山西省大同市劉家莊中學2021年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的離心率為，橢圓上一點到兩焦點的距離之和為，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.半徑R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為（）A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3參考答案：A【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【專題】計算題．【分析】求出扇形的弧長，然后求出圓錐的底面周長，轉化為底面半徑，求出圓錐的高，然后求出體積．【解答】解：2πr=πR，所以r=，則h=，所以V=故選A【點評】本題是基礎題，考查圓錐的展開圖與圓錐之間的計算關系，圓錐體積的求法，考查計算能力．3.已知，為線段上距較近的一個三等分點，為線段上距較近的一個三等分點，則用表示的表達式為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|y=lnx}，則（?UA）∩B=（）A．? B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x≤1}參考答案：D【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】對應思想；定義法；集合．【分析】化簡集合A、B，求出?UA，再求（?UA）∩B．【解答】解：∵全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}=（1，+∞），B={x|y=lnx}={x|x＞0}=（0，+∞），∴?UA=（﹣∞，1]，∴（?UA）∩B=（0，1]．故選：D．【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題目．5.已知集合A={x∈R|（x+3）（x﹣4）≤0}，B={x∈R|log2x≥1}，則A∩B=（）A．[2，4） B．[2，4] C．（4，+∞） D．[4，+∞）參考答案：B【考點】交集及其運算．【專題】集合．【分析】利用交集的定義和不等式的性質求解．【解答】解：∵A={x∈R|（x+3）（x﹣4）≤0}={x|﹣3≤x≤4}，B={x∈R|log2x≥1}={x|x≥2}，∴A∩B={x|2≤x≤4}=[2，4]．故選：B．【點評】本題考查交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意不等式性質的合理運用．6.若復數z滿足，其中為虛數單位，則（

）A．2 B． C． D．3參考答案：C7.集合，，則“”是“”的A．充分非必要條件

B．必要非充分條件C．充分必要條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：B8.三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=4,AA1=6，若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A．68π

B．32π

C．17π

D．164π參考答案：A9.正方形的邊長為2，點、分別在邊、上，且，，將此正方形沿、折起，使點、重合于點，則三棱錐的體積是A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.△ABC中，角A，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，若=，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形參考答案：A【考點】正弦定理；余弦定理．【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形．【分析】把已知的等式利用正弦定理化簡，再利用同角三角函數間的基本關系得到tanA與tanB相等，根據A和B都為三角形的內角，得到A與B相等，根據等角對等邊得到a=b，即三角形ABC為等腰三角形．【解答】解：根據正弦定理：=化簡已知等式得：=，即tanA=tanB，由A和B都為三角形的內角，得到A=B，則△ABC一定為等腰三角形．故選：A．【點評】此題考查了三角函數中的恒等變換應用，以及正弦定理．學生做題時注意角度A和B都為三角形的內角這個條件．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列說法： ①“”的否定是“”； ②若正數滿足，則的最小值為； ③命題“函數處有極值，則”的否命題是真命題； ④上的奇函數，時的解析式是，則時的解析式為 其中正確的說法是

______________參考答案：④略12.設與是定義在同一區間上的兩個函數，若對任意的，都有，則稱和在上是“密切函數”，稱為“密切區間”，設與在上是“密切函數”，則它的“密切區間”可以是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：解：因為與在上是“密切函數”則，即，即，化簡得，因為的，即與軸沒有交點，由開口向上得到恒成立；所以由，解得，所以它的“密切區間”為，故答案為C．考點：1、新定義的概念；2、絕對值不等式的解法．13.設定義域為R的函數滿足，則不等式的解集為__________．參考答案：(1,+∞)【分析】根據條件構造函數F（x），求函數的導數，利用函數的單調性即可得到結論．【詳解】設F（x），則F′（x），∵，∴F′（x）＞0，即函數F（x）在定義域上單調遞增．∵∴，即F（x）＜F（2x）∴，即x＞1∴不等式的解為故答案為【點睛】本題主要考查函數單調性的判斷和應用，根據條件構造函數是解決本題的關鍵．14.若向量、滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為，則|+2|＝

