第四章機器人的動力學

第一節前言機器人動力學是研究機器人運動數學方程的建立。其實際動力學模型可以根據已知的物理定律(例如牛頓或拉格朗日力學定律)求得。

前面我們所研究的機器人運動學都是在穩態下進行的，沒有考慮機器人運動的動態過程。實際上，機器人的動態性能不僅與運動學相對位置有關，還與機器人的結構形式、質量分布、執行機構的位置、傳動裝置等因案有關。機器人動態性能由動力學方程描述，動力學是考慮上述因素，研究機器人運動與關節力(力矩)間的動態關系。描述這種動態關系的微分方程稱為機器人動力學方程。機器人動力學要解決兩類問題：動力學正問題和逆問題。

正動力學問題。即機器人各執行器的驅動力或力矩為已知，求解機器人關節變量在關節變量空間的軌跡或末端執行器在笛卡爾空間的軌跡，這稱為機器人動力學方程的正面求解，簡稱為正動力學問題。逆動力學問題。即機器人在關節變量空間的軌跡已確定，或末端執行器在笛卡爾空間的軌跡已確定（軌跡已被規劃），求解機器人各執行器的驅動力或力矩，這稱為機器人動力學方程的反面求解，簡稱為逆動力學問題。

簡單的講：動力學正問題是——根據關節驅動力矩或力，計算機器人的運動(關節位移、速度和加速度)；動力學逆問題是——已知軌跡對應的關節位移、速度和加速度，求出所需要的關節力矩或力。不考慮機電控制裝置的慣性、摩擦、間隙、飽和等因素時，n自由度機器人動力方程為n個二階耦合非線性微分方程。方程中包括慣性力/力矩、哥氏力/力矩、離心力/力矩及重力/力矩，是一個耦合的非線性多輸入多輸出系統。對機器人動力學的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛頓一歐拉(Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凱恩(Kane)、旋量對偶數、羅伯遜一魏登堡(Roberson—Wittenburg)等方法。

研究機器人動力學的目的是多方面的。動力學正問題與機器人的仿真有關；逆問題是為了實時控制的需要，利用動力學模型，實現最優控制，以期達到良好的動態性能和最優指標。在設計中需根據連桿質量、運動學和動力學參數、傳動機構特征和負載大小進行動態仿真，從而決定機器人的結構參數和傳動方案，驗算設計方案的合理性和可行性，以及結構優化程度。在離線編程時，為了估計機器人高速運動引起的動載荷和路徑偏差，要進行路徑控制仿真和動態模型仿真。這些都需要以機器人動力學模型為基礎。研究機器人動力學的目的第二節機器人的靜力學

機器人靜力學研究機器人靜止或者緩慢運動時作用在手臂上的力和力矩問題，特別是當手端與外界環境有接觸力時，各關節力矩與接觸力的關系。一、虛功原理在介紹機器人靜力學之前，首先要說明一下靜力學中所需要的虛功原理（principleofvirtualwork）。約束力不作功的力學系統實現平衡的必要且充分條件是對結構上允許的任意位移（虛位移）施力所作功之和為零。這里所指的虛位移（virtualdisplacement）是描述作為對象的系統力學結構的位移，不同于隨時間一起產生的實際位移。為此用“虛”一詞來表示。而約束力（forceofconstraint）是使系統動作受到制約的力。下面看一個例子來理解一下實際上如何使用虛功原理。如圖4－1所示，已知作用在杠桿一端的力，試用虛功原理求作用于另一端的力。假設杠桿長度，已知。

圖4－1杠桿及作用在它兩端上的力

按照虛功原理，杠桿兩端受力所作的虛功應該是

（4－1）

式中，，是杠桿兩端的虛位移。而就虛位移來講，下式成立

（4－2）

式中，是繞杠桿支點的虛位移。把式（4－2）代入式（4－1）消去、，可得到下式

（4－3）由于公式（4－3）對任意的都成立，所以有下式成立

因此得到

（4－4）

當力向下取正值時，則為負值，由于的正方向定義為向上，所以這時表明的方向是向下的，即此時和的方向都朝下。

二、機器人靜力學關系式的推導

利用前面的虛功原理來推導機器人的靜力學關系式。如圖4－2所示的機械手，要產生圖（a）所示的虛位移，推導出圖（b）所示各力之間的關系式。這一推導方法本身也適用于一般的情況。圖4－2機械手的虛位移和施加的力

