2-1控制系統的時域數學模型2-2控制系統的復數域數學模型2-3

控制系統的結構圖第二章控制系統的數學模型

2-4

控制系統的信號流圖

數學模型是描述系統內部物理量(或變量)之間關系的數學表達式。數學模型可以有多種形式。在經典理論中，常用的數學模型是微（差）分方程、傳遞函數、結構圖、信號流圖、頻率特性等；在現代控制理論中，采用的是狀態空間表達式。結構圖、信號流圖、狀態圖是數學模型的圖形表達形式。數學模型時域模型頻域模型方框圖和信號流圖狀態空間模型數學模型表示方法建立控制系統的數學模型方法有分析法（機理建模法）和實驗法（系統辨識）。分析法是根據系統各部分的運動機理進行分析，列寫相應的運動方程。實驗法是給系統施加測試信號，記錄其輸出響應。2-1控制系統的時域數學模型

1、建立步驟

（1）

確定輸入和輸出量（2）

依據定律列寫原始方程（3）

消去中間變量，寫出微分方程（4）將微分方程標準化。二、線性元件的微分方程②①[解]：據基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi例題：寫出RLC串聯電路的微分方程。由②：，代入①得：例題：列寫電樞控制直流電動機的微分方程取電樞電壓ua和等效到電機轉軸上的負載轉矩Mc為輸入量，輸出是轉速w

電樞回路方程為

控制系統的微分方程SM負載若以角速度為輸出量、電樞電壓為輸入量，消去中間變量，直流電動機的微分方程為電磁轉矩方程電動機軸上轉矩平衡方程當電樞回路的電感可以忽略不計若電樞回路電阻和電動機的轉動慣量都很小，可忽略不計，則上式可進一步簡化根據牛頓定理，可列出質量塊的力平衡方程如下：mfF圖1mF圖2這也是一個二階定常微分方程。X為輸出量，F為輸入量。在國際單位制中，m、f和k的單位分別為：例題：圖為彈簧-質量-阻尼器的機械位移系統，列寫質量在輸入量為外力F，輸出量為位移x。阻尼器是一種產生粘性摩擦的裝置，由活塞和充滿油液的缸體組成?；钊透左w之間的任何相對運動都將受到油液的阻滯。阻尼器用來吸收系統的能量并轉變為熱量而散失掉。[解]：圖1和圖2分別為系統原理結構圖和質量塊受力分析圖。圖中，m為質量，f為粘滯阻尼系數，k為彈性系數。二、控制系統微分方程的建立⑴確定系統和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對系統中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關的物理的方程。⑶對上述方程進行適當的簡化，比如略去一些對系統影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。⑷從系統的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統輸入和輸出關系的微分方程。1、步驟例題：編寫下圖所示的速度控制系統的微分方程。負載-+-+功率放大器測速發電機[解]：⑴該系統的組成和原理；⑵該系統的輸出量是，輸入量是，擾動量是測速-運放Ⅰ運放Ⅱ功放電動機⑶速度控制系統方塊圖：系統輸出系統輸入參考量控制系統的主要部件（元件）：給定電位器、運放1、運放2、功率放大器、直流電動機、減速器、測速發電機運放1運放2功放直流電動機減速器（齒輪系）測速發電機消去中間變量控制系統數學模型（微分方程），令以下的參數為三、線性定常微分方程的求解直接求解法：通解+特解自由解+強迫解（零輸入響應+零狀態響應）拉氏變換求解法：2.求出輸出量拉氏變換函數的表達式；

3.對輸出量拉氏變換函數求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。1.考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，得到變量s的代數方程；R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例題：已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)解：零初始條件下取拉氏變換：2.2.12.2.32.2.2三、非線性微分方程的線性化