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參考答案：略15.（坐標系與參數方程選做題）直線（）被圓截得的弦長為_________.參考答案：【知識點】選修4-4

參數與參數方程N3【答案解析】

∵直線（t為參數）

∴直線的普通方程為x+y-1=0圓心到直線的距離為d==，

l=2，故答案為：．【思路點撥】先將直線的參數方程化成普通方程，再根據弦心距與半徑構成的直角三角形求解即可．16.曲線與直線y=x和y=3所圍成的平面圖形的面積為_________.參考答案：4-ln3由得。當，解得，由，解得，由得.所以根據積分的應用知所求面積為.17.若函數在處有極大值，則常數的值為_________；參考答案：

解析：，時取極小值三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，，，BC=1，，CD=4，E為CD的中點．（1）求證：AE∥平面PBC；（2）求二面角B–PC-D的余弦值．參考答案：（1）詳見解析；（2）．（1）證明：，，，，，在中，，，，，是直角三角形，又為的中點，，，，是等邊三角形，，，又平面，平面，平面．（2）由（1）可知，以點為原點，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，設為平面的法向量，則，即，設，則，，，設為平面的法向量，則，即，設，則，，，，二面角的余弦值為．19.如圖l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點，F是BC邊上的一點，對角線AC分別交DE、DF于M、N兩點．將ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A點，構成如圖2所示的幾何體．（I）求證：A′D⊥面A′EF；（Ⅱ）試探究：在圖1中，F在什么位置時，能使折起后的幾何體中EF∥平面AMN，并給出證明．參考答案：考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：證明題．分析：（Ⅰ）由題意可得，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F=A′，利用線面垂直的判定定理即可證得結論；（Ⅱ）當點F為BC的中點時，EF∥面A′MN．在圖（1）中，E，F分別是AB，BC的中點，可得EF∥AC，而M∈AC，N∈AC，從而可得EF∥MN，繼而有EF∥平面AMN．解答： 證明：（Ⅰ）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，又A′E∩A′F=A′，A′E?面A′EF，A′F?面A′EF，∴A′D⊥面A′EF．

（Ⅱ）當點F為BC的中點時，EF∥面A′MN．

證明如下：當點F為BC的中點時，在圖（1）中，E，F分別是AB，BC的中點，所以EF∥AC，即在圖（2）中有EF∥MN．

又EF?面A′MN，MN?面A′MN，所以EF∥面A′MN．點評：本題考查直線與平面垂直的判定與直線與平面平行的判定，正確理解題意，將圖形折起是基礎，熟練應用線面垂直與線面平行的判定定理是解決問題的關鍵，屬于中檔題．20.已知公差不為零的等差數列{an}的前4項和為10，且成等比數列．（1）求通項公式an；（2）設,求數列{bn}的前n項和Sn．參考答案：（1）an=3n－5；（2）.分析】（1）根據題意得到關于首項和公差的方程組，解出首項和公差，即可得到通項公式；（2），根據等比數列求和公式得到結果即可.【詳解】（1）由題意知解得

所以an=3n－5.（2）∵∴數列{bn}是首項為，公比為8的等比數列，所以.【點睛】這個題目考查了等差數列的基本量的計算，等比數列的前n項和的計算，題型較為基礎。求數列的和的方法，常見的有：按照等差等比公式求解，倒序相加法，錯位相減法，分組求和等.21.（12分）.如圖所示，已知三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．(1)求證：DM∥平面APC；(2)求證：平面ABC⊥平面APC.參考答案：證明：(1)由已知，得MD是△ABP的中位線，所以MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，故MD∥平面APC.---------------------------------5分(2)因為△PMB為正三角形，D為PB的中點，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.------------------------------7分因為BC?平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.-----------------------------10分因為BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面AP