7.3.1離散型隨機變量的均值1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值；（重點）2.理解離散型隨機變量的均值的性質.；3.掌握兩點分布的均值；4.會利用離散型隨機變量的均值反映離散型隨機變量的取值水平，解決一些相關問題.（難點）核心素養：數據分析、邏輯推理、數學運算離散型隨機變量的分布列確定了與該隨機變量相關事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數字特征。

例如，要了解某班同學在一次數學測驗中的總體水平，我們通常會比較平均分；要了解某班同學數學成績是否“兩極分化”，我們通常會考察這個班數學成績的方差。本節課我們一起來認識離散型隨機變量的均值。新課引入：問題1：甲乙兩名射箭運動員射中目標靶的環數的分布列如下表所示：如何比較他們射箭水平的高低呢？環數X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2類似兩組數據的比較，首先比較擊中的平均環數，如果平均環數相等，再看穩定性.假設甲射箭n次，射中7環、8環、9環和10環的頻率分別為甲n次射箭射中的平均環數為當n足夠大時，頻率穩定于概率，所以x穩定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.即甲射中平均環數的穩定值(理論平均值)為9,這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.同理，乙射中環數的平均值為7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.概念新授一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn

為隨機變量X的均值或數學期望.它反映了離散型隨機變量的平均水平.

例1：在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？解：因為

P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以

E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2

=0.8即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么：X10Pp1-p

np概念新授解：

例2：拋擲一枚質地均勻的骰子，設出現的點數為X，求X的均值.

X的分布列為

求離散型隨機變量X的均值的步驟：

觀察:

擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數X的均值為3.5.

隨機模擬這個試驗，重復60次和重復300次各做6次，觀測出現的點數并計算平均數.根據觀測值的平均數（樣本均值）繪制統計圖，如圖（1）和（2）所示，觀察圖形，在兩組試驗中，隨機變量的均值與樣本均值有何聯系與區別？(1)n=60(2)n=300事實上，隨機變量的均值是一個確定的數，而樣本均值具有隨機性，它圍繞隨機變量的均值波動.隨著重復實驗次數的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來小.因此我們常用樣本均值去估計隨機變量的均值.這12組試驗中，樣本均值各不相同，但它們都在擲出點數X的均值3.5附近波動，且重復擲300次的樣本均值波動幅度明顯小于重復60次的.問題探究

探究:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnX+bx1+bx2+b…xi+b…xn+bPp1p2…pi…pn

aXax1ax2…axi…axnPp1p2…pi…pn

證明：若Y=aX+b，其中a，b為常數，則Y也是隨機變量.因為P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，所以，Y的分布列為··················

E(aX+b)=問題2：離散型隨機變量均值的性質

aE(X)+b例3:猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金如下表所示：規則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000解：分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨立X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認為哪個順序獲得的公益基金均值最大？如果按ACB的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值是多少？解：分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨立X的分布列如下表所示：X0100040006000P0.20.480.1280.192=4000)=按由易到難的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值最大.猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872例4.根據氣象預報，某地區近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設備，有以下三種方案：方案1：運走設備，搬運費為3800元。方案2：建保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。方案3：不采取措施，希望不發生洪水。工地的領導該如何決策呢?典例解析解:設方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,無論有無洪水,都損失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水時,總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時,總損失為2000元,因此,P(X2=62000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600,E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.因此,從期望損失最小的角度,應采取方案2.如果問題中的天氣狀況多次發生,那么采用方案2能使總損失減到最小,不過,因為洪水發生的隨機性,所以對于個別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的.天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率P0.010.250.74總損失/元方案1X1380038003800方案2X2

6200020002000方案3X360000100000課堂小結1.期望的概念

E(X)=x1p1