山西省臨汾市縣底鎮第二中學2021年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設隨機變量X服從正態分布N（4，σ2），若P（X＞m）=0.3，則P（X＞8﹣m）=（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．與σ的值有關參考答案：C【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】根據隨機變量X服從正態分布，可知正態曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得P（X＜8﹣m），從而求出P（X＞8﹣m）即可．【解答】解：∵隨機變量X服從正態分布N（4，o2），∴正態曲線的對稱軸是x=4，∵P（X＞m）=0.3，而m與8﹣m關于x=4對稱，由正態曲線的對稱性得：∴P（X＞m）=P（X＜8﹣m）=0.3，故P（X＞8﹣m）=1﹣0.3=0.7，故選：C．2.已知復數z＝(cosθ＋i)(2sinθ－i)是純虛數，θ∈[0,2π)，則θ＝(

)A.

B.

C. D.參考答案：D3.“”是“函數在區間無零點”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A4.將函數的圖像向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）得到函數f(x)的圖像，則下列說法正確的是（

）A.函數f(x)的最小正周期為B.函數f(x)在區間上單調遞增C.函數f(x)在區間上的最小值為D.是函數f(x)的一條對稱軸參考答案：C【分析】由三角函數圖象的伸縮變換及平移變換得f（x）函數解析式，再由三角函數圖象及性質依次判斷選項即可．【詳解】=2cos（x+），將其向右平移個單位長度得函數解析式為h（x）＝2cos（x），再把得到的圖象再把橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數y＝f（x）的圖象，得f（x）＝2cos（2x），則函數y＝f（x）的最小正周期為π，對稱軸方程為x（k∈z），故A，D選項不正確，又當時，2x，函數不單調，故B錯誤，當時，2x，函數在x=時取得最小值為C正確，故選：C．【點睛】本題考查了三角函數圖象的伸縮變換及平移變換，三角函數圖象的性質，屬于中檔題.5.對函數f（x），如果存在x0≠0使得f（x0）=﹣f（﹣x0），則稱（x0，f（x0））與（﹣x0，f（﹣x0））為函數圖象的一組奇對稱點．若f（x）=ex﹣a（e為自然數的底數）存在奇對稱點，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．[1，+∞）參考答案：B【考點】函數與方程的綜合運用．【分析】由方程f（x）=﹣f（﹣x）有非零解可得e2x﹣2aex+1=0有非零解，令ex=t，則關于t的方程t2﹣2at+1=0有不等于1的正數解，利用二次函數的性質列出不等式組解出a的范圍．【解答】解：∵f（x）=ex﹣a存在奇對稱點，∴f（x）=﹣f（﹣x）有非零解，即ex﹣a=a﹣e﹣x有非零解，∴e2x﹣2aex+1=0有非零解．設ex=t，則關于t的方程t2﹣2at+1=0在（0，1）∪（1，+∞）上有解；∴，解得a≥1．若t=1為方程t2﹣2at+1=0的解，則2﹣2a=0，即a=1，此時方程只有一解t=1，不符合題意；∴a≠1．綜上，a＞1．故選B．6.隨機變量的分布列如右表所示，若，則（

）－101

A．9

B．7

C．5

D．3參考答案：C7.斜率為2的直線l過雙曲線的右焦點，且與雙曲線的左右兩支分別相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是A. B.C. D.參考答案：D【分析】利用數形結合，根據已知直線的斜率，求出漸近線的斜率范圍，推出的關系，然后求出離心率的范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線的斜率為，結合圖形分析可知，若小于或等于2，則直線與雙曲線的一支相交或沒有交點，不合題意；所以必大于2，即，解得雙曲線的離心率，故選D．【點睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率范圍，屬于中檔題.求離心率范圍問題，應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的不等式，從而求出的取值范圍.8.設P(x,y)是函數圖象上的點x+y的最小值為A.2

B.

C.4

D.參考答案：B略9.設角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A.第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限參考答案：C略10.將正方形（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，該幾何體的左視圖為（

）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，l1，l2，l3是同一平面內的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l3與l2間的距離是2，正△ABC的三頂點分別在l1，l2，l3上，則△ABC的邊長是．參考答案：略12.（a+x）4的展開式中x3的系數等于8，則實數a=_________。參考答案：2

13.函數,則的解集為

.

