初中數(shù)學(xué)最值問題10個(gè)典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問題解決幾何最值問題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中,垂線段最短;三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三迦重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵.通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段-幾何最值問題中的基本模型舉例粘莉值圖形二rf、/:,VA f11原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征為定點(diǎn)〃為定直線,?為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求在+好的最小值/戶為定點(diǎn)「/為定直線，MN為直線/上的一條動(dòng)線段?求AtA為定點(diǎn)J為定直線,P為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求科2￡8的最大值

AM+BN的最小值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線/的對(duì)稱點(diǎn)先平移A/W或BN疑M,川重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線/的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線/的對(duì)稱點(diǎn)折值圖形1BA' C原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在中j/W/A/兩點(diǎn)分別是邊48,8C上的動(dòng)點(diǎn):將占BMN沿M/V翻折,8點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為夕連接AB1,求A8的最小值.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求力夕+87V+/VU的最小值二.騏型題型1.如圖：點(diǎn)『是上』。〃內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)攸收分別在邊08上運(yùn)動(dòng)，若上月。8:451。A3逝.則△戶MA/的周長(zhǎng)的最小值為.A【分析】作尸關(guān)于。4。&的對(duì)稱點(diǎn)UQ.連接。UQD則當(dāng)/A/是8與OA.08的交點(diǎn)時(shí)，“MA/的周長(zhǎng)最短,最短的值是。的長(zhǎng).根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解.【解答】解：作P關(guān)于OA,的對(duì)稱點(diǎn)CD,連接。UOD.則當(dāng)M,N是8與。4108的交點(diǎn)時(shí),力心小/的周長(zhǎng)最短，最短的值是。的長(zhǎng).,一％關(guān)于。4對(duì)稱.."COP=2￡AOP,OC=OP同理，aDOP^I^BOP,OP^OD/.zCOD=zCOP^zDOP=2(￡AOP“BOP)=2￡AOB=901gOD.

