第1章矢量分析1.標量、矢量3.通量與散度8.亥姆霍茲定理

2.矢量的運算5.環量與旋度

6.斯托克斯定理4.高斯散度定理7.方向導數與梯度1標量：只有大小、沒有方向的量；如：質量、時間、溫度、功、電荷矢量：既有大小又有方向的量；如：力、力矩、速度、加速度、電場強度。1.標量和矢量2

2.矢量的代數運算33.通量與散度44.高斯散度定理該公式表明了區域V中場A與邊界S上的場A之間的關系。矢量函數的面積分與體積分的互換。55.環量與旋度稱為矢量A的環量旋度的重要性質：任何一個矢量的旋度的散度恒等于0

6矢量函數的線積分與面積分的互換該公式表明了區域S中場A與邊界L上的場A之間的關系6.斯托克斯(Stockes)定理7

例

求矢量場

在點M(1,0,1)處的旋度以及沿

方向的環量面密度。解：矢量場A的旋度8在點M(1，0，1)處的旋度n方向的單位矢量在點M(1，0，1)處沿n方向的環量面密度9方向導數

方向導數表示函數ｕ(x,y,z)在一給定點處沿某一方向的標量函數的變化率。

M0（x,y,z）M（x+x,y+y,z+z）7.方向導數與梯度梯度10梯度的重要性質：梯度的旋度恒等于011

例:求數量場在點M(1,1,2)處沿方向的方向導數。解：l方向的方向余弦為12已知數量場在l方向的方向導數為在點M(1,1,2)處沿l方向的方向導數138.亥姆霍茲定理

亥姆霍茲定理：在有限區域內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。

矢量場可以根據散度和旋度分為：無旋場、無源場和有旋有源場。

（1）無旋場

（2）無源場

（3）有旋有源場

14正交坐標系球坐標xO?z?PR(R,,)151.某一矢量，它總滿足。2.某一矢量場F（r），若，則F（r）是無旋場；若在場中任意處divF=0，則F（r）是無散場。判斷下列說法是否正確。√3.表達式rotE=0與E=–gradψ是等效的。√√16第2章電場、磁場與麥克斯韋方程1.電場力、磁場力、洛倫茲力

4.微分形式的麥克斯韋方程3.麥克斯韋方程的導出及意義2.電磁場中的三種電流7.電磁場的能量與坡印廷矢量

5.積分形式的麥克斯韋方程6.時諧形式的麥克斯韋方程171電場力、磁場力與洛倫茲力

1.電場力庫侖定律

N(牛頓)182.磁場力

當電荷之間存在相對運動，比如兩根載流導線，會發現另外一種力，它存在于這兩線之間，是運動的電荷即電流之間的作用力，我們稱其為磁場力。

假定一個電荷q以速度在磁場中運動，則它所受到磁場力為

這表明：一個單位電流與另外一個電流的作用力可以用一個磁感應強度來描述。193.洛倫茲力

當一個電荷既受到電場力同時又受到磁場力的作用時，我們稱這樣的合力為洛倫茲力。202.電磁場中的三種電流及電流連續性原理

1.傳導電流、運流電流和位移電流自由電荷在導電媒質中作有規則運動而形成

傳導電流運流電流電荷在無阻力空間作有規則運動而形成電介質內部的分子束縛電荷作微觀位移而形成

位移電流213.麥克斯韋方程的微分形式224.積分形式的麥克斯韋方程235.時諧形式的麥克斯韋方程微分形式的時諧表示積分形式的時諧表示時諧場即激勵源按照單一頻率隨時間作正弦變化時所激發的隨時間按照正弦變化的場。246.電磁場的能量與坡印廷矢量