[非線性系統]：如果不能應用疊加原理，則系統是非線性的。在經典控制領域對非線性環節的處理能力是很小的。但在工程應用中，除了含有強非線性環節或系統參數隨時間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數展開，取前面的線性項。可以得到等效的線性環節。AByx0設具有連續變化的非線性函數y=f(x)如圖所示若取某一平衡狀態為工作點，如下圖中的A(x0,y0)。A點附近有點為A(x0+Dx,y0+Dy)，當Dx很小時，AB段可近似看做線性的。AByx0設f(x)在點連續可微，則將函數在該點展開為泰勒級數，得：若很小，則，即式中，K為與工作點有關的常數，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態工作點附近展開。設雙變量非線性方程為：，工作點為。則可近似為：式中：，。 為與工作點有關的常數。2-2控制系統的復數域數學模型引入新課：一、傳遞函數的定義零初始條件下，輸出量拉氏變換輸入量拉氏變換r(t)—輸入量，c(t)—輸出量R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)]（1）t<0,輸入量及其各階導數均為0零初始條件（2）t<0,輸出量及其各階導數均為0(1)為何要規定零初始條件？

(2)規定初始條件為零是否可行？

思考：設線性定常系統由下述n階線性常微分方程描述：

例題：求Ls1/Cs解：例題：試求電樞控制直流電動機的傳遞函數根據線性疊加原理，分別研究到和到的傳遞函數解：二、傳遞函數的性質1、G(s)是復函數，且2、G(s)與r(t)無關，只與系統自身的結構參數有關4、G(s)是單位脈沖響應的拉氏變換3、G(s)微分方程sd/dtsd/dt三、傳遞函數的零點與極點z1z2稱為傳遞系數或根軌跡系數傳遞函數寫成因子連乘積的形式稱為傳遞系數或增益或放大系數傳遞函數的極點就是微分方程的特征根，極點決定了系統自由運動的模態。四、傳遞函數極點和零點對輸出的影響自由運動的模態輸入函數零狀態響應前兩項具有與輸入函數相同的模態后兩項由極點決定的自由運動模態，其系數與輸入函數有關傳遞函數的零點影響各模態在響應中所占的比重，

例如輸入信號

，零狀態響應分別為各個模態在兩個系統輸出響應中所占的比重不同，取決于零點相對于極點的距離。任何一個復雜系統都是由有限個典型環節組合而成的。典型環節通常分為以下六種：1、比例環節式中K-增益特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。實例：電子放大器，齒輪，電阻（電位器），感應式變送器等。五、典型環節及其傳遞函數

特點：含一個儲能元件，對突變的輸入其輸出不能立即復現，輸出無振蕩。

實例：RC網絡，直流伺服電動機的傳遞函數也包含這一環節。2、慣性環節式中T-時間常數3、微分環節理想微分一階微分二階微分特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預示輸入信號的變化趨勢。實例：測速發電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數即為微分環節。特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能。實例：電動機角速度與角度間的傳遞函數，模擬計算機中的積分器等。4、積分環節5、振蕩環節

式中ξ－阻尼比-自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）特點：環節中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現振蕩。實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數。

6、純時間延時環節式中－延遲時間特點：輸出量能準確復現輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數學模型就包含有延遲環節。

2-3控制系統的結構圖控制系統的結構圖：描述系統各元部件之間的信號傳遞關系的一種圖形化表示，特別對于復雜控制系統的信號傳遞過程給出了一種直觀的描述。

信號線：表示信號傳遞通路與方向。

方框：表示對信號進行的數學變換。方框中寫入元件或子系統的傳遞函數。

相加點：對兩個以上的信號進行加減運算?！?”表示相加，“-”表示相減。

引出點：表示信號引出或測量的位置。同一位置引出的信號數值和性質完全相同。一、組成:結構圖由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成，它包括：例題：電壓測量裝置方框結構圖被測電壓：指示的測量電壓：電壓測量誤差：系統組成：比較電路、機械調制器、放大器兩相交流伺服電動機、指針機構比較電路：調制器：放大器：兩相伺服電動機：繩輪傳動機構：測量電位器：系統結構圖例題：繪出圖示雙RC網絡的結構圖。uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s)Uo(s)(d)(-)IC(s)U(s)(c)IC(s)I1(s)I2(s)(-)(b)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(a)I2(s)Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)(f)解：繪出網絡對應的復頻域圖，可得：二、結構圖的等效變換和簡化任何復雜的系統結構圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯、并聯和反饋連接三種。方框結構圖的簡化是通過移動引出點、比較點，交換比較點，進行方框運算后，將串聯、并聯和反饋連接的方框合并。等效變換的原則：變換前后的變量之間關系保持不變（1）串聯（2）并聯（3）反饋（4）信號相加點和分支點的移動和互換：

