11動量矩定理

質點和質點系的動量矩動量矩定理剛體繞定軸轉動的微分方程剛體對軸的轉動慣量質點系相對質心的動量矩定理剛體平面運動微分方程引言

由靜力學力系簡化理論知：平面任意力系向任一簡化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對簡化中心的主矩。由剛體平面運動理論知：剛體的平面運動可以分解為隨同基點的平動和相對基點的轉動。若將簡化中心和基點取在質心上，則動量定理(質心運動定理)描述了剛體隨同質心的運動的變化和外力系主矢的關系。它揭示了物體機械運動規律的一個側面。剛體相對質心的轉動的運動變化與外力系對質心的主矩的關系將由本章的動量矩定理給出。它揭示了物體機械運動規律的另一個側面。1質點的動量矩

質點Q的動量對于點O的矩，定義為質點對于點O的動量矩，是矢量。11.1質點和質點系的動量矩xyzqOmvlO(mv)lz(mv)r

質點動量mv在oxy平面內的投影(mv)xy對于點O的矩，定義為質點動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩，是代數量。

類似于力對點之矩和力對軸之矩的關系，質點對點O的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z的動量矩。在國際單位制中，動量矩的單位是kg·m2/s。質點的動量矩[lO(mv)]z＝lz(mv)質點系對某點O的動量矩等于各質點對同一點O的動量矩的矢量和。質點系的動量矩2質點系的動量矩LO=ΣlO(mv)質點系對某軸z的動量矩等于各質點對同一z軸的動量矩的代數和。Lz=Σlz(mv)質點系對某點O的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影，等于質點系對該軸的動量矩。[LO]z=Lz3平動剛體的動量矩剛體平移時，可將全部質量集中于質心，作為一個質點計算其動量矩。剛體的動量矩4定軸轉動剛體的動量矩令Jz＝Σmiri2

稱為剛體對z軸的轉動慣量,于是得即：繞定軸轉動剛體對其轉軸的動量矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與轉動角速度的乘積。轉動慣量1物體對軸的轉動慣量2物體對點的轉動慣量3物體對各坐標軸的轉動慣量4物體對坐標原點的轉動慣量轉動慣量由定義可知，轉動慣量不僅與質量有關，而且與質量的分布有關；在國際單位制中，轉動慣量的單位是:kg·m2。同一剛體對不同軸的轉動慣量是不同的，而它對某定軸的轉動慣量卻是常數。因此在談及轉動慣量時，必須指明它是對哪一軸的轉動慣量。

在工程上常用回轉半徑來計算剛體的轉動慣量，其定義為如果已知回轉半徑，則物體的轉動慣量為

回轉半徑的幾何意義是：假想地將物體的質量集中到一點處，并保持物體對軸的轉動慣量不變，則該點到軸的距離就等于回轉半徑的長度。對于幾何形狀相同的均質物體，其回轉半徑相同。回轉半徑(慣性半徑)轉動慣量1求幾何簡單物體的轉動慣量2求可分為幾個簡單形體的物體的轉動慣量3求復雜或非均質物體的轉動慣量用實驗方法測定同一物體對不同軸的轉動慣量一般不同。

1.均質細桿簡單形狀物體的轉動慣量z1dxxxCzdxxxOl

設均質細桿長l，質量為m，取微段dx,則

2.均質薄圓環對于中心軸的轉動慣量設細圓環的質量為m，半徑為R。則3.均質圓板對于中心軸的轉動慣量設圓板的質量為m，半徑為R。將圓板分為無數同心的薄圓環，任一圓環的質量為dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圓板轉動慣量為簡單形狀物體的轉動慣量轉動慣量的平行軸定理轉動慣量的平行軸定理：物體對某軸的轉動慣量=物體對通過其質心并與該軸平行的軸的轉動慣量+物體的質量與兩軸間距離的平方之乘積。對一組平行軸而言，物體對通過其質心的軸的轉動慣量最小。

