第六章6.2排列與組合6.2.1排列6.2.2排列數學習目標1.理解排列、排列數的概念.2.能利用計數原理推導排列數公式，并掌握排列數公式及其變形，能運用排列數公式熟練地進行相關計算.3.能熟練地運用排列知識解決一些有關排列的實際問題.4.通過實例，體驗數學知識的形成與發展，學會分析問題、解決問題的方式，培養解決實際問題的能力.核心素養：邏輯推理、數學運算、數學建模.新知學習問題1從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有幾種不同的選法？此時，要完成的一件事是“選出2名同學參加活動，1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動”，可以分兩個步驟：第1步，確定參加上午活動的同學，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定參加下午活動的同學，當參加上午活動的同學確定后，參加下午活動的同學只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據分步乘法計數原理，不同的選法種數為3×2＝6.這6種不同的選法如圖所示.

問題1中的“順序”是什么？問題2

從1，2，3，4這4個數字中，每次取出3個排成一個三位數，共可得到多少個

不同的三位數？顯然，從4個數字中，每次取出3個，按“百位、十位、個位”的順序排成一列，就得到一個三位數.因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數.可以分三個步驟來解決這個問題：第1步，確定百位上的數字，從1，2，3，4這4個數字中任取1個，有4種方法；第2步，確定十位上的數字，當百位上的數字確定后，十位上的數字只能從余下的3個數字中去取，有3種方法；第3步，確定個位上的數字，當百位、十位上的數字確定后，個位的數字只能從余下的2個數字中去取，有2種方法.根據分步乘法計數原理，從1，2，3，4這4個不同的數字中，每次取出3個數字，按“百位、十位、個位”的順序排成一列，不同的排法種數為4×3×2＝24.因而共可得到24個不同的三位數，如圖所示.由此可寫出所有的三位數：

123，124，132，134，142，143，

213，214，231，234，241，243，

312，314，321，324，341，342，

412，413，421，423，431，432.

問題2中的“順序”是什么？思考：上述問題1，2的共同特點是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？問題1和問題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數.新知講解

提示：根據排列的定義，兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.例如，在問題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同，它們是不同的排列；“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.又如，在問題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列；123與132雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.典例剖析例1

某省中學生足球賽預選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進行多少場比賽？解：可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊.按分步乘法計數原理，每組進行的比賽場數為6×5＝30.方法技巧：1.排列問題的判斷標準：

（1）元素無重復性；

（2）元素有序性.2.判斷一個計數問題是否為排列問題的關鍵是看選出的元素有沒有順序要求.例2（1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？（2）學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種，共有多少種不同的選法？解：（1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學丙.按分步乘法計數原理，不同的取法種數為5×4×3＝60.（2）可以先讓同學甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計數原理，不同的選法種數為5×5×5＝125.新知講解

典例剖析

例4

用0~9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？

點評：對于例4這類計數問題，從不同的角度就有不同的解題方法.解法1根據百位數字不能是0的要求，按分步乘法計數原理完成從10個數中取出3個數組成沒有重復數字的三位數這件事；解法2是以0是否出現以及出現的位置為標準，按分類加法計數原理完成這件事；解法3是一種間接法，先求出從10個數中取出3個數的排列數，然后減去其中百位是0的排列數（不是三位數的個數），就得到沒有重復數字的三位數的個數.隨堂小測

87262.將4名醫生與4名護士分配到四個不同單位，每個單位分配一名醫生與一名護士，共有多少種不同的分配方案？

3.6本不同的書在書桌上擺成一排，要求甲、乙兩本書必須放在兩端，丙、丁兩本書必須相鄰，則不同的擺放方法有（）種