計算機控制系統第6章

復雜數字控制算法

6.3純滯后系統的數字控制算法在工業過程（如熱工、化工）控制中，由于物料或能量的傳輸延遲，使得被控對象具有純滯后性質，對象的這種純滯后性質對控制性能極為不利。早在20世紀50年代，國外就對工業生產過程中的純滯后對象進行了深入的研究。6.3.1施密斯(Smith)預估控制施密斯預估控制原理——連續系統圖6-10所示的單回路控制系統中，D(s)表示調節器的傳遞函數，表示被控對象的傳遞函數，G(s)為被控對象中不包含純滯后部分的傳遞函數，為被控對象純滯后部分。圖6-10帶純滯后環節的控制系統閉環傳遞函數：

閉環傳遞函數的分母中包含有純滯后環節，它降低了系統的穩定性。當純滯后時間τ較大時，系統將不穩定，這就是大純滯后過程難以控制的本質。(6-19)

施密斯預估控制原理：引入一個補償環節與對象并聯，補償被控對象中的純滯后部分，該環節稱為預估器，其傳遞函數為。補償后系統框圖如圖6-11a所示（可轉換成圖6-11b的等效形式）。

圖6-11帶施密斯預估器的控制系統由施密斯預估控制器和調節器組成的補償回路稱為純滯后補償器，其傳遞函數為D'(s)，即(6-20)

根據圖6-11可知，補償后的系統閉環傳遞函數：

(6-21)

為對比，給出補償前的系統閉環傳遞函數：這說明，補償環節消除了純滯后對控制系統的影響，補償后的位于D(s)和G(s)的閉環控制回路外，不影響其穩定性，僅將控制作用向后推移了一段時間

（圖6-12a）。等效于圖6-12b，帶純滯后補償的控制系統相當于控制器D(s)和被控對象構成的系統的反饋回路上引入一個傳遞函數為的超前環節。即檢測信號通過超前環節進入控制器，從而消除了純滯后影響。形式上，純滯后補償可視為對輸出狀態的預估作用，故稱為施密斯預估器。6-12施密斯預估控制系統等效框圖具有純滯后補償的數字控制器帶純滯后補償的數字控制器由兩個部分組成：數字控制器（

如PID），施密斯預估器（圖6-13）。圖6-13具有純滯后補償的控制系統滯后補償控制算法1)

計算反饋回路的偏差e1(k)：

2)

計算純滯后補償器的輸出yτ(k)

。相應的差分方程為(6-24)

3)

計算圖6-13中的偏差e2(k)：

4)

計算控制器的輸出u(k)=Z-1[D(z)E2(z)]。(6-26)

(6-27)

當控制器采用PID控制算法時，有：

式中：K——被控對象的放大系數；

T0——被控對象的時間常數；

τ——純滯后時間。

(6-23)

一階慣性環節的滯后補償數字控制施密斯預估器的傳遞函數為 一階慣性環節的滯后補償控制算法1)

計算反饋回路的偏差e1(k)：

2)

計算純滯后補償器的輸出yτ(k)

。步驟相應的差分方程為(6-24)

圖6-14施密斯預估器方框圖

施密斯預估器的數字實現：數字施密斯預估器的輸出可按圖6-14來實現。具體方法如下：

A、PID控制器的輸出u(k)作為預估器的輸入，圖中的滯后環節由緩存來實現，在內存中設置N個單元存放信號m(k)的歷史數據。（取整）

τ——純滯后時間；

T——采樣周期。B、每個采樣（控制）周期，把緩存中的數據逐位前移一格，第N-1個單元移入第N個單元，第N-2個單元移入第N-1個單元，以此類推，直到把第1個單元移入第2個單元，然后將m(k)存入第1個單元。從單元N輸出的信號是滯后N個周期的信號m(k-N)。C、施密斯補償器的輸出=m(k)-m(k-N)。6.3.2達林算法設被控對象G(s)為帶有純滯后的一階或二階慣性環節：

或達林算法的設計目標：設計控制器使系統期望的閉環傳遞函數等價于純滯后環節和一階慣性環節的串聯。計算機控制系統如圖6-1所示，考慮帶有零階保持器的廣義對象Φ(s)

，其所對應的期望閉環脈沖傳遞函數

則

圖6-1計算機控制系統框圖(6-31)

(6-32)

1）被控對象為帶純滯后的一階慣性環節時大林算法：求脈沖傳遞函數為：

將式(6-33)代入式(6-32)得到大林算法的數字控制器

(6-33)

(6-34)

2)

