山西省太原市重機中學2023年高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，則函數f（x）=（a2﹣2）x+b為增函數的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】幾何概型．【分析】首先求出所以事件個數就是集合元素個數5，然后求出滿足使函數為增函數的元素個數為3，利用公式可得．【解答】解：從集合{﹣2，0，1，3，4}中任選一個數有5種選法，使函數f（x）=（a2﹣2）x+b為增函數的是a2﹣2＞0解得a＞或者a＜，所以滿足此條件的a有﹣2，3，4共有3個，由古典概型公式得函數f（x）=（a2﹣2）x+b為增函數的概率是；故選：B．2.要得到函數y=sin（4x﹣）的圖象，只需將函數y=sin4x的圖象（）A．向左平移單位 B．向右平移單位C．向左平移單位 D．向右平移單位參考答案：B【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】直接利用三角函數的平移原則推出結果即可．【解答】解：因為函數y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函數y=sin（4x﹣）的圖象，只需將函數y=sin4x的圖象向右平移單位．故選：B．【點評】本題考查三角函數的圖象的平移，值域平移變換中x的系數是易錯點．3.已知集合，，則__________.

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，則的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】簡單線性規劃；簡單線性規劃的應用；平面向量數量積的運算．【分析】根據題意，由向量的坐標運算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的計算公式可得=，可以令t=，將m+n∈[1，2]的關系在直角坐標系表示出來，分析可得t=表示區域中任意一點與原點（0，0）的距離，進而可得t的取值范圍，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根據題意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），則==，令t=，則=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐標系表示如圖，t=表示區域中任意一點與原點（0，0）的距離，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故選：D．【點評】本題考查簡單線性規劃問題，涉及向量的模的計算，關鍵是求出的表達式．5.條件甲：a＞b＞0，條件乙：，則甲是乙成立的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計算題．【分析】先通過解分式不等式化簡條件乙，再判斷甲成立是否推出乙成立；條件乙成立是否推出甲成立，利用充要條件的定義判斷出甲是乙成立的什么條件．【解答】解：條件乙：，即為?若條件甲：a＞b＞0成立則條件乙一定成立；反之，當條件乙成立不一定有條件甲：a＞b＞0成立所以甲是乙成立的充分非必要條件故選A．【點評】判斷一個條件是另一個條件的什么條件，應該先化簡兩個條件，再利用充要條件的定義進行判斷．6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判斷幾何體的各個面的特點，計算邊長，求解面積．【解答】解：根據三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，運用直線平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故該三棱錐的表面積是2，故選：C．7.已知雙曲線,其中，雙曲線半焦距為c,若拋物線的準線被雙曲線C截得的弦長為（e為雙曲線C的離心率），則雙曲線C的漸近線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.下列命題錯誤的是

A．命題“”的逆否命題是若或，則B．“”是””的充分不必要條件C．命題：存在,使得，則：任意,都有

D．命題“或”為真命題，則命題“”和命題“”均為真命題參考答案：D略9.已知a∈R，若a+1，a+2，a+6依次構成等比數列，則此等比數列的公比為(

) A．4 B．2 C．1 D．﹣參考答案：A考點：等比數列的通項公式．專題：等差數列與等比數列．分析：由已知得（a+2）2=（a+1）（a+6），解得a=﹣，由此能求出此等比數列的公比．解答： 解：∵a+1，a+2，a+6依次構成等比數列，∴（a+2）2=（a+1）（a+6），解得a=﹣，∴此等比數列的公比q==4．故選：A．點評：本題考查等比數列的公比的求法，是基礎題，解題時要注意等比數列的公比的求法．10.設全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x2＞1}，則下列關系中正確的是（）A．M=P B．P?M C．M?P D．?U（M∪P）=?參考答案：C【考點】集合的包含關系判斷及應用．【專題】集合．【分析】求出集合P={x|x＞1，或x＜﹣1}，根據真子集的概念即可得到M?P．【解答】解：P={x|x＞1，或x＜﹣1}，M={x|x＞1}；∴M?P．故選C．【點評】考查解一元二次不等式，描述法表示集合，以及真子集的概念．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足，，則△的面積為______________．參考答案：2因為，所以，所以，因為，所以，所以△的面積。12.（不等式選講）若不等式的解集為，則實數的取值范圍為

．參考答案：略13.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且a=15，b=10，A=60°，則cosB=

