第2章簡單隨機抽樣

2.1定義和符號2.2簡單估計量及其性質2.3比率估計量及其性質2.4回歸估計量及其性質2.5簡單隨機抽樣的實施簡單隨機抽樣用于估計總體均值的統計量是樣本均值。-兩者同形同構之意直接從總體（而不是層之間的子總體）抽取單元（而不是一群個體的大單元）-單純之意在任何其他概率抽樣方式或多或少包含簡單隨機抽樣的成分，如分層抽樣在每層內部均采用簡單隨機抽樣，整群抽樣以群為單位進行簡單隨機抽樣。-基本之意許多日常場合，采用的抓鬮搖號等都是簡單隨機抽樣。-操縱簡單之意2.1定義和符號所討論的總體是抽樣總體(實查總體)：（1）具體總體（2）有限總體(3)與抽樣框存在一一對應關系單元：指構成抽樣總體的抽樣單元。抽樣單元并不總是等于個體，有時可能包括幾個或很多個個體，個體為最小的不可再分的單元2.1定義和符號書上，簡單隨機抽樣三個等價定義：設有限總體共有N個單元，一次整批取n各單元，使每個單元被抽中的概率相等，任何n個單元被抽中的概率也相等逐個不放回抽取單元，每次抽取到尚未入群的任何一個單元的概率都相等，直到抽足n個單元為止抽取n個單元的所有不同組合構造所有可能的

個樣本，從這個樣本中隨機抽取1個樣本，使每個樣本被抽中的概率都等于2.1定義和符號簡單隨機抽樣設有限總體共有N個單元，從中抽取容量為n個單元組成樣本，使得每一個可能的樣本都有相同的概率被抽中，這種抽樣方法就是簡單隨機抽樣（simplerandomsampling）。具體抽樣時，通常是逐個抽取樣本單元，直到抽滿n個單元為止。簡單隨機抽樣分為：有放回抽樣和無放回抽樣（with/withoutreplacement）放回簡單隨機抽樣在每次抽取樣本單元時，都將前一次抽取的樣本單元放回總體，因此，總體的結構不變，抽樣是相互獨立進行的，每個樣本被抽中的概率為1/N.在不放回簡單隨機抽樣中，每個被抽中的單元不再放回總體，而是從總體剩下的單元中進行抽樣，因此，每次抽樣時總體中單元個數不同，抽樣是不獨立的，但可以證明每個單元被抽中的概率仍然為1/N。2.1定義和符號2.1定義和符號設總體有5個單元（1、2、3、4、5），按放回簡單隨機抽樣的方式抽取2個單元，則所有可能的樣本為個（考慮樣本單元的順序）：1，12，13，14，15，11，22，23，24，25，21，32，33，34，35，31，42，43，44，45，41，52，53，54，55，5例1：放回簡單隨機抽樣2.1定義和符號

設總體有5個單元（1、2、3、4、5），按不放回簡單隨機抽樣的方式抽取2個單元，則所有可能的樣本為個1，22，33，44，51，32，43，5

1，42，5

1，5

例2.不放回簡單隨機抽樣2.1定義和符號簡單隨機抽樣的抽取原則：（1）按隨機原則取樣；（2）每個抽樣單元被抽中的概率都是已知的或事先確定的；（3）每個抽樣單元被抽中的概率都是相等的不放回簡單隨機抽樣的樣本量要受總體大小的限制。在實際工作中，更多的采用不放回簡單隨機抽樣。2.1定義和符號-約定大寫表示總體-小寫表示樣本

2.2簡單估計量及其性質總體均值樣本均值總體均值的簡單估計量總體總值樣本總值總體總值的簡單估計量為

簡單估計量總體方差樣本方差修正總體方差修正樣本方差

簡單估計量總體比例(rate)樣本比例總體比率（ratio）樣本比率簡單估計量某一類特征的單元占總體單元數中的比例P

總體中具有研究特征的單元總數總體中具有研究特征的比例總體比例P的估計為（比例估計化為均值估計）簡單估計量判斷下面要估計的總體目標量分別屬于什么類型？調查城市居民家庭平均用電量。估計湖中魚的數量。估計居民家庭用于做飯菜及飲用的用水量占家庭總用水量的比重。檢測食鹽中碘含量。估計嬰兒出生性別比。