參考答案：14.的展開式中，的系數等于40，則等于

.參考答案：【知識點】二項式定理.J3【答案解析】1解析：解：因為展開式中的項為【思路點撥】根據題意寫出特定項，直接求出a的值.15.已知函數f(x)=，若存在x∈N*使得f（x）≤2成立，則實數a的取值范圍為

．參考答案：（﹣∞，﹣15]

【考點】函數的最值及其幾何意義．【分析】由題意可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，運用基本不等式求得到成立的條件，再由x的范圍，可得最小值，運用存在性問題的解法，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：f（x）≤2，即為≤2，由x∈N*，可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，由3x+≥2=12，當且僅當x=2?N，由x=2可得6+12=18；x=3時，可得9+8=17，可得3x+的最小值為17，由存在x∈N*使得f（x）≤2成立，可得2﹣a≥17，解得a≤﹣15．故答案為：（﹣∞，﹣15]．16.已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸.若是角終邊上一點，且，則______________.參考答案：略17.已知、均為銳角，且=.

參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓C的長軸長為4．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l：y=kx+與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】計算題；構造法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得：，解得a，b，c值，可得橢圓C的方程；（2）設點A（x1，y1），B（x2，y2），將直線l的方程y=kx+代入+x2=1，利用韋達定理，及向量垂直的充要條件，可求出滿足條件的k值．【解答】解：（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得：，解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求橢圓C的方程為+x2=1．（2）存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．理由如下：設點A（x1，y1），B（x2，y2），將直線l的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得（k2+4）x2+2kx﹣1=0．（*）則x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因為以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O，所以?=0，即x1x2+y1y2=0．又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，于是﹣﹣+3=0，解得k=±，經檢驗知：此時（*）式的△＞0，符合題意．所以當k=±時，以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．【點評】本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的關系，向量垂直的充要條件，難度中檔．19.（本小題滿分12分） 已知集合 （1）若求實數m的值； （2）設集合為R，若，求實數m的取值范圍。參考答案：略20.（本題滿分14分）已知函數在處取得極值．（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）若關于x的方程在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）………………2分

∵時，取得極值，∴………3分 故，解得， 經檢驗當時，在處取得極大值符合題意，∴……………4分

（Ⅱ）由知，由 得， 令， 則在[0，2]上恰有兩個不同的實數根等價于在[0，2]上恰有兩個不同的實數根． ………6分 當時，，于是在上單調遞增；………………7分 當時，，于是在上單調遞減；………………8分 依題意有

………………11分 解得， 所以實數b的取值范圍是………………14分21.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(為參數)，曲線.（1）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，求C1，C2的極坐標方程；（2）若射線(與C1的異于極點的交點為A，與C2的交點為B，求|AB|.參考答案：（1），；（2）.【分析】（1）由曲線：(為參數)化為普通方程，再結合極坐標與直角坐標的互化公式，即可求得，的極坐標方程；（2）分別求得點對應的的極徑，根據極經的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）曲線：(為參數)可化為普通方程：，由可得曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為.（2）射線與曲線的交點的極徑為，射線與曲線的交點的極徑滿足，解得，所以.【點睛】本題主要考查了參數方程與普通方程的互化，直角坐標方程與極坐標方程的互化，以及極坐標方程的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.22.在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（﹣4，0），B（4，0），動點P與A、B連線的斜率之積為﹣．（Ⅰ）求點P的軌跡方程；（Ⅱ）設點P的軌跡與y軸負半軸交于點C，半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側，圓M被y軸截得弦長為r．（1）求圓M的方程；（2）當r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（Ⅰ）設P點的坐標為（x，y），由已知得，由此能求出點P的軌跡方程．（Ⅱ）（1）由題意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），線段AC的垂直平分線方程為y=2x+3，由此能求出圓M的方程．（2）假設存在定直線l與動圓M均相切，當定直線l的斜率不存在時，不合題意，當定直線l的斜率存在時，設直線l：y=kx+b，則對任意r＞0恒成立，由此能求出存在兩條直線y=3和4x+3y﹣9=0與動圓M均相切．解答：解：（Ⅰ）設P點的坐標為（x，y），則kPA=，x≠﹣4，kPB=，x≠4，因為動點P與A、B連線的斜率之積為﹣，所以，化簡得：，所以點P的軌跡方程為（x≠±4）…（6分）（Ⅱ）（1）由題意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），所以線段AC的垂直平分線方程為y=2x+3，…（8分）設M（a，2a+3）（a＞0），則⊙M的方程為（x﹣a）2+（y﹣2a﹣3）2=r2，因為圓心M到y軸的距離d=a，由，得：a=，…（10分）所以圓M的方程為．…（11分）（2）假設存