第三章

靜態分析指標

第三節平均指標

2.特點-數量抽象性-集中趨勢代表性1.概念

平均指標是指在同質總體內將各單位某一數量標志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。

一、平均指標的意義和作用

-比較作用

a.利用平均指標可以進行同類現象在不同空間的對比。b.利用平均指標可以進行同一總體在不同時間上的比較。

-利用平均指標可以分析現象之間的依存關系-利用平均指標還可以進行數量上的推算，還可以作為論斷事物的一種數量標準或參考3.作用

4.種類

算術平均數

數值平均數 調和平均數幾何平均數 眾數

位置平均數

中位數1.算術平均數的基本公式二、算術平均數

式中：——算術平均數X——各單位的標志值n——總體單位數——總和符號2.簡單算術平均數式中：——算術平均數X——各組數值f——各組數值出現的次數(即權數)3.加權算術平均數設某廠職工按日產量分組后所得組距數列如下，據此求平均日產量。按日產量分組(千克)組中值X(千克)工人數f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合計-16413550例在掌握比重權數的情況下，可以直接利用權數系數來求加權算術平均數，其公式為：按日產量分組(千克)組中值X(千克)工人數f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合計-1641.0082.7加權算術平均數受兩因數的影響：

變量值大小的影響。次數多少的影響。次數大的標志值對影響大；

反之，影響小。而簡單算術平均數只反映變量值大小這一因素的影響。加權算術平均數與簡單算術平均數不同在于：①

各個變量值與算術平均數離差之和等于零4.算術平均數的數學性質②各個變量值與算術平均數離差平方之和

等于最小值△算術平均數的特點算術平均數適合用代數方法運算，因此運用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變小；受極大值的影響大于受極小值的影響；當組距數列為開口組時，由于組中點不易確定，使的代表性也不很可靠。調和平均數是各個變量值倒數的算術平均數的倒數。三、調和平均數(又稱“倒數平均數”)

其計算方法如下：在社會經濟統計學中經常用到的僅是一種特定權數的加權調和平均數。即有以下數學關系式成立：m是一種特定權數，它不是各組變量值出現的次數，而是各組標志值總量。已知某商品在三個集市貿易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價格(元)(即銷售量)

甲1.003000030000乙1.503000020000丙1.403500025000合計-95000750001.由平均數計算平均數時調和平均數法的應用：例某公司有四個工廠，已知其計劃完成程度(%)及實際產值資料如下：工廠計劃完成程度(%)X實際產值(萬元)m=Xf實際產值÷計劃完成程度(%)(即計劃產值)(萬元)

甲9090100乙100200200丙110330300丁120480400合計-1,1001,0002.由相對數計算平均數時調和平均數法的應用：例△調和平均數的特點如果數列中有一標志值等于零，則無法計算；它作為一種數值平均數，受所有標志值的影響；但較之算術平均數，受極端值的影響要小，適用范圍較小。1.簡單幾何平均數四、幾何平均數(又稱“對數平均數”)2.加權幾何平均數投資銀行某筆投資的年利率是按復利計算的，25年的年利率分配是：有1年為3%，有4年為5%，有8年為8%，有10年為10%，有2年為15%，求平均年利率。本利率(%)X年數f本利率的對數lgXf·lgX10312.01282.012810542.02128.084810882.033416.2672110102.041420.414011522.06074.1214合計25-50.9002例這就是說，25年的平均本利率為108.6%，年平均利率即為8.6%。△幾何平均數的特點如果數列中有一個標志值等于零或負值，就無法計算；受極端值的影響較和小；它適用于反映特定現象的平均水平，即現象的總標志值是各單位標志值的連乘積。由定義可看出眾數存在的條件：1.概念：在總體中出現次數最多的那個標志值就是眾數。五、眾數M0M0M0M0M0M0若有兩個次數相等的眾數，則稱復眾數。①只有總體單位數比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數。下三圖無眾數：②在單位數很少，或單位數雖多但無明顯集中趨勢時，

計算眾數是沒有意義的。①根據單項數列確定眾數；價格(元)銷售數量(千克)2.00202.40603.001404.0080合計300某種商品的價格情況眾數M0=3.00(元)例2.眾數的計算方法②根據組距數列確定眾數⑵

利用比例插值法推算眾數的近似值。⑴

由最多次數來確定眾數所在組；按日產量分組(千克)工人人數(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即眾數所在組。例計算眾數的近似值：計算GEFDCABfXf3f2f1dXLXUM0Δ1Δ2眾數的兩個計算公式可以從幾何圖形得到證明：△眾數的特點

