山西省太原市王答鄉第二中學2021年高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點】兩角和與差的正弦函數．【專題】三角函數的求值．【分析】直接利用誘導公式以及兩角和的正弦函數，化簡求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故選：D．【點評】本題考查誘導公式以及兩角和的正弦函數的應用，基本知識的考查．2.定義在上的偶函數，當時，.若存在，使方程

的實數根，則的取值集合是（

）

參考答案：D3.若函數的圖象關于原點對稱，當時，單調遞減且最小值是-1，那么=

A．

B．

C．

D．參考答案：B4.若函數恰有兩個零點，則實數m的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】令，然后進行分離常數，利用數形結合的數學思想方法畫出圖像，結合圖像求得的取值范圍.【詳解】，故不是的零點.當時，令得.令，，設，則，所以在上遞增，而，所以當時，，即；當時，，即.即在上遞減，在上遞增，所以當時，.結合二次函數的圖像與性質，畫出的圖像如下圖所示，由圖可知，當或時，與的圖像有兩個交點，也即恰有兩個零點.故選：C.【點睛】本小題主要考查根據零點個數求參數的取值范圍，考查利用導數研究函數的單調性、和最值，考查數形結合的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.5.已知集合,,則(

)A． B． C． D．參考答案：C略6.將函數圖像所有點橫坐標縮短為原來一半，再向右平移，得到函數的圖像，那么關于的論斷正確的是（

）（A）周期為，一個對稱中心為

（B）周期為，一個對稱中心為（C）最大值為2，一個對稱軸為

（D）最大值為1，一個對稱軸為參考答案：C7.如圖，己知雙曲的左、右焦點分別為F1，F2，，P是雙曲線右支上的一點，F2P與y軸交于點A，△APF1的內切圓在邊PF1上的切點為Q，若|PQ|=1，則雙曲線的離心率是A．3

B．2

C．

D．參考答案：B8.已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，P是橢圓上一點，是以F2P為底邊的等腰三角形，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.a，b，c表示直線，M表示平面，給出下列四個命題：若a∥M，b∥M，則a∥b；②若bM，a∥b，則a∥M；③若a⊥c，b⊥c，則a∥b；④若a⊥M，b⊥M，則a∥b.其中正確命題的個數有

(

)

A、0個

B、1個

C、2個

D、3個參考答案：B10.設正實數x，y滿足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，則m的最大值為（）A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：C【考點】基本不等式．【分析】不等式+≥m恒成立，轉化為求+的最小值，可得m的最大值．將分母轉化為整數，設y﹣1=b，則y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），利用基本不等式的性質即可得出．【解答】解：設y﹣1=b，則y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），a＞0，b＞0．那么：+==（當且僅當a=b=1即x=2，y=1時取等號．∴+的最小值為8，則m的最大值為8．故選：C．【點評】本題考查了基本不等式的性質的運用解決恒成立的問題，利用了換元法轉化求解，多次使用基本不等式式解決問題的關鍵，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關于的不等式()的解集為,且,則__________. （）參考答案：12.已知定義在R上的函數的圖象關于點對稱，且滿足，又，，則

參考答案：1略13.某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．參考答案：【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知該幾何體是從四棱錐P﹣ABCD中挖去了一個半圓錐所得的組合體，由三視圖求出幾何元素的長度，由錐體的體積公式求出幾何體的體積．【解答】解：由三視圖知該幾何體的直觀圖為：即從四棱錐P﹣ABCD中挖去了一個半圓錐所得的組合體，∵四棱錐P﹣ABCD底面是邊長為2的正方形、高為2，圓錐底面圓的半徑是1、高為2，頂點是P，∴所求的體積V==，故答案為：．【點評】本題考查三視圖求幾何體的體積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力．14.用三個不同字母組成一個含個字母的字符串，要求由字母開始，相鄰兩個字母不能相同.例如時，排出的字符串是；時排出的字符串是,…….記這種含個字母的所有字符串中，排在最后一個的字母仍是的字符串的個數為,則,

,

．參考答案：

略15.已知在平面直角坐標系中，為原點，且（其中均為實數），若N（1，0），則的最小值是

.參考答案：略16.如圖，在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，E、F是AB上的兩個三等分點，G、H是AC上的兩個三等分點，，則的最小值為

.

參考答案：117.已知雙曲線的漸近線方程是，那么此雙曲線的離心率為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數（Ⅰ）求不等式的解集M；（Ⅱ）當時，證明：.參考答案：略19.（本小題滿分12分）已知函數（1）求函數的最小值；（2）已知，求證：。參考答案：（1）又

故在上為增函數的最小值為（2）

由（1）得

即即（*）下面證明又

即由（*）式得，即得證.20.已知矩陣，在平面直角坐標系xOy中，直線在矩陣A對應的變換下得到直線，求實數a，b的值.參考答案：【分析】設直線上任意一點在矩陣對應的變換下得到直線l上任意一點，根據得代入，化簡后與直線，對比，最后求出實數的值.【詳解】由題意可得直線上任意一點在矩陣對應的變換下得到直線l上任意一點，，，代入，化簡后得：，與直線對比可得：，.【點睛】本題考查了變換，考查了數學運算能力、代入思想、坐標變換思想.21.

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學在期末考試中的數學成績．乙組記錄中有一個數字模糊，無法確認，假設這個數字具有隨機性，并在圖中以a表示．

(I)若甲、乙兩個小組的數學平均成績相同，求a的值；

(Ⅱ)求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率;(Ⅲ)當a=2時，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，求這兩名同學的數學成績之差的絕對值不超過2分的概率．參考答案：解：（1）依題意，得，

解得.

…………4分（2）設“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，

依題意，共有10種可能.

由（1）可知，當時甲、乙兩個小組的數學平均成績相同，所以當時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8種可能．所以乙組平均成績超過甲組平均成績的概率．

……8分（3）設“這兩名同學的數學成績之差的絕對值不超過2分”為事件，

當時，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，

所有可能的成績結果有種，

它們是：，，，，，，，

，，

事件的結果有7種，它們是：，，，，，，.

因此這兩名同學的數學成績之差的絕對值不超過2分的概率……12分

略22.（本小題滿分14分）已知函數．

（1）若函數在處取得極值，求函數的解析式；

（2）若函數在不單調，求實數的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，判斷過點可作曲線多少條切線，并說明理由．

參考答案：（1）

……………1分

∵

∴∴

…………2分

∴，顯然在附近符號不同，∴是函數的一個極值點

……………3分∴…………………4分（2）若函數在不單調，則應有二不等根