第二章2.2.1一、選擇題(每小題5分，共20分)1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明過程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”應用了()A．分析法 B．綜合法C．綜合法與分析法結合使用 D．演繹法解析：這是由已知條件入手利用有關的公式證得等式，應用了綜合法，故選B.答案：B2．要證明eq\r(3)＋eq\r(5)<4可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的為()A．綜合法 B．分析法C．比較法 D．歸納法解析：要證明eq\r(3)＋eq\r(5)<4，只需證明(eq\r(3)＋eq\r(5))2<16，即8＋2eq\r(15)<16，即證明eq\r(15)<4，亦即只需證明15<16，而15<16顯然成立，故原不等式成立．因此利用分析法證明較為合理，故選B.答案：B3．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，B＝60°，b2＝ac，則△ABC的形狀是()A．非等邊三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．直角三角形解析：由條件知b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos60°＝ac，即a2－2ac＋c2所以(a－c)2＝0，所以a＝c.又因為B＝60°，所以△ABC為等邊三角形．答案：B4．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，q＝2－x2＋4x－2(x>0)，則()A．p>q B．p<qC．p≥q D．p≤q解析：p＝a＋eq\f(1,a－2)＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2≥eq\a\vs4\al(2\r(a－2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－2)))))＋2＝＝2－x2＋4x－2＝2－(x－2)2＋2≤4.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．在非等邊三角形中，要想得到A為鈍角的結論，則三邊a，b，c應滿足的條件是________．解析：由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，要使A為鈍角，需有cosA<0，亦即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，從而得b2＋c2<a2.答案：b2＋c2<a26．使不等式eq\r(3)＋2eq\r(2)>1＋eq\r(p)成立的正整數p的最大值是_____________________________________________________________________________________________．解析：由eq\r(3)＋2eq\r(2)>1＋eq\r(p)，得eq\r(p)<eq\r(3)＋2eq\r(2)－1，即p<(eq\r(3)＋2eq\r(2)－1)2，所以p<12＋4eq\r(6)－4eq\r(2)－2eq\r(3)，由于12＋4eq\r(6)－4eq\r(2)－2eq\r(3)≈，因此使不等式成立的正整數p的最大值是12.答案：12三、解答題(每小題10分，共20分)7．(2023·新泰一中高二期中測試)設a，b，c為不全相等的正數，且abc＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).證明：∵a>0，b>0，c>0，且abc＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝bc＋ca＋ab.又bc＋ca≥2eq\r(abc2)＝2eq\r(c)，同理bc＋ab≥2eq\r(b)，ca＋ab≥2eq\r(a)，∵a，b，c不全相等，∴上述三個不等式中的“＝”不能同時成立．∴2(bc＋ca＋ab)>2(eq\r(c)＋eq\r(a)＋eq\r(b))，即bc＋ca＋ab>eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).8．設向量a＝(4cosα，sinα)，向量b＝(sinβ，4cosβ)，若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.證明：∵a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，欲證a∥b，只需證4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，即證16cosαcosβ＝sinαsinβ.∵tanαtanβ＝16，∴16cosαcosβ＝sinαsinβ成立．∴a∥b.9.(10分)已知a，b，c是不全相等的正數，且0<x<1.求證：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc.證明：要證明logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc，只需要證明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))<logx(abc)，由已知0<x<1，只需證明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc，由公式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)>0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)>0.又∵a，b，c是不全相等的正數，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(c＋a,2)>eq\r(a2b2