第三章山東交通學院高等數學教研室第四節函數的單調性與曲線的凹凸性一、函數單調性的判定方法二、曲線的凹凸性與拐點一、函數單調性的判定方法1.定理1則在[a,b]內單調遞增.證明:任取由lagrange中值定理得在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,(2)如果在(a,b)內則在[a,b]內單調遞減.(1)如果在(a,b)內(1)若則在[a,b]內單調遞增.(2)若則在[a,b]內單調遞減.設函數例1

討論函數的單調性.解:令得在內在區間上單減;函數的定義域為在內在區間上單增;例2

討論函數的單調性.解:時,導數不存在.在內在區間上單減;函數的定義域為在內在區間上單增;注：如果如2.確定函數y=f(x)單調性的一般步驟則函數在該區間上仍單增(或單減).確定函數f(x)

的定義域;在某區間內的有限個點處為零,處均為正(或負),(1)以這些點(2)的單調性,從而判定函數其它點求出使的點和不存在的點,為界點將定義域劃分為若干個子區間.(3)確定各個子區間內的符號,并求出單調區間.例3

確定函數的單調區間.解:令得故的單調遞增區間為的單調遞減區間為函數的定義域為例4

求函數的單調區間.解:令得和在區間函數的定義域為為不可導點.不存在上單調遞增;在區間上單調遞減.例5證明:時,證明:即令則在上連續.在內,則在上單調遞增,時,時,例6證明:時,證明:即令則在上連續.在內,則在上單調遞增時,∴在上單調遞增時,例7證明方程有且僅有一個實根.解:令則在上連續.使得∴在內至少存在一點x0,又曲線和x軸最多有一個交點.即方程至少有一個實根.∴在上單增.即方程最多有一個實根.∴方程有且僅有一個實根.1.定義1在區間

I

上連續,(1)則稱圖形在I上是(向上)凹的(或凹弧);(2)則稱二、曲線的凹凸性與拐點曲線經過點凹凸性如果發生了改變,若x0是I的內點,(x0,

f(x0))時,則稱點(x0,

f(x0))是該曲線的拐點.若恒有若恒有圖形在I上是(向上)是凸的(或凸弧).定義2設函數定理2(1)若在

(a,b)

內則f(x)在[a,b]內圖形是凹的;(2)若在

(a,b)

內則f(x)在[a,b]內圖形是凸的.證明:則由lagrange定理設函數在區間[a,b]上連續,在區間(a,b)內有二階導數,則且記兩式相減得(1)則即則圖形是凹的;(2)則即則圖形是凸的.而若若例1判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在內,是凸的.函數的定義域為例2判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在內,函數的定義域為在是凹的.故曲線在內,在是凸的.2確定函數y=f(x)凹凸性的一般步驟確定函數f(x)

的定義域;(1)以這些點(2)的凹凸性,從而判定函數求出使的點和不存在的點,為界點將定義域劃分為若干個子區間.(3)確定各個子區間內的符號,并求出凹凸區間和拐點.注:拐點的嫌疑點:二階導數為零的點二階導數不存在的點.例3求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.凹凸函數的定義域為為二階導數不存在的點.對應例4求曲線的凹凸區間及拐點.解:令得故該曲線在及上是凹的,是凸的,為拐點.凹凹凸函數的定義域為在上點

及證明:當時,證明:則例5則曲線在時是凸弧設能否利用單調性證明?時,即證明:當時,證明:則例5設當時,時單減,在

時,即扇形AOB的面積二、兩個重要極限證明:∴即△AOB

的面積＜＜△AOD的面積注時不等式仍成立.設內容小結1.可導函數單調性判別在I

上單調遞增在I

上單調遞減2.曲線凹凸與拐點的判別拐點—連續曲線上的凹凸分界點在I上是凹的曲線在I上是凸的曲線思考與練習上則或的大小順序是()提示:單調增加