都不在星期日},有利事件數為65,故P〔A2==<>5<3>設A3={五個人的生日不都在星期日}P〔A3=1P<A1>=1<>510.一批產品共N件,其中M件正品.從中隨機地取出n件〔n<N.試求其中恰有m件〔m≤M正品〔記為A的概率.如果：〔1n件是同時取出的；〔2n件是無放回逐件取出的；〔3n件是有放回逐件取出的.[解]〔1P〔A=<2>由于是無放回逐件取出,可用排列法計算.樣本點總數有種,n次抽取中有m次為正品的組合數為種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序,從M件正品中取m件的排列數有種,從NM件次品中取nm件的排列數為種,故P〔A=由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可寫成P〔A=可以看出,用第二種方法簡便得多.〔3由于是有放回的抽取,每次都有N種取法,故所有可能的取法總數為Nn種,n次抽取中有m次為正品的組合數為種,對于固定的一種正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M種取法,共有Mm種取法,nm次取得次品,每次都有NM種取法,共有〔NMnm種取法,故此題也可用貝努里概型,共做了n重貝努里試驗,每次取得正品的概率為,則取得m件正品的概率為11.略.見教材習題參考答案.12.50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上,每個部件用3只鉚釘.其中有3個鉚釘強度太弱.若將3只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上,則這個部件強度就太弱.求發生一個部件強度太弱的概率是多少？[解]設A={發生一個部件強度太弱}13.一個袋內裝有大小相同的7個球,其中4個是白球,3個是黑球,從中一次抽取3個,計算至少有兩個是白球的概率.[解]設Ai={恰有i個白球}〔i=2,3,顯然A2與A3互斥.故14.有甲、乙兩批種子,發芽率分別為0.8和0.7,在兩批種子中各隨機取一粒,求：〔1兩粒都發芽的概率；〔2至少有一粒發芽的概率；〔3恰有一粒發芽的概率.[解]設Ai={第i批種子中的一粒發芽},〔i=1,2<1><2><3>15.擲一枚均勻硬幣直到出現3次正面才停止.〔1問正好在第6次停止的概率；〔2問正好在第6次停止的情況下,第5次也是出現正面的概率.[解]〔1<2>18.某地某天下雪的概率為0.3,下雨的概率為0.5,既下雪又下雨的概率為0.1,求：〔1在下雨條件下下雪的概率；〔2這天下雨或下雪的概率.[解]設A={下雨},B={下雪}.〔1〔219.已知一個家庭有3個小孩,且其中一個為女孩,求至少有一個男孩的概率〔小孩為男為女是等可能的.[解]設A={其中一個為女孩},B={至少有一個男孩},樣本點總數為23=8,故或在縮減樣本空間中求,此時樣本點總數為7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,現隨機地挑選一人,此人恰為色盲,問此人是男人的概率〔假設男人和女人各占人數的一半.[解]設A={此人是男人},B={此人是色盲},則由貝葉斯公式21.兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會面,求一人要等另一人半小時以上的概率.++題21圖題22圖[解]設兩人到達時刻為x,y,則0≤x,y≤60.事件"一人要等另一人半小時以上"等價于|xy|>30.如圖陰影部分所示.22.從〔0,1中隨機地取兩個數,求：〔1兩個數之和小于的概率；〔2兩個數之積小于的概率.[解]設兩數為x,y,則0<x,y<1.〔1x+y<.<2>xy=<.23.設P〔=0.3,P<B>=0.4,P<A>=0.5,求P〔B｜A∪[解]24.在一個盒中裝有15個乒乓球,其中有9個新球,在第一次比賽中任意取出3個球,比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球,求第二次取出的3個球均為新球的概率.[解]設Ai={第一次取出的3個球中有i個新球},i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均為新球}由全概率公式,有25.按以往概率論考試結果分析,努力學習的學生有90%的可能考試及格,不努力學習的學生有90%的可能考試不及格.據調查,學生中有80%的人是努力學習的,試問：〔1考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？〔2考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？[解]設A={被調查學生是努力學習的},則={被調查學生是不努力學習的}.由題意知P〔A=0.8,P〔=0.2,又設B={被調查學生考試及格}.由題意知P〔B|A=0.9,P〔|=0.9,故由貝葉斯公式知〔1即考試及格的學生中不努力學習的學生僅占2.702%<2>即考試不及格的學生中努力學習的學生占30.77%.26.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來,接收站收到時,A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2∶1.若接收站收到的信息是A,試問原發信息是A的概率是多少？[解]設A={原發信息是A},則={原發信息是B}C={收到信息是A},則={收到信息是B}由貝葉斯公式,得27.