課時作業(六十三)變量間的相關關系、統計案例1．(多選)2020年3月15日，某市物價部門對5家商場的某商品一天的銷售量及其價格進行調查，5家商場的售價x(元)和銷售量y(件)之間的一組數據如表所示：價格x91011銷售量y1110865按公式計算，y與x的回歸直線方程是：eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋eq\o(a,\s\up6(^))，相關系數|r|＝，則下列說法正確的有()A．變量x，y線性負相關且相關性較強B．eq\o(a,\s\up6(^))＝40C．當x＝時，y的估計值為D．相應于點，6)的殘差約為ABC[對A，由表可知y隨x增大而減少，可認為變量x，y線性負相關，且由相關系數|r|＝可知相關性強，故A正確．對B，價格平均eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(9＋＋10＋＋11)＝10，銷售量eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(11＋10＋8＋6＋5)＝8.故回歸直線恒過定點(10，8)，故8＝－×10＋eq\o(a,\s\up6(^))?eq\o(a,\s\up6(^))＝40，故B正確．對C，當x＝時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－×＋40＝，故C正確．對D，相應于點，6)的殘差eq\o(e,\s\up6(^))＝6－(－×＋40)＝－，故D不正確．故選ABC.]2．(多選)因防疫的需要，多數大學開學后啟用封閉式管理．某大學開學后也啟用封閉式管理，該校有在校學生9000人，其中男生4000人，女生5000人，為了解學生在封閉式管理期間對學校的管理和服務的滿意度，隨機調查了40名男生和50名女生，每位被調查的學生都對學校的管理和服務給出了滿意或不滿意的評價，經統計得到如下列聯表：滿意不滿意男2020女4010附表：P(K2≥k)k附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)以下說法正確的有()A．滿意度的調查過程采用了分層抽樣的抽樣方法B．該學校學生對學校的管理和服務滿意的概率的估計值為C．有99%的把握認為學生對學校的管理和服務滿意與否與性別有關系D．沒有99%的把握認為學生對學校的管理和服務滿意與否與性別有關系AC[因為男女比例為4000∶5000，故A正確．滿意的頻率為eq\f(20＋40,90)＝eq\f(2,3)≈，所以該學校學生對學校的管理和服務滿意的概率的估計值約為，所以B錯誤．由列聯表K2＝eq\f(90×（20×10－20×40）2,40×50×60×30)＝9＞，故有99%的把握認為學生對學校的管理和服務滿意與否與性別有關系，所以C正確，D錯誤．故選AC.]3．為了研究某種細菌在特定環境下隨時間變化的繁殖規律，得如下實驗數據，計算得回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－.由以上信息，得到下表中c的值為________．天數x/天34567繁殖個數y/千個34c解析：eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f＋3＋4＋＋c,5)＝eq\f(14＋c,5)，代入回歸直線方程中得：eq\f(14＋c,5)＝×5－，解得c＝6.答案：64．某校某次數學考試規定80分以上(含80分)為優分，在1000名考生中隨機抽取的100名學生中，“男生組”中的優分有15人，“女生組”中的優分有15人，據此可得2×2列聯表如下：優分非優分總計男生154560女生152540總計3070100為了研究數學成績與性別是否有關，采用獨立檢驗的方法進行數據處理，則正確的結論是________________．附表及公式P(K2≥k0)k0K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).解析：K2＝eq\f(100×（15×25－15×45）2,60×40×30×70)≈，因為<，所以沒有90%以上的把握認為“數學成績與性別有關”．答案：沒有90%以上的把握認為“數學成績與性別有關”5．某市春節期間7家超市廣告費支出xi(萬元)和銷售額yi(萬元)數據如表：超市ABCDEFG廣告費支出xi1246111319銷售額yi19324044525354(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y與x的線性回歸方程；(2)若用二次函數回歸模型擬合y與x的關系，可得回歸方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋5x＋20，經計算，二次函數回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為和，請用R2說明選擇哪個回歸模型更合適，并用此模型預測A超市廣告費支出3萬元時的銷售額．解析：(1)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i=1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i=1,7,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－7x2)＝eq\f(2794－7×8×42,708－7×82)＝.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x＝42－×8＝，故y關于x的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)因為<，所以二次函數回歸模型更合適．當x＝3時，eq\o(y,\s\up6(^))＝.故選擇二次函數回歸模型更合適，并且用此模型預測A超市廣告費支出3萬元時的銷售額為萬元．6．為了解某校學生參加社區服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調查．已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區服務時間的統計數據如下表：超過1小時不超過1小時男208女12m(1)求m，n；(2)能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區服務時間是否超過1小時與性別有關？(3)以樣本中學生參加社區服務時間超過1小時的頻率作為該事件發生的概率，現從該校學生中隨機調查6名學生，試估計這6名學生中一周參加社區服務時間超過1小時的人數．附：P(K2≥k)kK2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解析：(1)由已知，該校有女生400人，故eq\f(12＋m,20＋8)＝eq\f(400,560)，得m＝8，從而n＝20＋8＋12＋8＝48.(2)作出2×2列聯表如下：超過1小時的人數不超過1小時的人數合計男20828女12820合計321648K2＝eq\f(48×（160－96）2,28×20×32×16)＝eq\f(24,35)≈7<.所以沒有95%的把握認為該校學生一周參加社區服務時間是否超過1小時與性別有關．(3)根據以上數據，學生一周參加社區服務時間超過1小時的概率P＝eq\f(32,48)＝eq\f(2,3)，故估計這6名學生中一周參加社區服務時間超過1小時的人數是4.7．(2023·全國卷Ⅲ)某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數據得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質量等級[0，200](200，400](400，600]1(優)216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)；(3)若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”．根據所給數據，完成下面的2×2列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤400人次＞400空氣質量好空氣質量不好附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P(K2≥k)k解析：(1)由所給數據，該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率的估計值如下表：空氣質量等級1234概率的估計值(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為eq\f(1,100)(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)根據所給數據，可得2×2列聯表：人次≤400人次＞400空氣質量好3337空氣質量不好228根據列聯表得K2＝eq\f(100×（33×8－22×37）2,55×45×70×30)≈.由于＞，故有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關．8．某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數據作了初步處理，得到如圖散點圖及一些統計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))563表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根據散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)?(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程．(3)已知這種產品的利潤z與x，y的關系為z＝－x.根據(2)的結果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數據(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：解析：(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關于w的線性回歸方程，由eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i=1,8,)（wi－w）·（yi－y）,\i\su(i=1,8,)（wi－w）2)＝eq\f,＝68.得eq\o(c,\s\up6(^))＝y－eq\o(d,\s\up6(^))w＝563－68×＝.所以y關于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋68w，因此y關于x的回歸方程為y∧＝＋68eq\r(x).(3