被控對象為帶純滯后的二階慣性環節時的大林算法：求其脈沖傳遞函數為

其中

將式(6-35)代入式(6-32)得大林算法的數字控制器

(6-35)

(6-36)

(6-37)

2、振鈴現象及其消除 所謂振鈴（Ringing）現象，是指數字控制器的輸出u(k)以1/2采樣頻率（2T采樣周期）大幅度上下擺動。振鈴現象對系統的輸出幾乎無影響，但會增加執行機構的磨損，并影響多參數系統的穩定性。例：被控對象傳遞函數為：

采樣周期T為1s，則廣義對象的脈沖傳遞函數為

按達林算法選取Φ(z)，純滯后時間為2s，時間常數選為2s。則：誤差(綠)與控制(藍)輸出給定(藍)與系統響應(綠)（1）振鈴現象的分析系統的輸出Y(z)和數字控制器的輸出U(z)間有下列關系： Y(z)=U(z)G(z)系統的輸出Y(z)和輸入函數的R(z)之間有下列關系： Y(z)=Ф(z)R(z)則數字控制器的輸出U(z)與輸入函數的R(z)之間的關系：其中，表達了數字控制器的輸出與輸入函數在閉環時的關系，是分析振鈴現象的基礎。 對于單位階躍輸入信號含有極點z=1。 如果φu(z)的極點在負實軸上，且與z=-1接近，則數字控制器的輸出序列u(k)中將含有這兩個極點造成的瞬態項，且瞬態項的符號在不同時刻不相同，可能疊加也可能抵消（當兩瞬態項符號相同時，數字控制器的輸出控制作用加強；符號相反時，控制作用減弱），從而造成數字控制器的輸出序列大幅度波動。

φu(z)極點距離z=-1越近，振鈴現象越嚴重。假設φu(z)含有1/(z-a)因子（a<0），即φu(z)有z=a極點。則輸出序列u(k)必有分量：

因為a<0，當k-1為奇數時，u(k)為負，使控制作用減弱；當k-1為偶數時，u(k)為正，使控制作用加強。這就是輸出的控制量兩倍采樣周期振蕩的原因。也說明振零現象產生的原因是φu(z)有負實軸上接近z=-1的極點。

①帶純滯后的一階慣性環節 被控對象為帶純滯后的一階慣性環節時 求得極點 顯然是大于零的。故在帶純滯后的一階慣性環節組成的系統中，數字控制器輸出對輸入的脈沖傳遞函數不存在負實軸上的極點，這種系統不存在振鈴現象。 ②帶純滯后的二階慣性環節 被控制對象為帶純滯后的二階慣性環節時， 有兩個極點，第一個極點在 不會引起振鈴現象。 第二個極點在 在T→0時，有 說明會出現左半平面與z=-1相近的極點，這一極點將引起振鈴現象。(2)振鈴幅度RA

振鈴幅度RA用來衡量振鈴強烈的程度。常用單位階躍作用下數字控制器第0次輸出量與第一次輸出量的差值來衡量振鈴現象強烈的程度。 數字控制器D(z)可以寫成： 控制器輸出幅值取決于Q(z)。單位階躍輸入下Q(z)輸出

因此

對于帶純滯后的二階慣性環節組成的系統，其振鈴幅度

例：若數字控制器為D(z)=1/(1+z-1)，

求振鈴幅度RA。 解：

則：RA=1-0=1(2)振鈴現象的消除

方法1：找出D(z)中引起振鈴的因子(z=-1附近的極點)，令其中的z=1。根據終值定理，這樣處理不影響輸出量的穩態值但瞬態特性會變化，數字控制器的動態性能也會影響。

例如上例中， 顯然z=-0.718是一個接近z=-1的極點，它是引起振鈴現象的主要原因。在因子(1+0.718z-1)中令z=1，得到新的D(z)為：

因此

誤差(黑)與控制(藍)輸出給定(藍)與系統響應(黑)

方法2：從保證閉環系統的特性出發，選擇合適的采樣周期T及系統閉環時間常數Tτ，使系統振鈴幅度抑制在最低限度內，數字控制器的輸出避免產生強烈的振鈴現象。上例1中極點z=-0.718來源與系統廣義脈沖傳遞函數G(z)的零點,適當選擇采樣周期T及系統閉環時間常數Tτ能改變系統振鈴幅度。3.

大林算法的設計步驟用直接設計法設計具有純滯后系統的數字控制器，主要考慮的性能指標是控制系統無超調或超調很小，為保證系統穩定，允許有較長的調節時間。設計中應注意的問題是振鈴現象。

考慮振鈴現象影響時設