證明：因平行軸定理y,y1z1zdxmCOz＝z1x＝x1r1ryy1x1

由質心坐標公式

由定理可知：剛體對于所有平行軸的轉動慣量，過質心軸的轉動慣量最小。當坐標原點取在質心C時,yC＝0,Smiyi＝0,又有Smi＝m,于是得平行軸定理

例

如圖所示，已知均質桿的質量為m，對z1軸的轉動慣量為J1，求桿對z2的轉動慣量J2

。解：由，得平行軸定理(1)－(2)得zz1z2abC

例

均質直角折桿尺寸如圖，其質量為3m，求其對軸O的轉動慣量。解：組合剛體的轉動慣量

例1均質圓盤可繞軸O轉動，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤對轉軸O的轉動慣量為J，半徑為r，角速度為w，重物A的質量為m，并設繩與原盤間無相對滑動，求系統對軸O的動量矩。解：LO的轉向沿逆時針方向。質點系的動量矩

例2均質圓盤質量為2m，半徑為r。細桿OA質量為m，長為l＝3r，繞軸O轉動的角速度為w、求下列三種情況下系統對軸O的動量矩：(a)圓盤與桿固結；(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w逆時針方向轉動；(c)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w順時針方向轉動。解：(a)(b)(c)11.2.1質點的動量矩定理

設質點對固定點O的動量矩為LO(mv)，作用力F對同一點的矩為MO(F)，如圖所示。11.2

動量矩定理xyzOLO(mv)mvrMO(F)F將動量矩對時間取一次導數，得11.2.1

質點的動量矩定理因為所以又因為所以xyzOLO(mv)mvrMO(F)F質點對某定點的動量矩對時間的一階導數，等于作用力對同一點的矩。

將上式投影在直角坐標軸上，并將對點的動量矩與對軸的動量矩的關系代入，得質點對某固定軸的動量矩對時間的一階導數等于質點所受的力對同一軸的矩。11.2.1

質點的動量矩定理

必須強調的是：為使動量矩定理中各物理量的正負號保持協調，動量矩和力矩的正負號規定必須完全一致。例3圖示為一單擺（數學擺），擺錘質量為m，擺線長為l，如給擺錘以初位移或初速度（統稱初擾動），它就在經過O點的鉛垂平面內擺動。求此單擺在微小擺動時的運動規律。解：以擺錘為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。在任一瞬時，擺錘的速度為v，擺的偏角為j，則式中負號表示力矩的正負號恒與角坐標j的正負號相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢。質點的動量矩定理MyxNvmg由即這就是單擺的運動微分方程。當j很小時擺作微擺動，sinj

≈j，于是上式變為此微分方程的解為其中A和a為積分常數，取決于初始條件。可見單擺的微幅擺動為簡諧運動。擺動的周期為顯然，周期只與l有關，而與初始條件無關。得

設質點系內有n個質點，作用于每個質點的力分為外力Fi(e)

和內力Fi(i)

。由質點的動量矩定理有這樣的方程共有n個，相加后得由于內力總是成對出現，因此上式右端的第二項11.2.2

質點系的動量矩定理上式左端為于是得11.2.2

質點系的動量矩定理質點系對某固定點O的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的外力對于同一點的矩的矢量和。在應用質點系的動量矩定理時，取投影式質點系對某固定軸的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的外力對于同一軸的矩的代數和。11.2.2

質點系的動量矩定理

必須強調的是：為使動量矩定理中各物理量的正負號保持協調，動量矩和力矩的正負號規定必須完全一致。1.質點動量矩守恒定律如果作用在質點上的力對某定點(或定軸)之矩恒等于零，則質點對該點(或該軸)的動量矩保持不變。11.2.3

動量矩守恒定理當外力對于某定點(或某定軸)的主矩等于零時，質點系對于該點(或該軸)的動量矩保持不變。2.質點系動量矩守恒定律例4水平桿AB長2a，可繞鉛垂軸z轉動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯結質量為m的小球C和D。起初兩小球用細線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，這系統繞z軸的角速度為w0。如某時此細線拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計各桿的質量，求這時系統的角速度w。解：以系統為研究對象，系統所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對轉軸之矩都等于零。所以系統對轉軸的動量矩守恒，即顯然，此時的角速度w＜w