在已有兩個球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若發現這球為白球,試求箱子中原有一白球的概率〔箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種[解]設Ai={箱中原有i個白球}〔i=0,1,2,由題設條件知P〔Ai=,i=0,1,2.又設B={抽出一球為白球}.由貝葉斯公式知28.某工廠生產的產品中96%是合格品,檢查產品時,一個合格品被誤認為是次品的概率為0.02,一個次品被誤認為是合格品的概率為0.05,求在被檢查后認為是合格品產品確是合格品的概率.[解]設A={產品確為合格品},B={產品被認為是合格品}由貝葉斯公式得29.某保險公司把被保險人分為三類："謹慎的","一般的","冒失的".統計資料表明,上述三種人在一年內發生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果"謹慎的"被保險人占20%,"一般的"占50%,"冒失的"占30%,現知某被保險人在一年內出了事故,則他是"謹慎的"的概率是多少？[解]設A={該客戶是"謹慎的"},B={該客戶是"一般的"},C={該客戶是"冒失的"},D={該客戶在一年內出了事故}則由貝葉斯公式得30.加工某一零件需要經過四道工序,設第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨立的,求加工出來的零件的次品率.[解]設Ai={第i道工序出次品}〔i=1,2,3,4.31.設每次射擊的命中率為0.2,問至少必須進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?[解]設必須進行n次獨立射擊.即為故n≥11至少必須進行11次獨立射擊.32.證明：若P〔A｜B=P<A｜>,則A,B相互獨立.[證]即亦即因此故A與B相互獨立.33.三人獨立地破譯一個密碼,他們能破譯的概率分別為,,,求將此密碼破譯出的概率.[解]設Ai={第i人能破譯}〔i=1,2,3,則34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊,設擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中,則飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中,則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中,則飛機一定被擊落,求：飛機被擊落的概率.[解]設A={飛機被擊落},Bi={恰有i人擊中飛機},i=0,1,2,3由全概率公式,得=<0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7>0.2+<0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7>0.6+0.4×0.5×0.7=0.45836.一架升降機開始時有6位乘客,并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：〔1A="某指定的一層有兩位乘客離開"；〔2B="沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開"；〔3C="恰有兩位乘客在同一層離開"；〔4D="至少有兩位乘客在同一層離開".[解]由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開,故所有可能結果為106種.〔1,也可由6重貝努里模型：〔26個人在十層中任意六層離開,故〔3由于沒有規定在哪一層離開,故可在十層中的任一層離開,有種可能結果,再從六人中選二人在該層離開,有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況,因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個人在同一層離開,另一人在其余8層中任一層離開,共有種可能結果；②4人同時離開,有種可能結果；③4個人都不在同一層離開,有種可能結果,故〔4D=.故56.設10件產品中有4件不合格品,從中任取兩件,已知所取兩件產品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.[解]設A={兩件中至少有一件是不合格品},B={另一件也是不合格品}習題二1.一袋中有5只乒乓球,編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只,以X表示取出的3只球中的最大號碼,寫出隨機變量X的分布律.[解]故所求分布律為X345P0.10.30.62.設在15只同類型零件中有2只為次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽樣,以X表示取出的次品個數,求：〔1X的分布律；〔2X的分布函數并作圖；<3>.[解]故X的分布律為X012P〔2當x<0時,F〔x=P〔X≤x=0當0≤x<1時,F〔x=P〔X≤x=P<X=0>=當1≤x<2時,F〔x=P〔X≤x=P<X=0>+P<X=1>=當x≥2時,F〔x=P〔X≤x=1故X的分布函數<3>3.射手向目標獨立地進行了3次射擊,每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標的次數的分布律及分布函數,并求3次射擊中至少擊中2次的概率.[解]設X表示擊中目標的次數.則X=0,1,2,3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數4.