年級初一學科數(shù)學版本江蘇科技版內容標題三角形的內角和編稿老師張俐【本講教育信息】一.教學內容：三角形的內角和二.教學目標：1.掌握三角形內角和定理及外角有關性質。2.掌握多邊形內角和的計算公式及其應用。3.三角形外角和的規(guī)律及其簡單應用。三.重、難點：1.三角形內角和與三角形外角的有關性質的應用。2.多邊形內角和的計算公式及其應用。3.三角形外角和的特點及其應用。四.知識要點1.三角形的內角：（1）三角形的三個內角的和等于180°。（2）推論：直角三角形的兩個銳角互余。2.三角形的外角：（1）三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角。圖中的∠CBD稱為△ABC的一個外角注意：“外角”是三角形的外角，不是它相鄰內角的外角。對三角形的外角,稱某個角是某個三角形的外角,而不稱三角形某個角的外角（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。三角形的外角和等于360°。3.多邊形的外角：（1）多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和。（2）任意多邊形的外角和等于360°。4.多邊形的內角：n邊形的內角和等于（n－2）·180°【典型例題】例1.（1）已知四邊形4個內角的度數(shù)比是1︰2︰3︰4，那么這個四邊形中最大角的度數(shù)是。（2）一個五邊形的三個內角是直角，另兩個內角都是n°，則n＝。（3）六角螺母的面是六邊形，它的內角都相等，則這個六邊形的每個內角是多少？（4）在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補，那么∠B與∠D有什么關系呢？為什么？分析：本題考察的是多邊形內角和為（n－2）·180°解：（1）四邊形的內角和為360°，所以四邊形中最大角為（2）五邊形的內角和為540°，所以，解得：，即（3）六邊形的內角和為720°，所以其每個內角都＝（4）四邊形的內角和為360°，因為∠A與∠C互補，所以∠A＋∠C＝180°，所以∠B＋∠D＝360°－180°＝180°，即∠B與∠D互補。例2.如圖，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝65°，求∠BAC的度數(shù)。CC分析：由∠BAC＝∠2＋∠CAD知：我們只要分別求出∠2和∠CAD的度數(shù)即可。解：∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90°∵∠1＝∠2∴∠2＝（180°－90°）÷2＝45°又∵∠C＝65°∴∠CAD＝180°－90°－65°＝25°∴∠BAC＝∠2＋∠CAD＝45°＋25°＝70°說明：在三角形中，知道其中的兩個角就能求出第三個角：三角形內角和為180°。例3.△ABC中，如圖，∠B＝∠C＝30°,AD⊥AC于Ａ，求∠BAD的度數(shù).分析：由三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和轉化一下知：內角∠BAD＝外角∠1－內角∠B。因此我們只要能求出∠1即可。解：∵△ABC是直角三角形∴∠1＋∠C＝90°，（直角三角形的兩個銳角互為余角）∠1＝90°－∠C＝90°－30°＝60°又∵∠1＝∠B＋∠BAD，（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）∴∠BAD＝∠1－∠B＝60°－30°＝30°例4.如圖，AD是∠ABC的角平分線，E是BC延長線上一點，∠EAC＝∠B。∠ADE與∠DAE相等嗎?為什么?分析：∠ADE剛好為△ABD的外角，則∠ADE＝∠B＋∠BAD，而∠DAE＝∠EAC＋∠DAC。由角平分線的性質知：結論是成立的。解：∵AD是∠ABC的角平分線∴∠BAD＝∠DAC，（角平分線的性質）又∵∠EAC＝∠B∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠EAC而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∠DAE＝∠EAC＋∠DAC。∴∠ADE＝∠DAE成立。說明：此題利用了外角和與內角和分別表示出兩個角，一般我們可以從結論入手去尋求解決方法。例5.把圖中的五邊形剪去一個角，將得到幾邊形？此時，多邊形的內角和與外角和有什么變化？答：把圖中的五邊形剪去一個角，將得到六邊形或四邊形，如圖所示若剪成六邊形，多邊形的內角和增加180°；若剪成四邊形，多邊形的內角和減少180°。外角和始終不變?yōu)?60°。說明：分類思想是數(shù)學思想中一種很重要的方法。培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S對于掌握這種方法有著重要的作用。例6.如圖五角星中：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝.解：∵∠AMN是△MCE的外角∴∠AMN＝∠C＋∠E（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）同理可得：∠ANM＝∠B＋∠D∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋（∠B＋∠D）＋（∠C＋∠E）＝∠A＋∠AMN＋∠ANM＝180°說明：轉化是重要的數(shù)學思想。本題就是運用這一思想將∠A、∠B、∠C、∠D、∠E這五個角的和轉化為一個三角形的內角和。例7.