電磁能量符合自然界物質運動過程中能量守恒和轉化定律——坡印亭定理，坡印亭矢量是描述電磁場能量流動的物理量。稱其為坡印廷矢量

25

對于正弦電磁場，計算一個周期內的時間平均值更有實際意義，坡印廷矢量的時間平均值即平均坡印廷矢量定義為

在時諧形式下

26例.已知，并且已知

只有x方向的分量，求Ex27

例將下列用復數形式表示的場矢量變換成瞬時值，或作相反的變換。

28(3)解:化為相同的函數表示:(4)29證明：在無源的自由空間中隨時間變化的場，如滿足麥克斯韋方程組解由題30與前面計算的磁場強度的旋度相同31此外，還需驗證兩個散度方程所以，電場和磁場滿足4個麥克斯韋方程組32第3章介質中的麥克斯韋方程

1.介質特性：電偶極矩、分子極化率、極化矢量4.一般媒質中的麥克斯韋方程3.磁偶極矩、磁化強度矢量

2.介質的折射率、相對介電系數

5.介質中的三個物態方程6.場量的邊界條件

33定義：其內部存在的帶電粒子，受到原子內在力、分子內在力或分子之間的作用力不能自由運動，這樣的物質稱為電介質（簡稱介質）。電介質

1.介質特性電介質的極化

在外電場作用下，電介質中出現有序排列電偶極子以及表面上出現束縛電荷的現象。342.介質的折射率、相對介電系數

介質的折射率(refractiveindex)n定義為其中c是電磁波在真空中的速度，v則是電磁波在折射率為n的介質中的速度。反映介質特性的量——相對介電常數353.磁偶極矩、磁化強度矢量

在外磁場的作用下，物質中的原子磁矩將受到一個力矩的作用，所有原子磁矩都趨于與外磁場方向一致的排列，彼此不再抵消，結果對外產生磁效應，影響磁場分布，這種現象稱為物質的磁化。磁介質，是在外加磁場的作用下，產生磁化現象，影響外磁場分布的物質。除了真空外，其它任何物質都是可磁化的磁介質。根據物質的磁效應的不同，磁介質通常可分為：抗磁質、順磁質、鐵磁質、亞鐵磁質等。36電介質中的麥克斯韋方程的一般形式為:4.一般媒質中的麥克斯韋方程375.介質中的三個物態方程6.場量的邊界條件

38（1）的邊界條件如圖為兩種一般媒質的交界面，第一種媒質的介電常數、磁導率、電導率分別為，，；第二種媒質的分別為,,1、一般媒質界面的邊界條件媒質1媒質2如圖所示，在分界面上取一個小的柱形閉合面，其上下底面與分界面平行.39在柱形閉合面上應用高斯定律：則如圖，應用高斯定律得：此式即為的法向邊界條件，它表明：的法向分量在分界面處產生了突變當時，的法向分量變為連續（2）的邊界條件40即如圖，由電流連續性原理此式即為的法向邊界條件，它表明：的法向分量在分界面處總是連續的。（3）的邊界條件41可得說明：當分界面處電荷面密度發生變化時，其電流密度的法向分量產生突變，突變量為電荷面密度的變化率。42（4）的邊界條件如圖，電場強度的邊界條件通常用電場的切向分量來表示。可得說明：電場強度的切向分量是連續的。由麥克斯韋第二個方程：43（5）的邊界條件可得說明：當分界面處存在傳導電流時，磁場強度的切向方向將發生突變；當分界面處不存在傳導電流時，磁場強度的切向方向是連續的。與上圖類似，由安培環路定律綜上所述，五個場量的邊界條件是：44例已知半徑為r1

的導體球攜帶的正電量為q，該導體球被內半徑為

r2

的導體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質，其介電常數為1

，球殼的外半徑為r3

，球殼的外表面敷有一層介質，該層介質的外半徑為r4

，介電常數為2

，外部區域為真空，如左下圖示。試求：各區域中的電場強度；

r1r2r3r4

0

2

1解

由于結構為球對稱，場也是球對稱的，應用高斯定理求解十分方便。取球面作為高斯面，由于電場必須垂直于導體表面，因而也垂直于高斯面。45

在r<r1及r2<r<r3

區域中，因導體中不可能存靜電場，所以

在r1<r<r2

區域中，由，得

r1r2r3r4

0

2

1同理，在r3<r<r4

區域中，求得

在r>r4

區域中，求得46球形電容器內導體半徑為a，外球殼半徑為b。其間充滿介電常數為和的兩種均勻媒質。設內導體帶電荷為q，外球殼接地，求球殼間的電場和電位分布。分析：電場平行于介質分界面，由邊界條件可知，介質兩邊相等。【例】47解：令電場強度為，由高斯定律48第4章矢量位與標量位