〔1設隨機變量X的分布律為P{X=k}=,其中k=0,1,2,…,λ＞0為常數,試確定常數a.〔2設隨機變量X的分布律為P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,試確定常數a.[解]〔1由分布律的性質知故<2>由分布律的性質知即.5.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次,求：〔1兩人投中次數相等的概率;〔2甲比乙投中次數多的概率.[解]分別令X、Y表示甲、乙投中次數,則X~b〔3,0.6,Y~b<3,0.7><1>+<2>=0.2436.設某機場每天有200架飛機在此降落,任一飛機在某一時刻降落的概率設為0.02,且設各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道,才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01<每條跑道只能允許一架飛機降落>？[解]設X為某一時刻需立即降落的飛機數,則X~b<200,0.02>,設機場需配備N條跑道,則有即利用泊松近似查表得N≥9.故機場至少應配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內有1000輛汽車通過,問出事故的次數不小于2的概率是多少〔利用泊松定理？[解]設X表示出事故的次數,則X~b〔1000,0.00018.已知在五重伯努利試驗中成功的次數X滿足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.[解]設在每次試驗中成功的概率為p,則故所以.9.設事件A在每一次試驗中發生的概率為0.3,當A發生不少于3次時,指示燈發出信號,〔1進行了5次獨立試驗,試求指示燈發出信號的概率；〔2進行了7次獨立試驗,試求指示燈發出信號的概率.[解]〔1設X表示5次獨立試驗中A發生的次數,則X~6〔5,0.3<2>令Y表示7次獨立試驗中A發生的次數,則Y~b〔7,0.310.某公安局在長度為t的時間間隔內收到的緊急呼救的次數X服從參數為〔1/2t的泊松分布,而與時間間隔起點無關〔時間以小時計.〔1求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；〔2求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.[解]〔1<2>11.設P{X=k}=,k=0,1,2P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=,試求P{Y≥1}.[解]因為,故.而故得即從而12.某教科書出版了2000冊,因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001,試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.[解]令X為2000冊書中錯誤的冊數,則X~b<2000,0.001>.利用泊松近似計算,得13.進行某種試驗,成功的概率為,失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數,試寫出X的分布律,并計算X取偶數的概率.[解]14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費,而在死亡時家屬可從保險公司領取2000元賠償金.求：〔1保險公司虧本的概率;〔2保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.[解]以"年"為單位來考慮.〔1在1月1日,保險公司總收入為2500×12=30000元.設1年中死亡人數為X,則X~b<2500,0.002>,則所求概率為由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有<2>P<保險公司獲利不少于10000>即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P〔保險公司獲利不少于20000即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機變量X的密度函數為f<x>=Ae|x|,∞<x<+∞,求：〔1A值；〔2P{0<X<1};<3>F<x>.[解]〔1由得故.<2><3>當x<0時,當x≥0時,故16.設某種儀器內裝有三只同樣的電子管,電子管使用壽命X的密度函數為f<x>=求：〔1在開始150小時內沒有電子管損壞的概率；〔2在這段時間內有一只電子管損壞的概率；〔3F〔x.[解]〔1<2><3>當x<100時F〔x=0當x≥100時故17.在區間［0,a］上任意投擲一個質點,以X表示這質點的坐標,設這質點落在［0,a］中任意小區間內的概率與這小區間長度成正比例,試求X的分布函數.[解]由題意知X~∪[0,a],密度函數為故當x<0時F〔x=0當0≤x≤a時當x>a時,F〔x=1即分布函數18.設隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布.現對X進行三次獨立觀測,求至少有兩次的觀測值大于3的概率.[解]X~U[2,5],即故所求概率為19.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X〔以分鐘計服從指數分布.