假設：手爪的虛位移為關節的虛位移為手爪力為關節驅動力為如果施加在機械手上的力作為手爪力的反力（用來表示）時，機械手的虛功可表示為：（4－5）

為此，如果應用虛功原理，則得到

（4－6）這里，手爪的虛位移和關節的虛位移之間的關系，用雅克比矩陣表示為

（4－7）把式（4－7）代入式（4－6），提出公因數，可得到下式（4－8）由于這一公式對任意的都成立，因此得到下式成立

（4－9）

進一步整理，把式中第二項移到等式右邊，并取兩邊的轉置，則可得到下面的機械手靜力學關系式

（4－10）上式表示了機械手在靜止狀態為產生手爪力的驅動力。

為了加深理解，下面分別求解圖4－3所示的2自由度機械手在圖示位置時，生成手爪力或的驅動力或。圖示為，時的姿態。圖4－3求生成手爪力或的驅動力

由關節角給出如下姿態

則由式（4－10）可以得到驅動力如下從求解的結果看到，在這里驅動力的大小為手爪力的大小和手爪力到作用線距離的乘積。

三、慣性矩的確定動力學不僅與驅動力有關，還與繞質心的慣性矩有關。下面以一質點的運動為例，了解慣性矩的物理意義。如圖4－4所示，若將力作用到質量為的質點時的平移運動，看作是運動方向的標量，則可以表示為：

（4－11）式中，表示加速度。若把這一運動看作是質量可以忽略的棒長為的回轉運動，則得到加速度和力的關系式為

（4－12）

（4－13）圖4－4質點平移運動作為回轉運動的解析式中，和是繞軸回轉的角加速度和慣性矩。將式（4－12）、（4－13）代入式（4－11），得到（4－14）如，則式（4－14）就改寫為

（4－15）上式是質點繞固定軸進行回轉運動時的運動方程式。與式（4－11）比較相當于平移運動時的質量，在旋轉運動中稱為慣性矩。

對于質量連續分布的物體，求解其慣性矩，可以將其分割成假想的微小物體，然后再把每個微小物體的慣性矩加在一起。這時，微小物體的質量及其微小體積的關系，可用密度表示為

（4－16）所以，微小物體的慣性矩，依據式，可以寫成（4－17）

因此，整個物體的慣性矩通過積分求得如下：

（4－18）四、運動學、靜力學、動力學的關系

如圖4－5所示，在機器人的手爪接觸環境時，手爪力的驅動力的關系起重要作用，在靜止狀態下處理這種關系稱為靜力學（statics）。圖4－5手爪力的關節驅動力

在考慮控制時，就要考慮在機器人的動作中，關節驅動力會產生怎樣的關節位置、關節速度、關節加速度，處理這種關系稱為動力學（dynamics）。對于動力學來說，除了與連桿長度有關之外，還與各連桿的質量，繞質量中心的慣性矩，連桿的質量中心與關節軸的距離有關。如圖4－6所示。圖4－6與動力學有關的各量

運動學、靜力學和動力學中各變量的關系如圖4－7所示。圖中用虛線表示的關系可通過實線關系的組合表示，這些也可作為動力學的問題來處理。圖4－7運動學、靜力學、動力學的關系