若∠C＝30°,求∠A＋∠B＋∠D＋∠E的值解：∵∠APQ是△ABP的外角∴∠APQ＝∠A＋∠B（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）同理可得：∠BQE＝∠D＋∠E而∠QPC＋∠PQC＋∠C＝180°（三角形內角和等于180°）∠QPC＋∠PQC=180°-∠APQ+180°-∠BQE=360°-（∠A＋∠B＋∠D＋∠E）∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝360°-（180°-∠C）＝360°-180°+30°＝210°說明：此題類似于上題，但形式有所不同，關鍵在于靈活掌握。例8.已知兩個多邊形的內角和為1440°，且兩個多邊形的邊數(shù)之比為1︰3，求它們的邊數(shù)分別是多少？分析：n邊形的內角和等于（n－2）·180°，所以我們可以從設出其中一個多邊形的邊數(shù)入手，這樣我們就可以得到一個一元一次方程了。解：由題意，設兩個多邊形的邊數(shù)分別為n，3n，則（n－2）·180°＋（3n－2）·180°＝1440°解得：n＝3，則3n＝9答：它們的邊數(shù)分別是3和9。說明：在題目中出現(xiàn)兩個未知量的時候，我們可以根據(jù)它們的關系把其中一個設出來，從而達到構造一元一次方程的目的。例9.一個四邊形的外角比為1：2：3：4，求對應的內角的比。分析：任意多邊形的外角和等于360°，則四邊形外角和也為360°，利用比例關系可分別求出各個外角。而根據(jù)外角的定義可知相應的內角度數(shù)。解：外角分別為：，，則對應內角分別為：180°－36°＝144°，180°－72°＝108°，180°－108°＝72°，180°－144°＝36°∴對應的內角的比為：4：3：2：1說明：因為題目要求的是對應的內角的比，所以順序不能顛倒。例10.已知多邊形的一個內角的外角與其他各內角的和為600°，求邊數(shù)及相應的外角的度數(shù)。分析：多邊形內角和應為180°的倍數(shù)，而一個三角形內角與外角的差的絕對值不會超過180°，則由600°這個度數(shù)可以分析出多邊形的邊數(shù)，再求角則水到渠成了。解：∵540°<600°<720°∴多邊形的邊數(shù)為n＝3或n＝4當n＝3時，相應的外角－相應的內角＝600°－540°＝60°而相應的外角＋相應的內角＝180°∴相應的外角＝120°當n＝4時，相應的內角－相應的外角＝720°－600°＝120°而相應的外角＋相應的內角＝180°∴相應的外角＝30°【模擬試題】（答題時間：40分鐘）1.三角形的一個外角小于和它相鄰的內角，則此三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定2.下列說法正確的是（）A.三角形的三個外角之和為360°B.三角形的一個外角大于它的任何一個內角C.三角形的外角必都大于60°D.三角形的內角中沒有大于120°的角3.一個三角形的三個外角中，鈍角的個數(shù)最少為（）A.0個B.1個C.2個D.3個4.適合的△ABC是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定5.一個n邊形的內角和等于它外角和的5倍，則邊數(shù)n等于（）A.24B.12C.8D.66.如果三角形的一個內角是其余兩個內角的和，則這個三角形是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.鈍角三角形7.一個多邊形的內角和比它的外角和的2倍還大180°，這個多邊形的邊數(shù)為（）A.7B.8C.9 D.8.一個四邊形的四個內角度數(shù)之比為1：2：3：4，則最大的內角度數(shù)是__________，最小的內角度數(shù)是__________，最大的外角度數(shù)是__________。9.如果一個多邊形的每個內角都相等，且每一個內角比它的相鄰外角大100°，那么這個多邊形是__________邊形。10.如圖BC⊥ED于點M，∠A＝27°，∠D＝20°，則∠B＝°，∠ACB＝°。11.如圖，∠ABD與∠ACE是△ABC的兩個外角，若∠A＝70°，則∠ABD＋∠ACE＝。12.如圖，是一塊四邊形鋼板缺了一個角，根據(jù)圖中所標出的測量結果，得所缺損的∠A的度數(shù)為。13.已知如圖，△ABC中，AB＞AC，AD是高，AE是角平分線，試說明。14.如果一個n邊形的內角都相等，且它的每一個外角與內角的比為2∶3，求內角和。15.求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)。16.如圖，Ｄ是△ABC的邊BC上一點，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°。求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù)。17.一個多邊形的所有內角與它的一個外角的和等于2000°，求這個外角的度數(shù)。18.若一個多邊形的對角線有14條，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A.10B.7C.14D.6

【試題答案】1.C2.A3.C4.B5.B6.B7.A8.144°、36°、144°9.九10.43°，110°11.250°12.75°13.解：14.解：設內角為2，外角為3∴內角和為15.解：∵∠NMP=∠AMF∴∠A＋∠F=180°—∠AMF=180°—∠NMP同理可得：∠B＋∠C=180°—∠MNP∠D＋∠E=180°—∠MPN∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝（∠A＋∠F）＋（∠B＋∠C）＋（∠D＋∠E）＝（180°—∠NMP）+（180°—∠MNP）