．參考答案：【考點】正弦定理．【專題】計算題；解三角形．【分析】由正弦定理可得，可求sinB，然后結合大邊對大角及同角平方關系即可求解【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B為銳角∴cosB==故答案為：【點評】本題主要考查了正弦定理及同角平方關系的簡單應用，屬于基礎試題14.是定義在實數有R上的奇函數，若x≥0時，，則___參考答案：-115.設是定義在R上的奇函數，當時，（其中b為常數），則___________．參考答案：－316.設集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，則A∩B=

．參考答案：{x|0＜x≤2}【考點】交集及其運算．【分析】由A與B，求出兩集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案為：{x|0＜x≤2}【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．17.右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入的，分別為14，20，則輸出的＝______．參考答案：2【知識點】算法和程序框圖【試題解析】因為

輸出

故答案為：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f(x)=sin2x+sin(－2x)．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相應的x值；（Ⅱ）設函數g(x)=f(x)，如圖，點P，M，N分別是函數y=g（x）圖象的零值點、最高點和最低點，求cos∠MPN的值．參考答案：【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；H2：正弦函數的圖象．【分析】（Ⅰ）化簡函數（x）為正弦型函數，利用正弦函數的圖象與性質求出它的最大值以及此時對應的x值；（Ⅱ）化簡函數g（x），過D作MD⊥x軸于D，根據三角函數的對稱性求出∠PMN=90°，再求cos∠MPN的值．【解答】解：（Ⅰ）函數=sin2x+cos2x﹣sin2x…==；…∴f（x）的最大值為f（x）max=1，…此時，…解得；…（Ⅱ）函數=sin=sin（x+），…過D作MD⊥x軸于D，如圖所示；∵PD=DM=1，∴∠PMN=90°，…計算PM=，MN=2PM=2，PN==，…∴．…19.已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點.(1)求的取值范圍；(2)證明：參考答案：（1）由題意知，函數的定義域為，方程在有兩個不同根，即方程在有兩個不同根，令，則當時，由恒成立，即在內為增函數，顯然不成立當時，由解得，即在內為增函數，內為減函數，故即可，解得綜上可知的取值范圍為（2）由（1）知：當時，恒成立∴┄上式個式子相加得：即又因為所以所以20.已知數列，滿足條件：，．（1）求證數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和，并求使得對任意都成立的正整數的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）∵∴，∵，…………2分∴數列是首項為2，公比為2的等比數列．

∴∴

…………4分（Ⅱ）∵，

…………6分∴

．

…………8分

∵，又，∴N*，即數列是遞增數列．∴當時，取得最小值．

…………10分

要使得對任意N*都成立，結合（Ⅰ）的結果，只需，由此得．∴正整數的最小值是5．

…………12分略21.（12分）（2015?嘉峪關校級三模）已知函數f（x）=x?lnx（e為無理數，e≈2.718）（1）求函數f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；（2）設實數a＞，求函數f（x）在上的最小值；（3）若k為正數，且f（x）＞（k﹣1）x﹣k對任意x＞1恒成立，求k的最大值．參考答案：【考點】：利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】：導數的綜合應用．【分析】：（1）由已知得x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程．（2）由f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=，由此利用導數性質能求出函數f（x）在上的最小值．（3）記h（x）=f（x）﹣（k﹣1）x+k=xlnx﹣（k﹣1）x+k，x＞1，則h′（x）=lnx+2﹣k，x＞1，由此利用導數性質能求出k的最大值．解：（1）∵f（x）=x?lnx，∴x＞0，f′（x）=lnx+1，∵f（e）=e，f′（e）=2，∴y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程為：y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e．（2）∵f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=，當x∈（0，）時，F′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x∈（）時，F′（x）＞0，f（x）單調遞增，當a≥時，f（x）在單調遞增，min=f（a）=alna，當時，a＜，min=f（）=﹣．（3）記h（x）=f（x）﹣（k﹣1）x+k=xlnx﹣（k﹣1）x+k，x＞1，則h′（x）=lnx+2﹣k，x＞1，當k≤3且k∈Z時，h（x）在x∈（1，+∞）上為增函數，∴h（x）＞h（1）=1＞0，符合．當k≥4且k∈Z時，h（x）在x∈（1，ek﹣2）上為減函數，在x∈，∴h（2）=2ln2+2﹣k＜2+2﹣k≤0，不符合．綜上，k≤3且k∈Z，∴k的最大值是3．【點評】：本題考查切線方程的求法，考查函數的最小