某顧客在窗口等待服務,若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次,以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數,試寫出Y的分布律,并求P{Y≥1}.[解]依題意知,即其密度函數為該顧客未等到服務而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車,有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠,所需時間X服從N〔40,102；第二條路程較長,但阻塞少,所需時間X服從N〔50,42.〔1若動身時離火車開車只有1小時,問應走哪條路能乘上火車的把握大些？〔2又若離火車開車時間只有45分鐘,問應走哪條路趕上火車把握大些？[解]〔1若走第一條路,X~N〔40,102,則若走第二條路,X~N〔50,42,則++故走第二條路乘上火車的把握大些.〔2若X~N〔40,102,則若X~N〔50,42,則故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設X~N〔3,22,〔1求P{2<X≤5},P{4<X≤10},P{｜X｜＞2},P{X＞3};〔2確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.[解]〔1<2>c=322.由某機器生產的螺栓長度〔cmX~N〔10.05,0.062,規定長度在10.05±0.12內為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.[解]23.一工廠生產的電子管壽命X〔小時服從正態分布N〔160,σ2,若要求P{120＜X≤200＝≥0.8,允許σ最大不超過多少？[解]故24.設隨機變量X分布函數為F〔x=〔1求常數A,B；〔2求P{X≤2},P{X＞3}；〔3求分布密度f〔x.[解]〔1由得〔2<3>25.設隨機變量X的概率密度為f〔x=求X的分布函數F〔x,并畫出f〔x及F〔x.[解]當x<0時F〔x=0當0≤x<1時當1≤x<2時當x≥2時故26.設隨機變量X的密度函數為〔1f<x>=ae|x|,λ>0;<2>f<x>=試確定常數a,b,并求其分布函數F〔x.[解]〔1由知故即密度函數為當x≤0時當x>0時故其分布函數<2>由得b=1即X的密度函數為當x≤0時F〔x=0當0<x<1時當1≤x<2時當x≥2時F〔x=1故其分布函數為27.求標準正態分布的上分位點,〔1=0.01,求;〔2=0.003,求,.[解]〔1即即故〔2由得即查表得由得即查表得28.設隨機變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.[解]Y可取的值為0,1,4,9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029.設P{X=k}=<>k,k=1,2,…,令求隨機變量X的函數Y的分布律.[解]30.設X~N〔0,1.〔1求Y=eX的概率密度；〔2求Y=2X2+1的概率密度；〔3求Y=｜X｜的概率密度.[解]〔1當y≤0時,當y>0時,故<2>當y≤1時當y>1時故<3>當y≤0時當y>0時故31.設隨機變量X~U〔0,1,試求：〔1Y=eX的分布函數及密度函數；〔2Z=2lnX的分布函數及密度函數.[解]〔1故當時當1<y<e時當y≥e時即分布函數故Y的密度函數為〔2由P〔0<X<1=1知當z≤0時,當z>0時,即分布函數故Z的密度函數為32.設隨機變量X的密度函數為f<x>=試求Y=sinX的密度函數.[解]當y≤0時,當0<y<1時,當y≥1時,故Y的密度函數為習題三1.將一硬幣拋擲三次,以X表示在三次中出現正面的次數,以Y表示三次中出現正面次數與出現反面次數之差的絕對值.試寫出X和Y的聯合分布律.[解]X和Y的聯合分布律如表：XXY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數,以Y表示取到紅球的只數.求X和Y的聯合分布律.[解]X和Y的聯合分布律如表：XXY0123000102P<0黑,2紅,2白>=03.設二維隨機變量〔X,Y的聯合分布函數為F〔x,y=求二維隨機變量〔X,Y在長方形域內的概率.[解]如圖題3圖說明：也可先求出密度函數,再求概率。4.設隨機變量〔X,Y的分布密度f〔x,y=求：〔1常數A；〔2隨機變量〔X,Y的分布函數；〔3P{0≤X<1,0≤Y<2}.[解]〔1由得A=12〔2由定義,有<3>5.設隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=〔1確定常數k；〔2求P{X＜1,Y＜3}；〔3求P{X<1.5}；〔4求P{X+Y≤4}.[解]〔1由性質有故〔2<3><4>題5圖6.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在〔0,0.2上服從均勻分布,Y的密度函數為fY〔y=求：〔1X與Y的聯合分布密度；〔2P{Y≤X}.題6圖[解]〔1因X在〔0,0.2上服從均勻分布,所以X的密度函數為而所以<2>7.設二維隨機變量〔X,Y的聯合分布函數為F〔x,y=求〔X,Y的聯合分布密度.[解]8.設二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]題8圖題9圖9.設二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]題10圖10.設二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=〔1試確定常數c；〔2求邊緣概率密度.