0。解：取系統為研究對象例5

均質圓輪半徑為R、質量為m，圓輪對轉軸的轉動慣量為JO。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉動，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。應用動量矩定理OPWvmgFOxFOyw例6一繩跨過定滑輪，其一端吊有質量為m的重物A，另一端有一質量為m的人以速度u相對細繩向上爬。若滑輪半徑為r，質量不計，并且開始時系統靜止，求人的速度。解：以系統為研究對象，受力如圖。設重物A上升的速度為v，則人的絕對速度va的大小為由于SMO(F(e))＝0，且系統初始靜止，所以LO＝0。由上可知，人與重物A具有相同的的速度，此速度等于人相對繩的速度的一半。如果開始時，人與重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy

設剛體繞定軸z以角速度w轉動，則Lz＝

Jzw。11.3剛體繞定軸轉動的轉動微分方程xyzFN1FN2FnF1F2剛體受有主動力和軸承約束反力，如不計摩擦，則由質點系動量矩定理得或11.3剛體繞定軸轉動的轉動微分方程剛體對定軸的轉動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動力對該軸的矩的代數和。以上各式均稱為剛體繞定軸轉動的微分方程。

應用剛體定軸轉動的微分方程可以解決動力學兩類問題。例7如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉動慣量為J，帶動滑輪的皮帶拉力為F1和F2

。求滑輪的角加速度ε

。

解：由剛體定軸轉動的微分方程于是得由上式可見，只有當定滑輪勻速轉動（包括靜止）或雖非勻速轉動，但可忽略滑輪的轉動慣量時，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。F1F2ORε定軸轉動的轉動微分方程例8圖示物理擺的質量為m，C為其質心，擺對轉軸的轉動慣量為JO。求微小擺動的周期。

解：設j角以逆時針方向為正。當j角為正時，重力對O點之矩為負。由剛體定軸轉動的微分方程，有當微擺動時，有sinj

≈j

，故方程寫為此方程通解為j

0為角振幅，ε

為初相位。它們均由初始條件確定。擺動周期為mg這就表明，如已知某物體的質量和質心位置，并將物體懸掛于O點作微幅擺動，測出擺動周期后即可計算出此物體對于O軸的轉動慣量。例9如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉動，其半徑分別為r1、r2，質量分別為m1、m2，轉動慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對象，受力如圖，由剛體定軸轉動的微分方程，有由運動學關系，得注意到 ，聯立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nM

如圖所示，O為固定點，C為質點系的質心，質點系對于固定點的動量矩為對于任一質點mi于是11.5質點系相對于質心的動量矩定理由于rir'irCmiyy'x'z'COxzvirir'irCmiyy'x'z'COxzvi它是質點系相對于質心的動量矩。于是得即：質點系對任一點O的動量矩等于集中于質心的系統動量mvC對于O點的動量矩再加上此系統對于質心的動量矩LC(應為矢量和)。11.5質點系相對于質心的動量矩定理

質點系對于固定點O的動量矩定理可寫成令展開上式,注意右端項中ri＝rC+ri',于是上式化為上式右端是外力對質心的主矩，于是得因為于是上式成為質點系相對于質心的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的外力對質心的主矩。11.5質點系相對于質心的動量矩定理

由剛體平面運動理論知：平面運動剛體的位置可由基點的位置與剛體繞基點的轉角確定。取質心為基點，如圖所示，則剛體的位置可由質心坐標和j角確定。剛體的運動可分解為隨同質心的平動和相對質心的轉動兩部分。取如圖的動坐標系，則剛體繞質心的動量矩為JC為剛體過質心且垂直于圖示平面軸的轉動慣量。11.6剛體的平面運動微分方程y'x'xyOCD

設作用在剛體上的外力可向質心所在平面簡化為一平面力系，由質心運動定理和相對質心的動量矩定理得上式也可寫成11.6剛體的平面運動微分方程y'x'xyOCD以上兩式稱為剛體平面運動微分方程。應用時，前一式取其投影式。即11.6剛體的平面運動微分方程

例10一均質圓柱，質量為m，半徑為r，無初速地放在傾角為q的斜面上，不計滾動阻力，求其質心的加速度。

解：以圓柱體為研究對象。圓柱體在斜面上的運動形式，取