1.矢量位與標量位的導出4.動態位（滯后位）的概念3.矢量位與標量位滿足的波動方程

2.洛倫茲規范，庫侖規范49矢量位

根據麥克斯韋第三方程任意矢量的旋度的散度恒等于零以及令

于是我們就得到了一個關于磁場的位函數，但在這里，是一個無約束的任意矢量。則有50標量位

根據麥克斯韋第二方程令

則有所以更一般地，如果是一個矢量函數，并且，則有51保證的唯一方法是令其中是一個標量位函數即這里也是無約束的任意標量位函數在非時變（靜態）情況下,上式變為522.洛倫茲規范，庫侖規范稱為洛倫茲條件或稱為洛倫茲規范.這個規定被稱為庫侖規范53分析說明，在時刻t，空間某點所觀察到的矢量位和標量位是由時刻的電流或電荷產生的，也就是說，在空間某點并不會立刻感受到波源的影響，而是要滯后一段時間，這個滯后效應是由于電磁波的速度為有限值而引起的，于是我們又可將隨時間變化的位函數和稱為動態位或滯后位。54第5章靜態場的解1.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程4.鏡像法3.對偶原理、疊加原理、唯一性定理2.靜態場的位函數方程551.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程

1、靜電場的基本方程上式表明：靜電場中的旋度為0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產生；電荷是產生電場的通量源。靜電場是一個有源無旋場，所以靜電場可用電位函數來描述，即56

2、恒定電場的基本方程載有恒定電流的導體內部及其周圍介質中產生的電場，即為恒定電場。當導體中有電流時，由于導體電阻的存在，要在導體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內部的電場也是恒定的。若閉合路徑不經過電源，則：這是恒定電場在無源區的基本方程積分形式，其微分形式為57

3、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上方程可知，恒定磁場是一個旋渦場，電流是這個旋渦場的源，電流線是閉合的。恒定電流的導體周圍或內部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個磁場不隨時間變化，是恒定磁場。假設導體中的傳導電流為I，電流密度為,則有

582.靜態場的位函數方程

靜電場的位函數滿足的方程,稱為泊松方程。

如果場中某處有ρ=0，即在無源區域，則上式變為將這種形式的方程稱為拉普拉斯方程。

1、靜電場的位函數分布593.對偶原理、疊加原理、唯一性定理

如果描述兩種物理現象的方程具有相同的數學形式，并且有相似的邊界條件或對應的邊界條件，那么它們的數學解的形式也將是相同的，這就是對偶原理。具有同樣數學形式的兩個方程稱為對偶性方程，在對偶性方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。對偶原理60疊加原理若和分別滿足拉普拉斯方程，即和

,則和的線性組合：必然也滿足拉普拉斯方程.式中a、b均為常系數。唯一性定理對于任一靜態場，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時拉普拉斯方程的解是唯一的。61鏡像法鏡像法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產生的感應電荷，這個相似的電荷稱為鏡像電荷，然后通過計算由源電荷和鏡像電荷共同產生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應電荷所產生的合成電場，這種方法稱為鏡像法。鏡像電荷與源電荷共同產生的電位函數，既能滿足給定的邊界條件，又在一定區域內滿足拉普拉斯方程。根據唯一性定理，所假設的位函數就是該區域上的唯一的電位函數。622π/α=偶數63接地導體球外的電場計算BA64即：球面電位為：

導體球外各點的電位由q,和共同產生：

q’q’’65第6章自由空間中的電磁波1.電波4.波的極化3.自由空間中的平面電磁波2.