[解]〔1得.<2>11.設隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求條件概率密度fY｜X〔y｜x,fX｜Y〔x｜y.題11圖[解]所以12.袋中有五個號碼1,2,3,4,5,從中任取三個,記這三個號碼中最小的號碼為X,最大的號碼為Y.〔1求X與Y的聯合概率分布；〔2X與Y是否相互獨立？[解]〔1X與Y的聯合分布律如下表YYX345120300<2>因故X與Y不獨立13.設二維隨機變量〔X,Y的聯合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03〔1求關于X和關于Y的邊緣分布；〔2X與Y是否相互獨立？[解]〔1X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38<2>因故X與Y不獨立.14.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在〔0,1上服從均勻分布,Y的概率密度為fY〔y=〔1求X和Y的聯合概率密度；〔2設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求a有實根的概率.[解]〔1因故題14圖<2>方程有實根的條件是故X2≥Y,從而方程有實根的概率為：習題四1.設隨機變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E〔X,E〔X2,E〔2X+3.[解]<1><2><3>2.已知100個產品中有10個次品,求任意取出的5個產品中的次品數的數學期望、方差.[解]設任取出的5個產品中的次品數為X,則X的分布律為X012345P故3.設隨機變量X的分布律為X101Pp1p2p3且已知E〔X=0.1,E<X2>=0.9,求P1,P2,P3.[解]因……①,又……②,……③由①②③聯立解得4.袋中有N只球,其中的白球數X為一隨機變量,已知E〔X=n,問從袋中任取1球為白球的概率是多少？[解]記A={從袋中任取1球為白球},則5.設隨機變量X的概率密度為f〔x=求E〔X,D〔X.[解]故6.設隨機變量X,Y,Z相互獨立,且E〔X=5,E〔Y=11,E〔Z=8,求下列隨機變量的數學期望.〔1U=2X+3Y+1；〔2V=YZ4X.[解]<1><2>7.設隨機變量X,Y相互獨立,且E〔X=E〔Y=3,D〔X=12,D〔Y=16,求E〔3X2Y,D〔2X3Y.[解]<1><2>8.設隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=試確定常數k,并求E〔XY.[解]因故k=2.9.設X,Y是相互獨立的隨機變量,其概率密度分別為fX〔x=fY〔y=求E〔XY.[解]方法一：先求X與Y的均值由X與Y的獨立性,得方法二：利用隨機變量函數的均值公式.因X與Y獨立,故聯合密度為于是10.設隨機變量X,Y的概率密度分別為fX〔x=fY〔y=求〔1E〔X+Y;〔2E〔2X3Y2.[解]從而<1><2>11.設隨機變量X的概率密度為f〔x=求〔1系數c;〔2E〔X;〔3D〔X.[解]<1>由得.<2><3>故12.袋中有12個零件,其中9個合格品,3個廢品.安裝機器時,從袋中一個一個地取出〔取出后不放回,設在取出合格品之前已取出的廢品數為隨機變量X,求E〔X和D〔X.[解]設隨機變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數,則X的可能取值為0,1,2,3.為求其分布律,下面求取這些可能值的概率,易知于是,得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得13.一工廠生產某種設備的壽命X〔以年計服從指數分布,概率密度為f〔x=為確保消費者的利益,工廠規定出售的設備若在一年內損壞可以調換.若售出一臺設備,工廠獲利100元,而調換一臺則損失200元,試求工廠出售一臺設備贏利的數學期望.[解]廠方出售一臺設備凈盈利Y只有兩個值：100元和200元故<元>.14.設X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量,且有E〔Xi=μ,D〔Xi=σ2,i=1,2,…,n,記,S2=.〔1驗證=μ,=；〔2驗證S2=；〔3驗證E〔S2=σ2.[證]<1><2>因故.<3>因,故同理因,故.從而15.對隨機變量X和Y,已知D〔X=2,D〔Y=3,Cov<X,Y>=1,計算：Cov〔3X2Y+1,X+4Y3.[解]<因常數與任一隨機變量獨立,故Cov<X,3>=Cov<Y,3>=0,其余類似>.16.設二維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=試驗證X和Y是不相關的,但X和Y不是相互獨立的.[解]設.同理E<Y>=0.而,由此得,故X與Y不相關.下面討論獨立性,當|x|≤1時,當|y|≤1時,.顯然故X和Y不是相互獨立的.17.設隨機變量〔X,Y的分布律為XXY1011011/81/81/81/801/81/81/81/8驗證X和Y是不相關的,但X和Y不是相互獨立的.[解]聯合分布表中含有零元素,X與Y顯然不獨立,由聯合分布律易求得X,Y及XY的分布律,其分布律如下表..X101PY101PXY101P..由期望定義易得E〔X=E〔Y=E〔XY=0.從而E<XY>=E<X>·E<Y>,再由相關系數性質知ρXY=0,即X與Y的相關系數為0,從而X和Y是不相關的.又從而X與Y不是相互獨立的.18.設二維隨機變量〔X,Y在以〔0,0,〔0,1,〔1,0為頂點的三角形區域上服從均勻分布,求Cov〔X,Y,ρXY.