第三節機器人動力學方程式

一、機器人的動能與位能1．動能

為了導出多關節機器人的運動方程式，首先要了解機器人的動能和位能。先看圖4－8所表示的第個連桿的運動能量。圖4－8第個連桿的旋轉速度和重心的平移速度

剛體的運動能量，是由該剛體的平移構成的運動能量，與該剛體的旋轉而構成的運動能量之和表示的。因此，圖4－8中表示的連桿的運動能量，可以用下式表示：（4－19）

式中，為連桿的運動能量，為質量，為在基準坐標系上表示的重心的平移速度向量，為在基準坐標系上表示的連桿的轉動慣量，為在基準坐標系上表示的轉動速度向量。因為機器人的全部運動能量，由各連桿的運動能量的總和表示，所以得到（4－20）式中，為機器人的關節總數。其次我們來考慮把作為機器人各關節速度的函數。這里與分別表示如下：（4－21）（4－22）式中，是與第個連桿重心位置的平移速度相關的雅可比矩陣，是與第個連桿轉動速度相關的雅可比矩陣。為了區別于與指尖速度相關的雅可比矩陣，在上面標明了注角（）。

（4－23）（4-24）

在式（4－23）和式（4－24）中，包含著0分量，這是因為第個連桿的運動與其以后的關節運動是無關的。

現在將式（4－21）和式（4－22）代進式（4－19）和式（4－20），機器人的運動能量公式可以寫成（4－25）令（4－26）則機器人的運動能量公式（4－25）寫為（4－27）這里表示的稱為機器人的慣性矩陣。

2．勢能機器人的勢置能量和運動能量一樣，也是由各連桿的位置能量的總和給出，因此可用下式表示：（4－28）式中，表示重力加速度，它是一個在基準坐標系上表示的三維向量。表示從基準坐標系原點，到個連桿的重心位置的位置向量。

二、機器人動力學方程的建立舉例

1．牛頓─歐拉方程式首先，以單一剛體為例，如圖4－9所示，其運動方程式可用下式表示

（4－29）

（4－30）

圖4－9單一剛體

式（4－29）和式（4－30）分別被稱為牛頓運動方程式及歐拉運動方程式。式中，是剛體的質量；是繞重心的慣性矩陣，的各元素表示對應的力矩元素和角加速度元素間的慣性矩；是作用于重心的平動力；是慣性矩；是重心的平移速度；是角速度。下面求解一下圖4－10所示的1自由度機械手的運動方程式，在這里，由于關節軸制約連桿的運動，所以可以將式（4－30）的運動方程式看作是繞固定軸的運動。圖4－101自由度機械手假設繞關節軸的慣性矩為，取垂直紙面的方向為軸，則得到（4－31）（4－32）式中，是重力常數；是在第3行第3列上具有繞關節軸慣性矩的慣性矩陣。把這些公式代入式（4－30），提取只有分量的回轉，則得到（4－33）該式為1自由度機械手的歐拉運動方程式，其中：（4－34）

對于一般形狀的連桿，在式（4－31）中，由于除第3分量以外其他分量皆不為0，所以的第1、2分量成了改變軸方向的力矩，但在固定軸的場合，與這個力矩平衡的約束力生成式（4－32）的第1、2分量，不產生運動。

2．拉格朗日方程式

拉格朗日運動方程式一般表示為（4－35）式中，是廣義坐標，是廣義力。拉格朗日運動方程式也可以表示為（4－36）這里，是拉格朗日算子，是動能，是勢能。

現在再以前面推導的1自由度機械手為例，利用拉格朗日運動方程式來具體求解，假設為廣義坐標，則得到

由于所以用置換式（4－35）中的廣義坐標后，可得到下式（4－37）該式與前面推導的結果完全一致。

下面推導2自由度機械手的運動方程式，如圖4－11所示。在推導時，把，當作廣義坐標，，當作廣義力，求拉格朗日算子，代入式（4－35）的拉格朗日運動方程式即可。（4-38）（4－39）圖4－112自由度機械手

（4－40）

（4－41）

式中，是第個連桿質量中心的位置向量。（4－42）（4－43）（4－44）（4－45）根據理論力學的知識，各連桿的動能可用質量中心平移運動的動能和繞質量中心回轉運動的動能之和來表示。

由式（4－42）～（4－45），得到式（4－38），（4－40）中的質量中心速度和為

（4－46）（4－47）利用式（4－38）～（4－41）和式（4－46）、（4－47），通過下式（4－48）可求出拉格朗日算子，把它代入式（4－35）的拉格朗日