磁波5.電磁波譜66自由空間是一個沒有電荷因而也就不存在電流的空間。這并不是說在整個空間中沒有源存在，而只是指在我們所感興趣的區域不存在源，這個區域應有=0和=0。

平面波，是三維波中最簡單的一種。這個波在空間傳播過程中，對應于任意時刻t，在其傳播空間具有相同相位的點所構成的等相位面（也稱為波陣面）為平面，于是就稱其為平面波。

671.電波

麥克斯韋方程組說明：在自由空間存在著電波，對其所作的唯一的限制是它在自由空間必須以光速傳播。此式稱為亥姆霍茲方程。2.

磁波

亥姆霍茲磁場方程683.自由空間中的平面電磁波

電場和磁場相對于傳播方向來說都是橫向波，這種波稱為橫向電磁波,簡稱為TEM波。和相互垂直的，都垂直于波的傳播方向。694.波的極化1.如果矢量的尖端在一條直線上運動，稱之為線極化波。

2.如果矢量的尖端的運動軌跡是一個圓，則稱之為圓極化波。

極化（polarization）通常是用電場矢量的尖端在空間隨時間變化的軌跡來描述的。3.橢圓極化波：電場的尖端的運動將描繪出一個橢圓。

3.1

如果用右手的拇指指向波傳播的方向，其它四指所指的方向正好與電場矢量運動的方向相同，這個波就是右旋極化波。

3.2如果用左手的拇指指向波傳播的方向，其它四指所指的方向正好與電場矢量運動的方向相同，這個波就是左旋極化波。4.無一定極化的波，如光波，通常稱為隨機極化波。

70當，并且

時，電磁波是圓極化波當時，

，電磁波為左旋橢圓極化波當時，

，電磁波是線極化波當時，

，電磁波為右旋橢圓極化波71為了對各種電磁波有個全面的了解，人們按照波長或頻率的順序把這些電磁波排列起來，這就是電磁波譜

.5.電磁波譜無線電波微波紅外線可見光紫外線X射線伽馬射線可見光:紅

|橙

|黃

|綠

|藍

|靛

|紫電磁波譜72例解：（1）波沿+Z軸方向傳播;（rad/m）試求（1）

及傳播方向；（2）E

的表達式；（3）S

的表達式；巳知自由空間中73

（2）60y-e74(1)

說明下列各式表示的均勻平面波的極化形式和傳播方向。例題傳播方向為沿

方向的線極化波。當時，

，電磁波是線極化波

75

(2)傳播方向為沿

方向的左旋圓極化波。電磁波是圓極化波.76第7章非導電介質中的電磁波1.非導電介質中的電磁波方程

4.復數折射率的相關結論3.平面電磁波在有損耗介質中的傳播2.平面電磁波在無損耗介質中的傳播5.相速度、色散、群速度771.非導電介質中的電磁波方程

與波動方程的一般形式比較可知在一般介質中，電磁波的傳播速度無界、線性、均勻和各向同性的一般媒質中的磁波方程無界、線性、均勻和各向同性的一般媒質中的電波方程782.平面電磁波在無損耗介質中的傳播波速為這里的k稱為傳播常數或波數793.平面電磁波在有損耗介質中的傳播復介電系數，式中稱為損耗角實際的介質都是有損耗的，因此，研究波在非理想介質中的傳播具有實際意義。非理想介質是有損耗介質也稱為耗散介質，在這里是指電導率,但仍然保持均勻、線性及各向同性等特性。80引入另外一個變量有耗介質的本征阻抗是一個復數，其結果使均勻平面波中電場強度矢量與磁場強度矢量之間存在相位差。傳播系數稱為復波數。令也可稱之為傳播系數81可以發現，的存在會引起場量和呈指數型衰減，因此，我們將稱為衰減常數(attenuationconstant)，單位為奈貝/米（Np/m）；而的存在則會引起場量和的相位發生變化，因此，我們將稱為相位常數，單位為弧度/米（rad/m）824.復數折射率的相關結論1.復數折射率的實部決定了波的速度，而且很容易得出折射率實部的定義為兩個速度之比，即。2.當波在介質中傳播時，復數折射率的虛部使波的幅值按指數規律衰減，虛部值越大，波的衰減就越快。835.相速度、色散、群速度相速，即正弦波的最大速度。一般情況下，速度v是恒定相位面在波中向前推進的速度，相速群速是波包絡上某一恒定相位點推進的速度。群速是指其折射率的虛部為非零值的媒質,這時波在傳播的過程中會逐漸衰減。色散介質指波的傳播速度即相速取決于介質折射率的實部,因而隨頻率而變，不同頻率的波將以不同的速率在其中傳播。耗散介質84損耗正切的取值不同將會影響到介質的性質發生變化，通常，我們有如下一些對應的分類：1、理想介質：這時2、良介質：（一般取）這時853、理想導體：，這時說明電磁波在理想導體中立刻衰減到零，說明波長為零，相速為零。這些特點表示電磁波不能進入理想導體內部。4、良導體：（一般取）這時5、半導體：可與相比擬，的表示為一般形式。867.4空氣中某一均勻平面波的波長為12cm，當該平面波進入某無損耗媒質中傳播時，其波長減小為8cm，且已知在媒質中的和的振幅分別為50V/m和0.1A/m。求該平面波的頻率和無損耗媒質的與.解：電磁波的頻率為