如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡，則要考慮移動某些信號的相加點和分支點。①信號相加點的移動：把相加點從環節的輸入端移到輸出端信號相加點的移動信號相加點的移動和互換把相加點從環節的輸出端移到輸入端：②信號分支點的移動：分支點從環節的輸入端移到輸出端信號分支點的移動和互換信號相加點和分支點的移動和互換分支點從環節的輸出端移到輸入端：[注意]：相臨的信號相加點位置可以互換；見下例信號相加點和分支點的移動和互換同一信號的分支點位置可以互換：見下例相加點和分支點在一般情況下，不能互換。所以，一般情況下，相加點向相加點移動，分支點向分支點移動。結構圖等效變換例子||例2-11例題：利用結構圖等效變換討論兩級RC串聯電路的傳遞函數。結構圖等效變換例子||例2-11總的結構圖如下：-----①--②結構圖等效變換例子||例2-11--③-④結構圖等效變換例子||例2-12[解]：結構圖等效變換如下：[例2-12]系統結構圖如下，求傳遞函數。-+相加點移動-+①-+②結構圖等效變換例子||例2-12閉環系統的傳遞函數三、閉環系統的傳遞函數：

閉環控制系統的典型結構圖如下圖所示：-+圖中，，為輸入、輸出信號，為系統的偏差，為系統的擾動量。1、輸入R(S)作用下的閉環傳遞函數：令，則有：-輸出量為：上式中，稱為前向通道傳遞函數，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號傳送方向的通道。前向通道和反饋通道的乘積稱為開環傳遞函數。含義是主反饋通道斷開時從輸入信號到反饋信號之間的傳遞函數。輸入作用下誤差傳遞函數為：2、擾動N(S)作用下的閉環傳遞函數此時R(s)=0,結構圖如下：輸出對擾動的傳遞函數為：輸出為：一般要求由擾動量產生的輸出量應為零。系統的誤差為-C(s),誤差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，擾動作用下誤差傳遞函數為：-+2-4控制系統的信號流圖

一、信號流圖的組成：（1)節點標志系統的變量，用“O”表示。變量是所有流向該節點信號的代數和;（2）信號在支路上沿箭頭單向傳遞；（3）支路相當于乘法器，信號流經支路時，被乘以支路增益而變成另一信號;（4）對一個給定系統，信號流圖不是唯一的。信號流圖是由節點和支路組成的一種信號傳遞網絡。二、常用的名詞術語：

源節點（輸入節點）：在源節點上，只有信號輸出支路而沒有信號輸入的支路，它一般代表系統的輸入變量。

阱節點（輸出節點）：在阱節點上，只有信號輸入的支路而沒有信號輸出的支路，它一般代表系統的輸出變量?；旌瞎濣c：在混合節點上，既有信號輸出的支路而又有信號輸入的支路。前向通路：信號從輸入節點到輸出節點傳遞時，每個節點只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益，一般用Pk表示。

回路：起點和終點在同一節點，而且信號通過每一節點不多于一次的閉合通路稱回路?；芈飞细髦吩鲆嬷朔e稱回路增益，一般用La表示。不接觸回路：回路之間沒有公共節點時，稱它們為不接觸回路。1.由系統微分方程繪制信號流圖

1）將微分方程通過拉氏變換，得到關于s的代數方程；2）每個變量指定一個節點；3）將方程按照變量的因果關系排列；4）連接各節點，并標明支路增益。三、信號流圖的繪制C1uiR1R2uoi1i例題Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C11)用小圓圈標出傳遞的信號，得到節點。2)用線段表示結構圖中的方框，用傳遞函數代表支路增益。G(s)C(s)R(s)G1(s)G