浙江省杭州市第12中學2022高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則2a＋b的取值范圍是()A．(2，＋∞)

B．2，＋∞)C．(3，＋∞)

D．3，＋∞)參考答案：B2.已知奇函數的圖象是兩條直線的一部分（如圖所示），其定義域

為，則不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要條件，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，4） B．（4，+∞） C．（0，4] D．（﹣∞，4]參考答案：D【考點】充要條件．【分析】由x＞2得到x2＞4，根據充分不必要條件的概念得：a≤4．【解答】解：由題意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范圍是（﹣∞，4]．故選：D．4.如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點，若，則λ+μ的值為（） A． B． C．1 D．﹣1參考答案：A【考點】向量在幾何中的應用；平面向量的基本定理及其意義． 【專題】計算題；運動思想；平面向量及應用． 【分析】利用向量轉化求解即可． 【解答】解：由題意正方形ABCD中，E為DC的中點，可知：=． 則λ+μ的值為：． 故選：A． 【點評】本題考查向量的幾何意義，考查計算能力． 5.已知數列滿足,前項的為,關于敘述正確的是(

)A.都有最小值

B.都沒有最小值C.都有最大值

D.都沒有最大值參考答案：A6.已知矩形ABCD，E、F分別是BC、AD的中點，且BC=2AB=2，現沿EF將平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，則三棱錐A﹣FEC的外接球的體積為(

) A． B． C． D．參考答案：B考點：球的體積和表面積．專題：空間位置關系與距離．分析：求出幾何體的外接球的半徑，然后求解額居前的體積即可．解答： 解：幾何體的外接球就是棱柱的外接球，也就是擴展的正方體的外接球，正方體的邊長為1，對角線的長度就是外接球的直徑，所求外接球的體積為：=．故選：B．點評：本題考查幾何體的外接球的體積的求法，關鍵是球的半徑的求解，考查計算能力．7.已知兩條直線，，兩個平面，，給出下面四個命題：①， ②，，③， ④，，其中正確命題的序號是（

）．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③參考答案：C①若，，則，①正確；②若，，，則或，異面，②錯誤；③若，，則或，③錯誤；④若，，，則，④正確．綜上，正確命題的序號為①④，故選．8.某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為 A．

B．

C． D．參考答案：A9.已知為實數，若復數為純虛數，則復數在復平面內對應的點位于（

）A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限參考答案：D試題分析：由純虛數的定義可得,解之得,則復數在復平面內對應的點在第四象限,故應選D.考點：復數的有關概念與幾何意義.10.設的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是 （

）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知均為銳角.,則的大小關系是

.參考答案：c>b>a

12.已知橢圓方程為（）,F(-c,0)和F(c,0)分別是橢圓的左

右焦點.①若P是橢圓上的動點,延長到M,使=,則M的軌跡是圓；②若P是橢圓上的動點,則；③以焦點半徑為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切；④若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是；⑤點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.以上說法中，正確的有

參考答案：①③④13.已知函數及，若對于任意的，存在使得恒成立且，則稱為“兄弟函數”已知函數,

是定義在區間上的“兄弟函數”，那么函數在區間上的最大值為

參考答案：214.在的展開式中，項的系數為

▲

．參考答案：略15.已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則k=______．參考答案：或【分析】由已知條件結合弦長，運用勾股定理求出圓心到直線的距離，再由點到直線的距離公式求得值【詳解】解：圓圓心為，半徑為3，在中，，即圓心到直線的距離為1，由點到直線的距離公式得，，所以或；故答案為或；【點睛】本題考查了直線與圓，弦長，點到直線的距離公式，屬于簡單題．16.已知函數滿足：，，則

.

參考答案：1617.用0，1，2，3,4，5這六個數字，可以組成▲個沒有重復數字且能被5整除的五位數（結果用數值表示）．參考答案：216略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數f（x）的極值．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的極值．【分析】（1）把a=2代入原函數解析式中，求出函數在x=1時的導數值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；（2）求出函數的導函數，由導函數可知，當a≤0時，f′（x）＞0，函數在定義域（0，+∝）上單調遞增，函數無極值，當a＞0時，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，利用原函數的單調性得到函數的極值．【解答】解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），．（1）當a=2時，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①當a≤0時，f′（x）＞0，函數f（x）為（0，+∞）上的增函數，函數f（x）無極值；②當a＞0時，由f′（x）=0，解得x=a．又當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0．從而函數f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a﹣alna，無極大值．綜上，當a≤0時，函數f（x）無極值；當a＞0時，函數f（x）在x=a處取得極小值a﹣alna，無極大值．19.如圖，橢圓的離心率為，點為橢圓上的一點，（1）求橢圓E的標準方程；（2）若斜率為k的直線l過點，且與橢圓E交于C，D兩點，B為橢圓E的下頂點，求證：對于任意的k，直線BC，BD的斜率之積為定值．參考答案：（1）；（2）證明見解析．（1）因為，所以，所以①，又橢圓過點，所以②，由①②解得，，所以橢圓的標準方程為．（2）由題意可設直線，聯立消，整理得，設，，則有，，易知．故為定值．20.（本小題滿分13分）如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個動點，垂直于半圓所在的平面，∥，，，。（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值。參考答案：（Ⅰ）證明：因為是直徑，所以

………………1分，因為平面，所以

………………2分，因為，所以平面

………………3分因為，，所以是平行四邊形，，所以平面

………4分，因為平面，所以平面平面

………………5分（Ⅱ）依題意，

………………6分，由（Ⅰ）知，當且僅當時等號成立……8分如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，，則，，，……………9分設面的法向量為，，即，…………10分設面的法向量為，，即，

……………12分由圖知二面角的平面角為鈍角二面角的余弦值為。

……13分21.（本小題滿分10分）《選修4—1：幾何證明選講》如圖，在Rt△ABC中，,BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，．(Ⅰ)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；(Ⅱ)若，求EC的長．參考答案：（Ⅰ）設線段的中點為，連接，點是圓心，

…………..2分又平分.又.是△的外接圓的切線

…………..5分(Ⅱ)由（Ⅰ）知是圓的切線,，.

……………8分又由（Ⅰ）知..

………………10分22.在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為（其中t為參數）．現以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ．（Ⅰ）寫出直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）過點M（﹣1，0）且與直線l平行的直線l1交C于A，B兩點，求|AB|．參考答案：【考點】MK：點、線、面間的距離計算；Q4：簡單曲線的極坐標方程；QH：參數方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由消去參數t，可得直線l的普通方程；由ρ=6cosθ得ρ2=6ρcosθ，由得曲線C