眾數是一個位置平均數，它只考慮總體分布中最頻繁出現的變量值，而不受各單位標志值的影響，從而增強了對變量數列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數列的影響。

眾數是一個不容易確定的平均指標，當分布數列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數可言；當變量數列是不等距分組時，眾數的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數2.中位數的計算方法1.概念：將總體中各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值就是中位數。六、中位數Me⑴n為奇數時，則居于中間位置的那個標志值就是中位數。例⑵n為偶數時，則中間位置的兩個標志值的算術平均數為中位數。②由單項數列確定中位數某企業按日產零件分組如下：按日產零件分組（件）工人數（人）較小制累計較大制累計26338031101377321427673427545336187226418808合計80--例③由組距數列確定中位數按日產量分組(千克)工人數(人)較小制累計較大制累計50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合計164--①中位數也是一種位置平均數，它也不受極端值及開口組的影響，具有穩健性。②各單位標志值與中位數離差的絕對值之和是個最小值。③對某些不具有數學特點或不能用數字測定的現象，可以用中位數求其一般水平。3.中位數的特點①標志變動度是評價平均數代表性的依據。第四節標志變動度2.作用：1.概念：標志變動度是指總體中各單位標志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。一、標志變動度的意義、作用和種類

甲、乙兩學生某次考試成績列表語文數學物理化學政治英語甲959065707585乙1107095508075甲、乙兩學生的平均成績為80分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數的程度卻不一樣。乙組數據的離散程度大，數據分布越分散，平均數的代表性就越差；甲組數據的離散程度小，數據分布越集中，平均數的代表性越大。例②標志變動度可用來反映社會生產和其他社會經濟活動過程的均衡性或協調性，以及產品質量的穩定程度。

供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執行結果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例3.種類即測定標志變動度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、標準差、離散系數等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.標準差 S.D.(σ)離散系數 Vσ①優點：計算方便，易于理解。②缺點：全距只考慮數列兩端數值差異，它是測定標志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標志的變異程度。1.全距是總體各單位標志值最大值和最小值之差,2.全距的特點二、全距R①根據未分組資料求Q.D.2.計算：1.概念：將總體各單位的標志值按大小順序排列，然后將數列分為四等分，形成三個分割點(Q1、Q2、Q3)，這三個分割點稱為四分位數，(其中第二個四分位數Q2就是數列的中位數Me)。

四分位差Q.D.=Q3-Q1三、四分位差Q.D.例②根據分組資料求Q.D.

2)若單項數列，則Q1與Q3所在組的標志值就是Q1與Q3的數值；

若組距數列，確定了Q1與Q3所在組后，還要用以下公式求近似值：根據某車間工人日產零件分組資料，求Q.D.按日產零件分組(件)工人數(人)累計工人數(人)(較小制)5-10121210-15465815-20369420-256100合計100-這表明有一半工人的日產量分布在11.41件至17.36件之間，且相差5.95件。例①四分位差不受兩端各25%數值的影響，能對開口組數列的差異程度進行測定；②用四分位差可以衡量中位數的代表性高低；③四分位差不反映所有標志值的差異程度，它所描述的只是次數分配中一半的離差，所以也是一個比較粗略的指標。3.四分位差的特點平均差是數列中各單位標志值與平均數之間絕對離差的平均數。1.概念和計算：四、平均差A.D.以某車間100個工人按日產量編成變量數列的資料：工人按日產量分組(千克)工人數(人)f組中值XXf20-30525125-178530-4035351225-724540-5045452025313550-60155582513195合計100-4200-660例①平均差是根據全部標志值與平均數離差而計算出來的變異指標，能全面反映標志值的差異程度；②平均差計算有絕對值符號，不適合代數方法的演算使其應用受到限制。2.平均差的特點標準差是離差平方平均數的平方根，故又稱“均方差”。其意義與平均差基本相同。1.概念和計算：五、標準差S.D.(σ)計算σ的一般步驟：①算出每個變量值對平均數的離差；②將每個離差平方；③計算這些平方數值的算術平均數；④把得到的數值開平方，即得到σ。

工人按日產量分組(千克)工人數(人)f組中值X50-601055-27.627628.64460-701965-17.625898.823670-805075-7.622903.918480-9036852.38203.918490-100279512.384138.1388100-1101410522.387012.1016110以上811532.388387.7152合計164--36172.5616例

在組距數列中，結合算術平均數的簡捷公式，可得標準差的簡捷法公式如下：工人按日產量分組(千克)工人數(人)f組中值X50-601055-3-3099060-701965-2-3847670-8050