最新考綱解讀1．掌握直線與圓的位置關系，會求圓的切線方程，公共弦方程及有關直線與圓的問題．2．滲透數形結合的數學思想方法，充分利用圓的幾何性質優化解題過程．高考考查命題趨勢1．有關圓的題目多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大，有時也將圓的方程作為解答題考查．2．在2009年高考中有5套試題對這一知識點進行了考查都是中檔題．如2009天津，14；福建，19等．估計2011年仍以選擇題、填空題形式對這一知識進行考查.二、兩圓的位置關系1．設兩圓半徑分別為R，r(R>r)，圓心距為d.若兩圓相外離，則

，公切線條數為

；若兩圓相外切，則

，公切線條數為

；若兩圓相交，則

，公切線條數為

；若兩圓內切，則

，公切線條數為

；若兩圓內含，則

，公切線條數為

.2．設兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，若兩圓相交，則公共弦所在的直線方程是(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.d>R＋r4d＝R＋r3R－r<d<R＋r2d＝R－r1d<R－r0三、相切問題的解法(1)利用圓心到切線的距離等于半徑列方程求解．(2)利用圓心、切點連線的斜率與切線的斜率的乘積為－1.(3)利用直線與圓的方程聯立的方程組的解只有一個，即Δ＝0來求解．特殊地：(1)已知切點P(x0，y0)，圓x2＋y2＝r2的切線方程為：x0x＋y0y＝r2.(2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切線方程為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.四、圓系方程(1)以點C(x0，y0)為圓心的圓系方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r>0)．(2)過圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和直線l：ax＋by＋c＝0的交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0.(3)過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(不表示圓C2).1.把握直線與圓的位置關系的三種常見題型：①相切——求切線；②相交——求距離、求弦長；③相離——求圓上動點到直線距離的最大(小)值．2．解決直線與圓的位置關系問題用到的思想方法有：①數形結合，善于觀察圖形，充分運用平面幾何知識，尋找解題途徑．②等價轉化，如把切線長的最值問題轉化為圓外的點到圓心的距離問題，把公切線的條數問題轉化為兩圓的位置關系問題，把弦長問題轉化為弦心距問題等．③待定系數法，還要合理運用“設而不求”，簡化運算過程．3．①圓與圓的位置關系轉化為圓心距與兩圓半徑之和或半徑之差的關系．②公共弦滿足的條件是：連心線垂直平分公共弦.一、選擇題1．(2009年重慶理，1)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關系為 ()A．相切B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離[解析]

圓心(0,0)到直線y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距離

[答案]

B2．(山東省臨沂市期中考試)已知圓2x2＋2y2＝1與直線xsinθ＋y－1＝0(θ≠＋kπ，k∈Z)的位置關系是()A．相離 B．相切C．相交 D．不能確定[解析]

圓心到直線的距離為

直線與圓相離．

[答案]

A3．(江西高考)“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的 ()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件[解析]

直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，則＝解之得a－b＝0或a－b＋4＝0，因此“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2”相切的充分不必要條件．[答案]

A4．(全國高考)已知直線l過點(－2,0)，當直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是()[解析]

將x2＋y2＝2x化為(x－1)2＋y2＝1，∴該圓的圓心為(1,0)，半徑r＝1.設直線的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.設圓心到直線l的距離為d，∵直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個交點，[答案]

C二、填空題5．直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－2＝0相切，則實數m等于________．例1(北京海淀)設m>0，則直線(x＋y)＋1＋m＝0與圓x2＋y2＝m的位置關系為 ()A．相切 B．相交C．相切或相離 D．相交或相切[答案]

C判斷直線與圓的位置關系的方法有兩種：代數法即Δ法，幾何法即d—r法．相對這兩種方法而言幾何法更簡便．思考探究1已知M(x0，y0)是圓x2＋y2＝r2(r>0)內異于圓心的一點，則直線x0x＋y0y＝r2與此圓有何種位置關系？[解]

圓心O(0,0)到直線x0x＋y0y＝r2的距離為∵P(x0，y0)在圓內，∴則有d>r，故直線和圓相離.例2(1)求與圓x2＋y2＝5外切于點P(－1,2)，且半徑為2的圓的方程．[解]

