1第二章復變函數的積分講授內容：復變函數的積分；柯西定理；柯西公式。基本要求：了解復變函數積分的基本性質；熟練掌握柯西定理和柯西公式。2§2.1復變函數的積分一、定義：設在復數平面的某分段光滑曲線l上定義了連續函數f(z)，在l上取一系列分點z0（起點A），z1

，

z2，…，

zn（終點B），把l分成n個小段，在每個小段[zk-1,zk]上任取一點k，作和????A??xyo?Bz0znlz1zk-1zkk3若極限存在且值與k的選取無關,則這個和的極限稱為函數f(z)沿曲線l從A到B的路積分，記為

分量形式：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy參數形式：曲線l的參數方程{x=x(t),y=y(t)},起始點A

和結束點

BtA,tB4二、性質常數因子可以移到積分號之外函數和的積分等于各函數積分的和反轉積分路徑，積分值變號5全路徑上的積分等于各分段上的積分的和即：如果

l=l1+l2+……+ln積分不等式1：積分不等式2：其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的全長。6例1：計算積分復變函數的積分不僅與起點和終點有關，同時還與路徑有關。oxyl1l1l2l211+i1解：7解：積分路徑的參數方程為2積分值與積分路線圓周的半徑無關。取C為圓周|z|=3，結果？8解：積分路徑的參數方程為9積分值與積分路線圓周的中心和半徑無關。10§2.2柯西定理一、單連通區域情形單連通區域柯西定理：如果函數f(z)在閉單連通區域上解析，則沿上任一分段光滑閉合曲線l（可以是邊界），函數的積分均為零。xyclo11證明：因f(z)在上解析，因而在上連續。對實部虛部分別應用格林公式將回路積分化成面積分因為u、v滿足C-R條件12推論：在單連通區域中解析的函數f(z)的積分值只依賴于起點和終點，而與積分線路無關。證明：已知其中C2-表示C2

的反方向。單連通區域內，只要起點和終點固定不變，當積分路徑連續變形時，函數的路積分值不變。最后可得：由積分的基本性質可得：13解：根據柯西定理,有14

xyl1l2l3l0Bo區域邊界線的正方向當觀察者沿著這個方向前進時，區域總是在觀察者的左邊。二、復連通區域情形復連通區域：如果區域內存在(1)奇點；(2)不連續線段；(3)無定義區

,為了把這些奇異部分排除在外，需要作適當的圍道l1、l2、l3

把它們分隔出去，形成帶孔的區域復連通區域柯西定理：如果f(z)

是閉復連通區域上的單值解析函數，則其中：l為外邊界線，li為內邊界線，積分沿邊界線的正方向。15證：作割線連接內外邊界線逆時針順時針16閉復連通區域上的單值解析函數沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內境界線逆時針方向積分的和。引申：17解：18根據復連通區域柯西定理有：利用例3結果19練習：結論：不必是圓，a也不必是圓的圓心，只要a在簡單閉曲線內即可。20§2.4柯西公式一、單連通區域情形若f(z)在閉單連通區域上單值解析，l為的邊界線，為內的任一點，則有柯西公式：證明：21因被積函數一般以為奇點，作回路對右端的值作一估計??l從而僅需證明=022??l特例：如果l是以為圓心的圓周，z=

+rei

這就是說，一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周的平均值。23考慮到是解析區域內任意一點，將改為z，積分變數用表示24二、復連通區域情形Bl1l2l?

z

對復連通區域只要將l

理解成所有邊界線，且方向均取正向，上式仍成立。三、無界區域的情形如果當|z|時，f(z)0（一致），則：l’與l反方向?zl’設f(z)在閉回路l的外部解析，以z=0為圓心，充分大的R為半徑，作圓CR，l在CR內，有：25關于柯西公式的說明：內點的值可用邊界線的積分表示；公式不但提供了計算某些復變函數沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數的一個積分表達式；一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。26解：由單連通區域柯西公式有：27解：28根據復連通區域柯西定理有：利用柯西公式29四、重要推論—高階導數公式兩邊對z求導：兩端反復在積分號下求導即得高階導數公式。一個解析函數不僅有一階導數，而且有各階導數，它的值也可以用函數在邊界上的值通過積分來表示，這一點和實變函數完全不同。證：30C?z=0?z=1例7：計算積分I,其中C為不經過點0和1的正向曲線。解：分四種情況考慮被積函數解析，因此，由柯西定理得I=0;

函數在C上及C包圍的區域解析，由柯西公式：(1)如果0和1都不在C中(2)若僅0在C內31(3)若僅1在C內(4)若0和1都在C內C?z=1?z=0?z=0?z=1C1C0由柯西定理32因f0(z)在C0上及C0包圍的圓內解析，同樣f1(z)在C1上及C1包圍的圓內解析，可利用前面結果得：其中D

為曲線C

包圍的區域所以，最后結果為：330213解：僅包含奇點z=2。兩個奇點z=2和z=0都含在