簡單估計量例3.設總體為{0,1,3,5,6}，計算總體均值=3、總體方差和；給出全部的樣本

驗證及。

1010.5-2.50.52031.5-1.54.53052.5-0.512.540630185132-126153087163.50.512.58354129364.51.54.510平均565.52.50.5

306.5

方差1.95

樣本編號單元1單元2樣本均值樣本方差簡單估計量

一、對總體均值的估計引理2.1:從N個總體中抽取n個簡單隨機樣本，則總體中每個特定單元人樣的概率為n/N，兩個特定單元人樣的概率為簡單估計量的性質

引理2.2：在簡單隨機抽樣中，引入隨機變量則

樣

樣

2.2簡單估計量及其性質

一、對總體均值的估計以樣本均值作為總體均值的估計定理2.1：對于簡單隨機抽樣，是的無偏估計。

2.2簡單估計量及其性質證法1：對于固定的有限總體，估計量的期望是對所有可能樣本求平均得到的，因此總體中每個特定的單元在不同的樣本中出現的次數。

2.2簡單估計量及其性質證法2：由于每個單元出現在總體所有可能樣本中的次數相同，因此一定是的倍數，且這個倍數就是，

2.2簡單估計量及其性質推論2.1：對于簡單隨機抽樣，

的期望推論2.2：對于簡單隨機抽樣，

的期望推論2.3：對于簡單隨機抽樣,n較大時,

的期望為2.2簡單估計量及其性質對于有限總體的方差定義：定理2.2：對于簡單隨機抽樣，的方差式中：為抽樣比(例)，為有限總體校正系數。

2.2簡單估計量及其性質證明（對稱論證法）：

中的求和是對項的，中的求和是對項的2.2簡單估計量及其性質

證法三：

其中

樣

樣

2.2簡單估計量及其性質2.2簡單估計量及其性質法二：總體方差修正總體方差

簡單估計量推論2.4：對于簡單隨機抽樣，

的方差為：推論2.5：對于簡單隨機抽樣，

的方差為：推論2.6：對于簡單隨機抽樣,n較大時,

的方差為2.2簡單估計量及其性質對于有限總體的兩個指標的協方差定理2.3：對于簡單隨機抽樣，的方差式中：

為總體協方差。（證略）2.2簡單估計量及其性質簡單隨機抽樣下，簡單估計量估計精度影響因素：

-估計量的方差是衡量估計量精度的度量。影響估計量方差的因素主要是樣本量n，總體大小N和總體方差。通常N很大，當f<0.05時，可將近似取為1。總體方差是我們無法改變的；因此，在簡單隨機抽樣的條件下，只有通過加大樣本量來提高估計量的精度。

2.2簡單估計量及其性質定理2.4：簡單隨機樣本的方差，

是總體方差S2的無偏估計.

證明:2.2簡單估計量及其性質推論2.7：對于簡單隨機抽樣，是的無偏估計推論2.8：對于簡單隨機抽樣，是的無偏估計2.2簡單估計量及其性質推論2.9：對于簡單隨機抽樣，是的無偏估計推論2.10：對于簡單隨機抽樣,n較大時,有

2.2簡單估計量及其性質大樣本下，抽樣調查估計量漸進正態

總體均值的置信度為

置信區間其中為標準誤差2.2簡單估計量及其性質例4：我們從某個=100的總體中抽出一個大小為=10的簡單隨機樣本，要估計總體平均水平并給出置信度為95%的區間估計。序號12345678910452046615082.2簡單估計量及其性質由置信度95%對應的，因此，可以以95%的把握說總體平均水平大約在之間，即2.4295和7.5705之間。2.2簡單估計量及其性質例5：某學院共有1200名學生，現欲調查學生平均每月的伙食支出，采用了簡單隨機抽樣的方法抽取了65名學生作調查，得到數據如下：要求以95%的置信度估計出該學院學生平均每月伙食費支出的置信區間2.2簡單估計量及其性質有放回簡單隨機抽樣2.2簡單估計量及其性質二、對總體總(值)量的估計

總體總值總體總值的樣本估計量總體總值的樣本估計量的方差用樣本代替2.2簡單估計量及其性質例6：續例4.估計總體總量，并給出在置信度95%的條件下，估計的極限相對誤差。在置信度95%下，的極限相對誤差為：2.2簡單估計量及其性質三、對總體比例的估計

某一類特征的單元占總體單元數中的比例P.