解法1：設所求圓的圓心為C(a，b)，解之得： (舍去)．所求圓的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝20.(2)若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長，則實數a，b應滿足的關系是()A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]

公共弦所在的直線方程為2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0.∵圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長，∴圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圓心在直線2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0上，∴－2(1＋a)－2(1＋b)－a2－1＝0.即a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案]

B1．利用圓與圓位置關系的充要條件，判斷兩圓的位置關系或求圓的方程．2．本題采用待定系數法求圓心的坐標，步驟是：尋找圓心滿足的條件；列出方程組求解；(1)解法2利用向量溝通兩個圓心的位置關系，既有共線關系又有長度關系，顯得更簡捷明快，值得借鑒．思考探究2試求與圓C1：(x－1)2＋y2＝1外切，且與直線x＋y＝0相切于點Q(3，－)的圓的方程．[解]

如圖所示，設所求圓的圓心坐標C(a，b)，半徑r，由于所求圓C與直線x＋y＝0相切于點Q(3，－)，則CQ垂直于直線x＋y＝0，例3

已知圓M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上的動點，QA、QB分別切圓M于A，B兩點．(1)若點Q的坐標為(1,0)，求切線QA、QB的方程；(2)求四邊形QAMB的面積的最小值；(3)若AB＝，求直線MQ的方程．[分析](2)用一個變量表示四邊形QAMB的面積；(3)從圖形中觀察點Q滿足的條件．1．相切問題：(1)幾何法——圓心到切線的距離等于半徑．(2)代數法——切線與圓只有一個公共點，即判別式等于0.2．切線長：轉化為圓外一點到圓心的距離，利用勾股定理求之．3．弦長：轉化為圓心到弦所在直線的距離，利用勾股定理或射影定理求之．思考探究3已知圓M：(x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2＝1，以及直線l：y＝kx，下面四個命題：①對任意實數k與θ，直線l和圓M相切；②對任意實數k與θ，直線l和圓M有公共點；③對任意實數θ，必存在實數k，使得直線l與圓M相切；④對任意實數k，必存在實數θ，使得直線l與圓M相切．其中真命題的代號是________．(寫出所有真命題的代號)[答案]

②④例4已知圓C：(x－3)2＋(y＋5)2＝r2和直線l：4x－3y－2＝0.(1)若圓C上有且只有4個點到直線l的距離等于1，求半徑r的取值范圍；(2)若圓C上有且只有3個點到直線l的距離等于1，求半徑r的取值范圍；(3)若圓C上有且只有2個點到直線l的距離等于1，求半徑r的取值范圍．[分析]解法1采用轉化為直線與圓的交點個數來解決；解法2從劣弧的點到直線l的最大距離作為觀察點入手．[解]

解法1：與直線l：4x－3y－2＝0平行且距離為1的直線為l1：4x－3y＋3＝0和l2：4x－3y－7＝0，圓心C到直線l1的距離為d1＝6，圓心C到直線l2的距離為d2＝4.(1)圓C上有且只有4個點到直線l的距離等于1?r>4且r>6，∴r>6；(2)圓C上有且只有3個點到直線l的距離等于1?r>4且r＝6，∴r＝6；(3)圓C上有且只有2個點到直線l的距離等于1?r>4且r<6，∴4<r<6.解法2：設圓心C到直線l的距離為d，則d＝5.(1)圓C上有且只有4個點到直線l的距離等于1?r－d>1，∴r>6；(2)圓C上有且只有3個點到直線l的距離等于1?r－d＝1，∴r＝6；(3)圓C上有且只有2個點到直線l的距離等于1?－1<r－d<1，∴4<r<6.解決圓上到直線l的距離等于1的點的個數問題：(1)轉化為兩條直線與圓的交點個數問題，是解決這類問題特別有效的方法．(2)也可轉化為圓心到已知直線的距離與半徑的差跟已知數據1比較大?。伎继骄?(1)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．①證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；②求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程．[解]

①解法1：l的方程(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.即l恒過定點A(3,1)．[小結]①若直線的斜率不確定，則