山西省忻州市關縣陳家營中學2023年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a，b，c都是正數，則三數

（

）

A．都大于2

B．都小于2

C．至少有一個不大于2

D．至少有一個不小于2參考答案：D2.已知點是所在平面內一點，且滿足，若，則=（

）A.

B.1

C.

D.參考答案：C3.如圖，已知直線l：y=k(x+1)(k>0)與拋物線C：y2=4x相交于A、B兩點，且A、B兩點在拋物線C準線上的射影分別是M、N，若|AM|=2|BN|，則k的值是

(A)

(B)

(C)

(D)

2

參考答案：C略4.已知將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.對于項數都為m的數列{an}和{bn}，記bk為a1,a2,…,ak(k=1,2,…,m)中的最小值，給出下列命題： ①若數列{bn}的前5項依次為5，5，3，3，1，則a4=3； ②若數列{bn}是遞減數列，則數列{an}也是遞減數列； ③數列{bn}可能是先遞減后遞增的數列； ④若數列{an}是遞增數列，則數列{bn}是常數列． 其中，是真命題的為

A．①④

B．①③

C．②③

D．②④參考答案：D略6.如果實數滿足不等式組則的最小值是A．25

B．5

C．4

D．1參考答案：B在直角坐標系中畫出不等式組

所表示的平面區域如圖1所示的陰影部分，x2+y2的最小值即表示陰影部分（包含邊界）中的點到原點的距離的最小值的平方，由圖可知直線x?y+1=0與直線x=1的交點(1，2)到原點最近，故x2+y2的最小值為12+22=5.選B.7.若的內角滿足，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知復數是正實數，則實數a的值為(

)A.0 B.1 C.－1 D.±1參考答案：C【分析】將復數化成標準形式，由題意可得實部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【詳解】因為為正實數，所以且，解得.故選：C【點睛】本題考查復數的基本定義，屬基礎題.9.已知數列為等差數列，若，，則A．36 B．42 C．45 D．63參考答案：C10.已知是定義在上的奇函數，滿足,當時,，則函數在區間上的零點個數是

（

）

A．3

B．5

C．7

D．9參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x＞0，y＞0，x+y2=4，則log2x+2log2y的最大值為．參考答案：2【考點】基本不等式．【分析】利用基本不等式、對數的運算法則和單調性即可得出．【解答】解：∵實數x，y＞0，x+y2=4，∴4=x+y2≥2，化為xy2≤4，當且僅當x=2，y=時取等號．則log2x+2log2y=log2（xy2）≤log24=2．因此log2x+2log2y的最大值是2．故答案為：2．12.若a∈R+，則當a+的最小值為m時，不等式m＜1的解集為．參考答案：{x|x＜﹣3或x＞﹣1}【考點】指、對數不等式的解法．【分析】利用基本不等式求出a+的最小值m，再代入不等式m＜1，化為等價的不等式x2+4x+3＞0，求出解集即可．【解答】解：∵a∈R+，∴a+≥2=，當且僅當a=，即a=時取“=”；∴a+的最小值為m=；∴不等式m＜1為：（）＜1，等價于x2+4x+3＞0，解得x＜﹣3或x＞﹣1；故所求不等式的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．故答案為：{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．【點評】本題考查了利用基本不等式求最值以及指數不等式的解法與應用問題，是基礎題目．13.一個棱錐的三視圖如圖所示，則這個棱錐的體積為_____.參考答案：12略14.設是等比數列的前n項和，若，，成等差數列，則公比等于____________________。參考答案：1/3略15.定積分(+x)dx的值為．參考答案：【考點】定積分．【分析】根據定積分的幾何意義計算dx，利用微積分基本定理計算xdx，然后相加即可．【解答】解：根據定積分的幾何意義可知dx表示以1為半徑的圓面積的，∴dx=，又xdx=|=，∴（+x）dx=dx+xdx=．故答案為：．16.已知實數x，y滿足，則的取值范圍是．參考答案：[1，]【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用直線斜率的幾何意義進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域，的幾何意義是區域內的點到定點D（0，﹣1）的斜率，由圖象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此時最小值為1，由得，即A（1，），此時AD的斜率k==，即1≤≤，故的取值范圍是[1，]故答案為：[1，]17.設函數，則的最小值是，若，則的取值范圍是。參考答案：答案：

3

，．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知定點，，滿足的斜率乘積為定值的動點的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程;(2)過點的動直線與曲線的交點為，與過點垂直于軸的直線交于點，又已知點,試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系，并證明。參考答案：(1)設，得。(2)設代入得得當時,,,又得,PD的中點，圓M的半徑.圓心M到時直線PF距離，當.綜上，直線PF與BD為輔直徑的圓M相切。略19.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】余弦定理．【專題】計算題．【分析】（Ⅰ）由余弦定理和題設條件求得cosB的值，進而利用誘導公式和二倍角公式對化簡整理，最后把cosB的值代入即可求得答案．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中cosB的值，可求得sinB的值，進而通過．利用基本不等式求得ac的范圍，最后利用三角形面積公式，求得三角形面積最大值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理：===

（Ⅱ）由cosB=，得sinB=．∵b=2，∴，從而故（當且僅當a=c時取等號）【點評】本題主要考查了余弦定理的應用，同角三角函數的基本關系，二倍角公式的化簡求值．考查了學生分析推理和基本運算的能力．20.（本小題共14分）如圖在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，為的中點，是棱上一點，且.（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）證明：∥平面；（Ⅲ）求二面角的度數.參考答案：（Ⅲ）連結，底面是菱形，且，是等邊三角形，由（Ⅰ）平面..以為坐標原點，分別為軸軸軸建立空間直角坐標系則.————10分設平面的法向量為，，注意到∥，解得是平面的一個法向量——12分21.已知函數f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（1）討論f（x）的單調性；（2）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0對任意x∈[e，e2]恒成立，求實數a的取值范圍（e為自然常數）．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（1）先求導，再分類討論即可得到函數的單調性；（2）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，從而求導F′（x）=，再由導數的正負討論確定函數的單調性，從而求函數的最大值，從而化恒成立問題為最值問題即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣a==（x＞0），當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，單調減區間為[1，+∞）；當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），單調減區間為（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，則F′（x）=，若﹣a≤e，即a≥﹣e，F（x）在[e，e2]上是增函數，F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，a≤（e﹣1﹣e2），無解．若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，F（x）在[e，﹣a]上是減函數；在[﹣a，e2]上是增函數，F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤（e﹣1﹣e2），∴﹣e2≤a≤（e﹣1﹣e2）．若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，F（x）在[e，e2]上是減函數，F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，∴a＜﹣e2，綜上所述，a≤（e﹣1﹣e2）．22.（本題滿分12分）參加市數學調研抽測的某校高三學生成績分析的莖葉圖和頻率分布直方圖均受到不同程度的破壞，但可見部分信息如下，據此解答如下問題：（Ⅰ）求參加數學抽測的人數、抽測成績的中位數及分數分別在，內的人數；（Ⅱ）若從分數在內的學生中任選兩人進行調研談話，求恰好有一人分數在內的概率．參考答案：（Ⅰ）分數在內的頻數為2，由頻率分布直方圖可以看出，分數在內同樣有人．

……………2分，由，得，……………3分莖葉圖可知抽測成績的中位數為．

…………………4分分數在之間的人數為……5分參加數學競賽人數，中位數為73，分數在、內的人數分別為人