2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，程序運行輸出的結果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．82．已知復數z滿足（i為虛數單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．3．已知，則下列說法中正確的是（）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題4．直線x-3y+3=0經過橢圓x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．5．在平面直角坐標系中，已知點，，若動點滿足，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．如圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C． D．7．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．8．要排出高三某班一天中，語文、數學、英語各節，自習課節的功課表，其中上午節，下午節，若要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰（注意：上午第五節和下午第一節不算相鄰），則不同的排法種數是（）A． B． C． D．9．拋物線的準線方程是，則實數（）A． B． C． D．10．數列滿足：，則數列前項的和為A． B． C． D．11．下列與函數定義域和單調性都相同的函數是（）A． B． C． D．12．將函數向左平移個單位，得到的圖象，則滿足（）A．圖象關于點對稱，在區間上為增函數B．函數最大值為2，圖象關于點對稱C．圖象關于直線對稱，在上的最小值為1D．最小正周期為，在有兩個根二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班星期一共八節課（上午、下午各四節，其中下午最后兩節為社團活動），排課要求為：語文、數學、外語、物理、化學各排一節，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節.若數學必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節和下午第一節不算相鄰），則不同的排法有__________種.14．已知的終邊過點，若，則__________．15．如圖是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，，則的面積為________.16．已知函數在處的切線與直線平行，則為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點．（1）證明：點始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值．18．（12分）2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經濟損失達52億元.某青年志愿者組織調查了某地區的50個農戶在該次臺風中造成的直接經濟損失，將收集的數據分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據頻率分布直方圖估計該地區每個農戶的平均損失（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（2）臺風后該青年志愿者與當地政府向社會發出倡議，為該地區的農戶捐款幫扶，現從這50戶并且損失超過4000元的農戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8000元的農戶數為，求的分布列和數學期望.19．（12分）已知，，為正數，且，證明：（1）；（2）.20．（12分）已知函數f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.（1）求函數f(x)在區間[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函數h(x)圖像上任意兩點，且滿足＞1，求實數a的取值范圍；（3）若?x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求實數a的最大值．21．（12分）已知函數（1）當時，求不等式的解集；（2）的圖象與兩坐標軸的交點分別為，若三角形的面積大于，求參數的取值范圍.22．（10分）車工劉師傅利用數控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對之前加工的100個零件的加工時間進行統計，結果如下：加工1個零件用時（分鐘）20253035頻數（個）15304015以加工這100個零件用時的頻率代替概率.（1）求的分布列與數學期望；（2）劉師傅準備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座，用時40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據程序框圖的模擬過程，寫出每執行一次的運行結果，屬于基礎題.【詳解】初始值，第一次循環：，；第二次循環：，；第三次循環：，；第四次循環：，；第五次循環：，；第六次循環：，；第七次循環：，；第九次循環：，；第十次循環：，；所以輸出.故選：C【點睛】本題考查了循環結構的程序框圖的讀取以及運行結果，屬于基礎題.2．D【解析】

根據復數z滿足，利用復數的除法求得，再根據復數的概念求解.【詳解】因為復數z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.【點睛】本題主要考查復數的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.3．D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復合命題的真假判斷得答案．【詳解】當時，故命題為假命題；記f（x）＝ex﹣x的導數為f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上遞減，在（0，＋∞）上遞增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命題為真命題；∴是假命題故選D【點睛】本題考查復合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對函數的圖象與性質，是基礎題．4．A【解析】

由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F，得到左焦點為再由FC=2CA，求得A3【詳解】由題意，直線x-3y+3=0經過橢圓的左焦點F，令所以c=3，即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=因為FC=2CA，所以FA=3又由點A在橢圓上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式，轉化為a,c的齊次式，然后轉化為關于e的方程，即可得5．D【解析】

設出的坐標為，依據題目條件，求出點的軌跡方程，寫出點的參數方程，則，根據余弦函數自身的范圍，可求得結果.【詳解】設，則∵，∴∴∴為點的軌跡方程∴點的參數方程為（為參數）則由向量的坐標表達式有：又∵∴故選：D【點睛】考查學生依據條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數式轉換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積，屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關點法；④參數法；⑤待定系數法6．D【解析】

由半圓面積之比，可求出兩個直角邊的長度之比，從而可知，結合同角三角函數的基本關系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【詳解】解：由題意知，以為直徑的半圓面積，以為直徑的半圓面積，則，即.由，得，所以.故選:D.【點睛】本題考查了同角三角函數的基本關系，考查了二倍角公式.本題的關鍵是由面積比求出角的正切值.7．A【解析】

由及得到、，進一步得到，再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以.故選：A.【點睛】本題考查三角函數誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.8．C【解析】

根據題意，分兩種情況進行討論：①語文和數學都安排在上午；②語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數目，由分類加法計數原理可得答案．【詳解】根據題意，分兩種情況進行討論：①語文和數學都安排在上午，要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰，將節語文課和節數學課分別捆綁，然后在剩余節課中選節到上午，由于節英語課不加以區分，此時，排法種數為種；②語文和數學都一個安排在上午，一個安排在下午.語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午，但節語文課不加以區分，節數學課不加以區分，節英語課也不加以區分，此時，排法種數為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分類計數原理的應用，屬于中等題．9．C【解析】

