PAGEPAGE8平面與平面平行的判定基礎鞏固一、選擇題1．在長方體ABCD－A′B′C′D′中，下列正確的是()A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′[答案]D2．兩個平面平行的條件是()A．一個平面內的一條直線平行于另一個平面B．一個平面內的兩條直線平行于另一個平面C．一個平面內的無數條直線平行于另一個平面D．一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面[答案]D[解析]任意一條直線平行于另一個平面，即平面內所有的直線都平行于另一個平面．3．如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，下列結論一定成立的是()A．這兩個角相等B．這兩個角互補C．這兩個角所在的兩個平面平行D．這兩個角所在的兩個平面平行或重合[答案]D[解析]這兩個角相等或互補；這兩個角所在的兩個平面平行或重合．4．如圖所示，設E，F，E1，F1分別是長方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1EA．平行 B．相交C．異面 D．不確定[答案]A[解析]∵E1和F1分別是A1B1和D1C1∴A1D1∥E1F1，又A1D1?平面BCF1E1，E1F1?平面BCF1E∴A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分別是A1B1和AB的中點，∴A1E1綊BE，∴四邊形A1EBE1是平行四邊形，∴A1E∥BE1，又A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1，又A1E?平面EFD1A1，A1D1?平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A∴平面EFD1A1∥平面BCF1E15．已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是()A．l∥β，l?α?α∥βB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β[答案]D[解析]如右圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB∥CD，則直線AB∥平面DC1，直線AB?平面AC，但是平面AC與平面DC1不平行，所以選項A錯誤；取BB1的中點E，CC1的中點F，則可證EF∥平面AC，B1C1∥平面AC．又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以選項B錯誤；直線AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC6．若平面α∥平面β，直線a∥α，點B∈β，則在平面β內過點B的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線[答案]A[解析]當直線a?β，B∈a上時滿足條件，此時過B不存在與a平行的直線，故選A．二、填空題7．如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面的位置關系是________.[答案]平行8．已知平面α和β，在平面α內任取一條直線a，在β內總存在直線b∥a，則α與β的位置關系是________(填“平行”或“相交”)．[答案]平行[解析]假若α∩β＝l，則在平面α內，與l相交的直線a，設a∩l＝A，對于β內的任意直線b，若b過點A，則a與b相交，若b不過點A，則a與b異面，即β內不存在直線b∥a.故α∥β.三、解答題9.(2015·福建廈門六中月考)如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為矩形，E，F，H分別為AB，CD，PD的中點．求證：平面AFH∥平面PCE.[證明]因為F為CD的中點，H為PD的中點，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四邊形AECF為平行四邊形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.10.如圖，F，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中點，求證：平面BDF∥平面B1D1[證明]取DD1中點E，連AE、EF.∵E、F為DD1、CC1的中點，∴EF綊CD．∴EF綊AB，∴四邊形EFBA為平行四邊形．∴AE∥BF.又∵E、H分別為D1D、A1A∴D1E綊HA，∴四邊形HAED1為平行四邊形．∴HD1∥AE，∴HD1∥BF，由正方體的性質易知B1D1∥BD，且已證BF∥D1H.∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.能力提升一、選擇題1．下列說法正確的是()A．平面α內有一條直線與平面β平行，則平面α與平面β平行B．平面α內有兩條直線與平面β平行，則平面α與平面β平行C．平面α內有無數條直線與平面β平行，則平面α與平面β平行D．平面α內所有直線都與平面β平行，則平面α與平面β平行[答案]D[解析]兩個平面平行?兩個平面沒有公共點?平面α內的所有直線與平面β沒有公共點?平面α內的所有直線都與β平行．2．經過平面α外兩點，作與α平行的平面，可以作()A．1個 B．2個C．0個或1個 D．無數個[答案]C[解析]當兩個點在平面α同側且連線平行于平面α時，可作一個平面與α平行；當兩個點在平面α異側或同側且連線與平面α不平行時，不能作出平面與α平行．3．下列結論中：(1)過不在平面內的一點，有且只有一個平面與這個平面平行；(2)過不在平面內的一條直線，有且只有一個平面與這個平面平行；(3)過不在直線上的一點，有且只有一條直線與這條直線平行；(4)過不在直線上的一點，有且僅有一個平面與這條直線平行．正確的序號為()A．(1)(2) B．(3)(4)C．(1)(3) D．(2)(4)[答案]C4．過平行六面體ABCD－A1B1C1D1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面DBB1D1A．4條 B．6條C．8條 D．12條[答案]D[解析]如右圖所示，以E為例，易證EH，EM∥平面DBB1D1.與E處于同等地位的點還有F、G、H、M、N、P、Q，故有符合題意的直線eq\f(8×2,2)＝8條．以E為例，易證QE∥平面DBB1D1，與E處于同等地位的點還有H、M、G、F、N、P，故有符合題意的直線4條．∴共有8＋4＝12(條)．二、填空題5．如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB．其中正確的有________.(填序號)[答案]①②③[解析]把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示，則EH∥AB，所以EH∥平面ABCD．同理可證EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個側面，則它們兩兩相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB．同理平面PAD∥BC．6．如下圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿足________時，有MN∥平面B1BDD1[答案]點M在FH上[解析]∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，∴平面FHN∥平面B1BDD1，又平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴當M∈FH時，MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.三、解答題7．如下圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F，G分別是BC，DC和SC的中點．求證：平面EFG∥平面BDD1B1[分析]證明平面與平面平行轉化為證明線面平行，即轉化為證明直線FG∥平面BDD1B1，EG∥平面BDD1B1.[證明]如下圖所示，連接SB，SD．∵F，G分別是DC，SC的中點，∴FG∥SD．又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，∴直線FG∥平面BDD1B1.同理可證EG∥平面BDD1B1.又∵直線EG?平面EFG，直線FG?平面EFG，直線EG∩直線FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.8．已知點S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA＝SB＝SC，SG為△SAB邊AB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG與平面DEF的位置關系，并給予證明．[分析1]觀察圖形容易看出SG∥平面DEF.要證明此結論成立，只須證明SG與平面DEF內的一條直線平行．考慮到題設條件中眾多的中點，可應用三角形中位線性質．觀察圖形可以看出：連接CG與DE相交于H，連接FH，FH就是適合題意的直線．怎樣證明SG∥FH？只需證明H是CG的中點．[證法1]連接CG交DE于點H，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB．在△ACG中，D是AC的中點，且DH∥AG，∴H是CG的中點．∴FH是△SCG的中位線，∴FH∥SG.又SG?平面DEF，FH?平面DEF，∴SG∥平面DEF.[分析2]由題設條件中，D、E、F都是棱的中點，不難得出DE∥AB，DF