2.2簡單估計量及其性質總體方差：

2.2簡單估計量及其性質例：某超市新開張一段時間之后，為改進銷售服務環境，欲調查附近幾個小區居民到該超市購物的滿意度，該超市與附近幾個小區的居委會取得聯系，在總體中按簡單隨機抽樣抽取了一個大小為=200人的樣本，調查發現對該超市購物環境表示滿意或基本滿意的居民有130位，要估計對該超市購物環境持肯定態度居民的比例，并在置信度95%下，給出估計的近似置信區間、極限絕對誤差。假定這時的抽樣比可以忽略。2.2簡單估計量及其性質95%近似置信區間為〔58.37%，71.63%〕2.2簡單估計量及其性質2.3比率估計量及其性質主要變量的總體均值的比率估計量：主要變量的總體均值Y的比率估計量：引理2.3：對于簡單隨機抽樣，n較大時，的期望為：例：設所有可能樣本數為8個不是無偏的I11112240.53250.44350.65360.56360.57480.586130.46平均360.562.3比率估計量及其性質定理2.6：對于簡單隨機抽樣，n較大時，的期望為：推論2.11：對于簡單隨機抽樣，n較大時，的期望為2.3比率估計量及其性質引理2.4：對于簡單隨機抽樣，n較大時，的方差為：其中，2.3比率估計量及其性質定理2.7：對于簡單隨機抽樣，n較大時，的方差為推論2.12：對于簡單隨機抽樣，n較大時，的方差為2.3比率估計量及其性質很難比較哪種方法好兩套公式2.3比率估計量及其性質2.5簡單隨機抽樣的實施方法

樣本容量的確定原理當n越接近于N，則抽樣誤差就越接近于零。公式影響樣本容量n的三個基本因素：總體規模N，目標抽樣誤差和總體方差S2未知另一方面,目標抽樣誤差與總體方差S2有關估計的精度水平，誤差限度（絕對誤差限度d或相對誤差限度r）和置信度有關系：即：于是影響樣本容量n的因素：總體規模N，置信度絕對誤差限度d和總體方差S22.5簡單隨機抽樣的實施方法例：表：例：表：d0.140.100.040.03n4995566964S200.090.160.210.240.25n1136243133563702.5簡單隨機抽樣的實施方法例：表：不同抽樣方式會影響樣本容量–設計效應一般地，不能得到有效信息的原因有：抽樣框存在缺陷受訪者調查期間不在訪問員的疏失設計和管理上的缺陷（不總是可以完全避免）N501005001000n44792172782.5簡單隨機抽樣的實施方法樣本量的確定步驟：確定估計的精度水平，包括誤差限度（絕對誤差限度d或相對誤差限度r）和置信度按照保守（樣本容量寧大勿小），預估S2

利用先前的調查結果和經驗利用預調查結果利用同類或相似或有關的二手數據的結果利用某些理論上的結論(總體比例p(1-p)=0.25)利用有經驗的專家的判斷2.5簡單隨機抽樣的實施方法最大絕對誤差（絕對誤差限）或最大相對誤差（相對誤差限）

相對誤差限度r樣本量：2.5簡單隨機抽樣的實施方法初始樣本量n0計算：確定抽樣方式,調整樣本容量,設計效應deff=任意抽樣方式抽樣方差/簡單隨機抽樣的抽樣方差簡單隨機抽樣:deff=1分層抽樣：deff<1--效率高整群抽樣：deff>1--效率低

系統抽樣：deff≈12.5簡單隨機抽樣的實施方法

Deff（基什L.Kish提出）的作用：評價抽樣設計的一個依據,如果deff<1--比簡單隨機抽樣的效率高；如果deff>1--比簡單隨機抽樣的效率低計算樣本量如多階段抽樣的Deff大約在2~2.5之間。

n=n’(deff)n’為簡單隨機抽樣所需樣本量。

2.5簡單隨機抽樣的實施方法放回簡單隨機抽樣的deff為：常用于復雜抽樣樣本量的確定；在一定精度條件下，簡單隨機抽樣所需的樣本量比較容易得到，復雜抽樣的樣本量為，

2.5簡單隨機抽樣的實施方法5.判定回答率，調整樣本容量6.對分組數據分別計算樣本量，再相加得到總樣本容量。