根據準線的方程寫出拋物線的標準方程,再對照系數求解即可.【詳解】因為準線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選：C【點睛】本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.10．A【解析】分析：通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知，進而可知，利用裂項相消法求和即可．詳解：∵，∴，又∵=5，∴，即，∴，∴數列前項的和為，故選A．點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.11．C【解析】

分析函數的定義域和單調性，然后對選項逐一分析函數的定義域、單調性，由此確定正確選項.【詳解】函數的定義域為，在上為減函數.A選項，的定義域為，在上為增函數，不符合.B選項，的定義域為，不符合.C選項，的定義域為，在上為減函數，符合.D選項，的定義域為，不符合.故選：C【點睛】本小題主要考查函數的定義域和單調性，屬于基礎題.12．C【解析】

由輔助角公式化簡三角函數式，結合三角函數圖象平移變換即可求得的解析式，結合正弦函數的圖象與性質即可判斷各選項.【詳解】函數，則，將向左平移個單位，可得，由正弦函數的性質可知，的對稱中心滿足，解得，所以A、B選項中的對稱中心錯誤；對于C，的對稱軸滿足，解得，所以圖象關于直線對稱；當時，，由正弦函數性質可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對于D，最小正周期為，當，，由正弦函數的圖象與性質可知，時僅有一個解為，所以D錯誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點睛】本題考查了三角函數式的化簡，三角函數圖象平移變換，正弦函數圖象與性質的綜合應用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1344【解析】

分四種情況討論即可【詳解】解：數學排在第一節時有：數學排在第二節時有：數學排在第三節時有：數學排在第四節時有：所以共有1344種故答案為：1344【點睛】考查排列、組合的應用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎題.14．【解析】

】由題意利用任意角的三角函數的定義，求得的值．【詳解】∵的終邊過點，若，．即答案為-2.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數的定義和誘導公式，屬基礎題.15．【解析】

根據個全等的三角形，得到，設，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面積公式，求得三角形的面積.【詳解】由于三角形是由個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，所以.在三角形中，.設，則.由余弦定理得，解得.所以三角形邊長為，面積為.故答案為：【點睛】本題考查了等邊三角形的面積計算公式、余弦定理、全等三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16．【解析】

根據題意得出，由此可得出實數的值.【詳解】，，直線的斜率為，由于函數在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數的切線與直線平行求參數，解題時要結合兩直線的位置關系得出兩直線斜率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）最小值為1．【解析】

（1）根據拋物線的定義，判斷出的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡的方程.設出兩點的坐標，利用導數求得切線的方程，由此求得點的坐標.寫出直線的方程，聯立直線的方程和曲線的方程，根據韋達定理求得點的坐標，并由此判斷出始終在直線上，且.（2）設直線的傾斜角為，求得的表達式，求得的表達式，由此求得四邊形的面積的表達式進而求得四邊形的面積的最小值．【詳解】(1)∵動圓過定點，且與直線相切，∴動圓圓心到定點和定直線的距離相等，∴動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，∴軌跡的方程為：，設，∴直線的方程為：，即：①，同理，直線的方程為：②，由①②可得：，直線方程為：，聯立可得：，，∴點始終在直線上且；（2）設直線的傾斜角為，由（1）可得：，，∴四邊形的面積為：，當且僅當或，即時取等號，∴四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.18．（1）3360元；（2）見解析【解析】

（1）根據頻率分布直方圖計算每個農戶的平均損失；（2）根據頻率分布直方圖計算隨機變量X的可能取值，再求X的分布列和數學期望值．【詳解】（1）記每個農戶的平均損失為元，則；（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過1000元的農戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（戶），損失超過8000元的農戶共有0.00003×2000×50＝3（戶），隨機抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；計算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為；X012P數學期望為E（X）＝0×+1×+2×＝．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機變量的分布列與數學期望計算問題，屬于中檔題．19．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用均值不等式即可求證；（2）利用，結合，即可證明.【詳解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【點睛】本題考查利用均值不等式證明不等式，涉及的妙用，屬綜合性中檔題.20．（1）m(t)＝（2）a≤2－2.（3）a≤2－2.【解析】

（1）是研究在動區間上的最值問題，這類問題的研究方法就是通過討論函數的極值點與所研究的區間的大小關系來進行求解．（2）注意到函數h(x)的圖像上任意不同兩點A，B連線的斜率總大于1，等價于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，從而構造函數F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上單調遞增，進而等價于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立來加以研究．（3）用處理恒成立問題來處理有解問題，先分離變量轉化為求對應函數的最值，得到a≤，再利用導數求函數M(x)＝的最大值，這要用到二次求導，才可確定函數單調性，進而確定函數最值．【詳解】（1）f′(x)＝1－，x＞0，令f′(x)＝0，則x＝1.當t≥1時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，f(x)的最小值為f(t)＝t－lnt；當0＜t＜1時，f(x)在區間(t,1)上為減函數，在區間(1，t＋1)上為增函數，f(x)的最小值為f(1)＝1.綜上，m(t)＝（2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，不妨取0＜x1＜x2，則x1－x2＜0，則由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，變形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，則F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上單調遞增，故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．因為2x＋≥2，當且僅當x＝時取“＝”，所以a≤2－2.（3）因為f(x)≥，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.因為x∈(0,1]，則x＋1∈(1,2]，所以?x∈(0,1]，使得a≤成立．令M(x)＝，則M′(x)＝.令y＝2x2＋3x－lnx－1，則由y′＝＝0可得