§1.3.2奇偶性1.函數奇偶性的定義．

定義法利用性質2.函數奇偶性的判定圖象法:畫出函數圖象①考查函數定義域是否關于原點對稱；②判斷f(-x)＝±f(x)之一是否成立；③作出結論.復習回顧一個函數為奇函數?它的圖象關于原點對稱.一個函數為偶函數?它的圖象關于y

軸對稱.3.性質:奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性;偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性.(2)在定義域的關于原點對稱的公共區間內奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶.偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇.(1)奇函數、偶函數的圖象特點(3)奇偶性與單調性的關系

【1】判斷下列函數的奇偶性練一練[分析]

利用函數奇偶性定義來判斷．

∴f(x)為奇函數．(2)f(x)定義域為R，且f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)為偶函數．(3)定義域為(－∞，＋∞)，f(－x)＝－2x＋1，∵f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，∴f(x)為非奇非偶函數．(4)定義域為{1}，∵定義域不關于原點對稱，∴f(x)為非奇非偶函數．∴f(x)為偶函數．

【2】如果奇函數f(x)在區間[3,7]上為增函數,且最小值是5,則在區間[-7,-3]上有沒有最大值？是多少？解:如圖所示函數有最大值–5.練一練-7-3-535xy7o

【4】設函數f(x)的定義域關于原點對稱,判斷下列函數的奇偶性：①F(x)=[f(x)+f(-x)]/2;②G(x)=[f(x)-f(-x)]/2.【點評】任意一個關于原點對稱的函數,總可以表示成一個奇函數與一個偶函數的和.

【3】設y=f(x)為R上的任一函數,判斷下列函數的奇偶性:(1)F(x)=f(x)+f(-x)(2)F(x)=f(x)-f(-x)練一練例1、判斷的奇偶性.解:①當x＞0時,－x＜0,f(-x)=(-x)2+(-x)-6=x2-x-6=f(x);②當x

＜0時,-x

＞0,f(-x)=(-x)2-(-x)－6=x2+x-6

=f(x)

;③當x=0時,－x=0,f(-x)=f(0)=f(x).綜上所述：

f(x)是偶函數例題講解學案p28跟蹤訓練1

例2、已知f(x)是定義在Ｒ上的奇函數,當x＞0時,f(x)=x2+x-1,求函數f(x)的表達式．引申：如果改為偶函數呢？xyo已知函數f(x)為偶函數，且當x<0時，f(x)＝x＋1，則x>0時，f(x)＝________.[解析]

x>0時，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又∵f(x)為偶函數，∴f(x)＝－x＋1.例3.定義在[-1,1]上的函數f(x)是奇函數,并且在[-1,1]上f(x)是增函數,求滿足條件f(1-a)+f(1-a2)≤0的a

的取值范圍.解:由f(1-a)+f(1-a2)≤0,∵f(x)是奇函數,∵f(x)在[-1,1]上是增函數,－2201故

a

的取值范圍為

3．已知函數f(x)為奇函數，且在(－2,2)上單調遞增，且有f(2＋a)＋f(1－2a)＞0，求a的取值范圍．

解：因為函數f(x)為奇函數，則f(－x)＝－f(x)．

由f(2＋a)＋f(1－2a)＞0，得f(2＋a)＞－f(1－2a)．

即f(2＋a)＞f(2a－1)．

又因為f(x)在(－2,2)上單調遞增，變式練習3例4．已知函數

f(x)對于任何實數x,y

都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且

f(0)≠0．求證:f(x)是偶函數.令x=y=0,則令x=0,則故f(x)是偶函數.解：已知函數

f(x)對于任何實數x,y

都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，變式練習4【1】若對一切實數x,y都有

(1)求f(0)的值;(2)判定f(x)的奇數偶性;(3)若f(1)=8,求f(-n),n?N*.令x=y=0,則令y=-x,則故f(x)是奇函數.解:因為對于任何實數

x,y

都有函數奇偶性與單調性的應用

【例5

】(2014

年廣東二模)定義在R上的偶函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數，且f＝0，則不等式xf(x)>0的解集是()

圖D13答案：C【變式與拓展】5．若函數f(x)是定義在R上的偶函數，在(－∞，0)上是減函數，且