（Hz）而無損耗媒質的本征阻抗為

87若將電磁波的振幅衰減到時它在介質中的趨膚深度或穿透深度定義為，根據就可以測量出電磁波在開始明顯衰減之前的傳播距離。第8章導體中的電磁波當電磁波的振幅衰減到時，有即

1.穿透深度2.等離子體是除氣體、液體和固體以外的第四種物態，它是由電子、負離子、正離子和未電離的中性分子組成的混合體。88導電介質通常是作為導體來使用的，但是，當交變電流通過導體時，電流密度在導體橫截面上的分布將是不均勻的，并且隨著電流變化頻率的升高，導體上所流過的電流將越來越集中于導體的表面附近，導體內部的電流卻越來越小，這種現象稱為趨膚效應。

趨膚效應使得導體在傳輸高頻（微波）信號時效率很低，因為信號沿它傳送時衰減很大。89導電介質中的平面電磁波具有如下特點：（1）導電媒質內的平面電磁波在電場方向、磁場方向與傳播方向上的對應關系與理想電介質中的電磁波相同，仍然是平面電磁波。（2）沿著電磁波的傳播方向，例如z方向，電場和磁場的幅值隨z的增加按指數衰減。（3）磁場在相位上比對應的電場有一個滯后角隨著媒質電導率的增大而增大，最大可達90（5）從上面式子可知，導電媒質中電場能量密度和磁場能量密度是不等的。導電媒質中電磁波的相速由相位系數和角頻率共同決定，如表明：電磁波傳播的相速與頻率有關，故導電媒質是色散媒質。91低損耗媒質中的平面波具有如下性質：（1）電導率對相位常數的影響可以忽略，的表達式與理想電介質的相同。

（2）衰減常數比較小，因為電磁波幅度的衰減緩慢。（3）電場與磁場幾乎同相位，與理想介質中的情況近似。良介質中的均勻平面電磁波92良導體中電磁波具有如下特點:（1）很小的值使良導體內電磁波的傳播速度遠小于真空中的電磁波速度，并且速度與速率有關。

（2）很大的衰減常數值使得電場和磁場的幅度衰減很快。由幅度衰減因子可知，電磁波每前進一個趨膚深度的距離，場幅度就要減小63%左右；若前進的距離，場幅度大約下降到原來的1/500。由于良導體的趨膚深度只有毫米甚至微米數量級，因此當電磁波進入良導體后，將主要趨附于導體的表層上。（3）由于波阻抗的相角，表明磁場比對應電場的相位滯后約。因此，在同一場點上，電場達到最大值的1/8周期后，磁場才達到最大值。93（5）盡管良導體中的電場相對較小，但由于導體的電導率很大，所以也會產生很大的傳導電流，其傳導電流密度的復振幅為

（4）由于波阻抗很小，因此，在良導體中，磁場占有主要地位，磁場能量遠大于電場能量。表明：導體內的傳導電流也像電場和磁場一樣，幅度很快衰減，從而形成主要集中在導體表層內側一個很薄的區域內的趨膚現