[解]如圖,SD=,故〔X,Y的概率密度為題18圖從而同理而所以.從而習題五1.一顆骰子連續擲4次,點數總和記為X.估計P{10<X<18}.[解]設表每次擲的點數,則從而又X1,X2,X3,X4獨立同分布.從而所以2.假設一條生產線生產的產品合格率是0.8.要使一批產品的合格率達到在76%與84%之間的概率不小于90%,問這批產品至少要生產多少件？[解]令而至少要生產n件,則i=1,2,…,n,且X1,X2,…,Xn獨立同分布,p=P{Xi=1}=0.8.現要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n≥268.96,故取n=269.3.某車間有同型號機床200部,每部機床開動的概率為0.7,假定各機床開動與否互不影響,開動時每部機床消耗電能15個單位.問至少供應多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產.[解]要確定最低的供應的電能量,應先確定此車間同時開動的機床數目最大值m,而m要滿足200部機床中同時開動的機床數目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應15m單位電能就可滿足要求.令X表同時開動機床數目,則X~B〔200,0.7,查表知,m=151.所以供電能151×15=2265〔單位.4.一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk〔k=1,2,…,20,設它們是相互獨立的隨機變量,且都在區間〔0,10上服從均勻分布.記V=,求P{V＞105}的近似值.[解]易知:E<Vk>=5,D<Vk>=,k=1,2,…,20由中心極限定理知,隨機變量于是即有P{V>105}≈0.3485.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的長度不小于3m.現從這批木柱中隨機地取出100根,問其中至少有30根短于3m的概率是多少？[解]設100根中有X根短于3m,則X~B〔100,0.2從而6.某藥廠斷言,該廠生產的某種藥品對于醫治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受這一斷言,否則就拒絕這一斷言.〔1若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8,問接受這一斷言的概率是多少？〔2若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7,問接受這一斷言的概率是多少？[解]令<1>X~B<100,0.8>,<2>X~B<100,0.7>,7.用Laplace中心極限定理近似計算從一批廢品率為0.05的產品中,任取1000件,其中有20件廢品的概率.[解]令1000件中廢品數X,則p=0.05,n=1000,X~B<1000,0.05>,E<X>=50,D<X>=47.5.故8.設有30個電子器件.它們的使用壽命T1,…,T30服從參數λ=0.1[單位：〔小時-1]的指數分布,其使用情況是第一個損壞第二個立即使用,以此類推.令T為30個器件使用的總計時間,求T超過350小時的概率.[解]故9.上題中的電子器件若每件為a元,那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用〔假定一年有306個工作日,每個工作日為8小時.[解]設至少需n件才夠用.則E<Ti>=10,D<Ti>=100,E<T>=10n,D<T>=100n.從而即故所以需272a元.10.對于一個學生而言,來參加家長會的家長人數是一個隨機變量,設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數相與獨立,且服從同一分布.〔1求參加會議的家長數X超過450的概率？〔2求有1名家長來參加會議的學生數不多于340的概率.[解]〔1以Xi<i=1,2,…,400>記第i個學生來參加會議的家長數.則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E〔Xi=1.1,D<Xi>=0.19,i=1,2,…,400.而,由中心極限定理得于是<2>以Y記有一名家長來參加會議的學生數.則Y~B<400,0.8>由拉普拉斯中心極限定理得11.設男孩出生率為0.515,求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？[解]用X表10000個嬰兒中男孩的個數,則X~B〔10000,0.515要求女孩個數不少于男孩個數的概率,即求P{X≤5000}.由中心極限定理有習題六1.設總體X~N〔60,152,從總體X中抽取一個容量為100的樣本,求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于3的概率.[解]μ=60,σ2=152,n=100即2.從正態總體N〔4.2,52中抽取容量為n的樣本,若要求其樣本均值位于區間〔2.2,6.2內的概率不小于0.95,則樣本容量n至少取多大？[解]則Φ<0.4>=0.975,故0.4>1.96,即n>24.01,所以n至少應取253.設某廠生產的燈泡的使用壽命X~N〔1000,σ2〔單位：小時,隨機抽取一容量為9的樣本,并測得樣本均值及樣本方差.但是由于工作上的失誤,事后失去了此試驗的結果,只記得樣本方差為S2=1002,試求P〔＞1062.[解]μ=1000,n=9,S2=10024.從一正態總體中抽取容量為10的樣本,假定有2%的樣本均值與總體均值之差的