."COD是等腰直角三角形.則CD-6OC-V2x3V2."COD是等腰直角三角形.則CD-6OC-V2x3V2=6.【分析】因?yàn)锳Bt0V的長(zhǎng)度都是固定的，所以求出川+NB的長(zhǎng)度就行了.問題就是以十/V8什么時(shí)候最短.D【題后思考】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形,理解△皿/V周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵.2.如圖,當(dāng)四邊形%8/V的周長(zhǎng)最小時(shí)，5二VA苴68.HbL0)把夕點(diǎn)向左平移2個(gè)單位8點(diǎn)作方關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H、連接/笈「交＞軸于匕從而確定N點(diǎn)位置，此時(shí)以1+NB設(shè)直線/所的解析式為年kx+b待定系數(shù)法求直線解析式理可求得8的值.【解答】解：將A/點(diǎn)向左平移2單位與『重合，點(diǎn)8向左平移2單位到8（2?-1）,作8關(guān)于*軸的對(duì)稱點(diǎn)九根據(jù)作法知點(diǎn)麻（211）,設(shè)直線的解析式為y=kx^bf則（一3=4+61解得4=4,b=-7.7 7 7,?片4x=7.當(dāng)y=0時(shí),即廣（］,0），曰二4-故答案填：4?葉B”H公aATa+2p0）利用勾股定理求出48二5外-陽的最大值=5.【題后思考】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換，勾股定理等,熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵.4.動(dòng)手操作：在矩形紙片A88中j必8二3,4。=5.如圖所示『折疊紙片?使點(diǎn)A落在邊上的4處,折痕為PQ,當(dāng)點(diǎn)4在8U邊上移動(dòng)時(shí)』折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng),若限定點(diǎn)P.Q分別在AB、邊上移動(dòng)?則點(diǎn)并在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為 .【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端，即班,取最大或最小值時(shí)一點(diǎn)戶或Q的位置.經(jīng)實(shí)瞼不難發(fā)現(xiàn),分別求出點(diǎn)戶與B重合時(shí)，加,取最大值3和當(dāng)點(diǎn)。與。重合時(shí)，的最小值1.所以可求點(diǎn)4在8U邊上移動(dòng)的最大距離為2.【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P與8重合時(shí)，8A取最大值是3,當(dāng)點(diǎn)Q與少重合時(shí)（如圖），由勾股定理得4仁4?此時(shí)84取最小值為1.則點(diǎn)4在6。邊上移動(dòng)的最大距離為3-1=2.故答案為：24/ c【題后思考】本題考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí),難度稍大，學(xué)生主要缺乏動(dòng)手操作習(xí)慣,單憑想象造成錯(cuò)誤.5.如圖，直角梯形紙片.AD二8二A1點(diǎn)E、尸分別在線段AB、AD±l1將"斤沿）翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P.當(dāng)戶落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí),叨的最小值等于，【分析】如圖,經(jīng)分析、探究.只有當(dāng)直徑EF最大,且點(diǎn)A落在氏7上時(shí)，戶。最小；根據(jù)勾股定理求出8。的長(zhǎng)度,問題即可解決.【解答】解：如圖,,,當(dāng)點(diǎn)尸落在梯形的內(nèi)部時(shí)「二P=「，四邊形物5是以仔■為直徑的圓內(nèi)接四邊形，..只有當(dāng)直徑EF最大,且點(diǎn)/落在8。上時(shí)，也最小,此時(shí)F與點(diǎn)8重合；由題意得：PE=AE=8,由勾股定理得：8療二8,62二80rt，PD=A也一&.d c【題后思考】該命題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法,以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運(yùn)動(dòng)過程中的某一瞬間，動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng).6.如圖，矩形48。的頂點(diǎn)4〃分別在邊0MrON上，當(dāng)8在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在0M上運(yùn)動(dòng)?矩形的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)。到點(diǎn)O的最大距離為.MO' s N【分析】取的中點(diǎn)巳連接OD、OE、DEt根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE^AB利用勾股定理列式求出DE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點(diǎn)E時(shí)最大.【解答】解：如圖r取A8的中點(diǎn)心連接OD、OE、DE.,zMON=901AB^21.\OE-AE-2/￡=1；-BC=1t四邊形A88是矩形，;AD=BC=\,;.DE=Gt根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OD<OE+DE.「.當(dāng)OD過點(diǎn)5是最大，最大值為6+1故答案為：正+1,【題后思考】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出。。過48的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵.7.如圖，線段工￡的長(zhǎng)為4jU為金￡上一動(dòng)點(diǎn),分別以AC80為斜邊在的同側(cè)作等腰直角色/。和等腰直角壯BCE(那么DE長(zhǎng)的最小值是.【分析】設(shè)MG*,8G4-x,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得41 6出CD^—x,8K(4?x),根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解.【解答】解：設(shè)4G/8金4一,“ABC,也8”均為等腰直角三角形,72V2，8二W CD-(4-t),vz/lCZ?=45°fzS677=45°,— ?x)2=/-4x+8=(六2八4,;根據(jù)二次函數(shù)的最值，，當(dāng)*取2時(shí)，取最小值，最小值為：4.故答案為：2.【題后思考】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形,難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值.8.如圖，菱形480中,AB=2,』/=1201點(diǎn)P,Q,K分別為線段BCfCD(8。上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為.【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，作點(diǎn)夕關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)戶，連接,Q與80的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Kt然后根據(jù)直線勺1點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知P時(shí)必&QK的最小值,然后求解即可.【解答】解：如圖,-AB=2t44=120、，點(diǎn)?到。的距離為2xg二??/圻QK的最小值為指.【題后思考】本題考查了菱形的性質(zhì),軸對(duì)稱確定最短路線問題熟記菱形的軸對(duì)稱性和利用軸對(duì)稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵.9.如圖所示.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)『為邊國(guó)7上的任意一點(diǎn)（可與8、0重合）,分別過民U。作射線4戶的垂線，垂足分別為B、JD,則￡8+"+。。的取值范【分析】首先連接AC.DP.由正方形AS。的邊長(zhǎng)為1,11 1即可得"S&adp=25正方形/6m=2,^abp+^acp-^abc-2S的形皿。=；，繼而可得）力Q（88+衛(wèi)+。。）=1,又由1<ap<42t即可求得答案.【解答】解：連接/UDP.;四邊形48m是正方形，正方形力88的邊長(zhǎng)為1,、,,AB=C。,S ABCD-1JJ_ 1,5hdp=2§訪形閆8第二2j$小即\S-ac尸S，abU2S訪形ABC。二2，:3ARBK+3AAec交AP，DDA0(BB+CC+DD)=1,2則86+8+0。"，\A<AP<42?，當(dāng)P與8重合時(shí)?有最大值2;當(dāng)P與U重合時(shí)f有最小值6.二⑤<BB^CC+DD<2.故答案為：41<BB^CC^DD<2.【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問

題.此題難度較大,解題的關(guān)健是連接ACtDPt根據(jù)題意得

2到Sadp+S/e/￡*p=1.繼而得到BB+CC+DD-而.10.如圖J菱形48。中，￡4二60"AB^3,OA。8的半徑分別為2和1,只E尸分別是邊。工和08上的動(dòng)點(diǎn)，則戶E+）的最小值是 ^【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出戶與