第2課時正弦定理

必備知識·自主學習1.正弦定理(1)正弦定理(2)本質:三角形中,邊與其對角的正弦之間的關系.條件在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c結論____==_____=2R(R是△ABC外接圓的半徑)文字敘述在一個三角形中,各邊和它所對角的_____的比相等正弦【思考】利用正弦定理可以解決哪些類型的問題?提示:(1)已知兩角和任意一邊,求其他兩邊和第三個角;(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,從而求出其他的邊和角.2.正弦定理的變形若R為△ABC外接圓的半徑,則(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=,sinB=,sinC=;(3)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c;(4)=2R.(5)S△=absinC=bcsinA=acsinB.【思考】如何利用正弦定理把三角形的邊化為角,角化為邊?提示:利用正弦定理的變式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC實現邊化角;利用公式sinA=,sinB=,sinC=角化邊.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)正弦定理不適用于直角三角形. (

)(2)在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B. (

)(3)在△ABC中,若A>B,則sinA>sinB. (

)×√√提示:(1)正弦定理是適用于任何三角形的.(2)在△ABC中,若sinA=sinB,由正弦定理得=,故a=b,則A=B.(3)在△ABC中,若A>B,則a>b,由正弦定理得2RsinA>2RsinB,所以sinA>sinB.2.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,則sinB= (

)

A. B. C. D.1【解析】因為a=3,b=5,sinA=,所以由正弦定理得B3.(例題改編)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,則AC= (

)A.4 B.2 C. D.【解析】由正弦定理得:所以B關鍵能力·合作學習類型一已知兩角及一邊解三角形(數學運算)【題組訓練】

1.(2020·東莞高一檢測)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,則邊c= (

)A. B. C.2 D.2.在△ABC中,a=10,B=60°,cosC=,則c等于 (

)A.20(+2) B.20(-2)C.+2 D.203.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解這個三角形.DB【解析】1.因為b=2,B=45°,C=120°,所以由正弦定理可得所以解得c=.2.由cosC=得sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

由正弦定理得3.因為A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.由得因為sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=,所以所以a=10,b=5+5,B=105°.【解題策略】已知三角形的兩角和任一邊解三角形的思路(1)若所給邊是已知角的對邊時,可由正弦定理求另一角所對的邊,再由三角形內角和定理求出第三個角.(2)若所給邊不是已知角的對邊時,先由三角形內角和定理求出第三個角,再由正弦定理求另外兩邊.【變式訓練】1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,則b= (

)

【解析】A=180°-B-C=45°,由正弦定理,得C2.在△ABC中,A=60°,sinB=,a=3,求三角形中其他邊與角的大小.【解析】因為sinB=,所以B=30°或150°,當B=30°時,由A=60°得C=90°;當B=150°時,不合題意,舍去.所以由正弦定理得類型二已知兩邊及其中一邊的對角解三角形(數學運算)【例1】1.在△ABC中,若a=3,b=,A=,則C的大小為(

)

A. B. C. D.2.在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解這個三角形.【解題導引】1.利用正弦定理求出角B,再利用三角形的內角和求角C.2.利用正弦定理求出sinC的值,再解其他元素,注意三角形解的個數.D【解析】1.由正弦定理得:所以sinB=.又a>b,所以A>B,所以B=,所以2.因為所以因為0°<C<180°,所以C=60°或C=120°.當C=60°時,B=75°,當C=120°時,B=15°,所以b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.【解題策略】已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值;(2)如果已知的角為大邊所對的角時,由三角形中大邊對大角,大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求銳角;(3)如果已知的角為小邊所對的角,不能判斷另一邊所對的角為銳角時,這時由正弦值可求出兩個角,要分類討論.【跟蹤訓練】1.在△ABC中,cosA=,a=4,b=4,則B等于 (

)A.45°或135° B.135°C.45° D.60°【解析】由cosA=,得sinA=,A=60°,由正弦定理得因為三角形的內角和為180°,且a>b,所以B=45°.C2.已知a,b,c分別是△ABC的三個內角A,B,C所對的邊,若A=60°,c=6,a=6,則此三角形有 (

)

A.兩解 B.一解C.無解 D.無窮多解【解析】由等邊對等角可得C=A=60°,由三角形的內角和可得B=60°,所以此三角形為正三角形,有唯一解.B類型三正弦定理、余弦定理的綜合應用(數學運算,邏輯推理)角度1三角形形狀的判斷

【例2】在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀.【思路導引】解決本題的關鍵是把sin2A=sin2B+sin2C轉化為三角形三邊的關系,從而求出角A,然后再利用sinA=2sinBcosC求解.【解析】方法一:(利用角的互余關系)根據正弦定理及sin2A=sin2B+sin2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角,B+C=90°,所以2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin2B=sinA=1,所以sinB=.因為0°<B<90°,所以B=45°,C=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.方法二:(利用角的互補關系)根據正弦定理,

及sin2A=sin2B+sin2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角.因為A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,所以sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,所以sin(B-C)=0.又-90°<B-C<90°,所以B-C=0,所以B=C,所以△ABC是等腰直角三角形.【變式探究】將本例條件“sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C”改為“a2tanB=b2tanA”,試判斷△ABC的形狀.【解析】在△ABC中,由

可得

所以

又因為a2tanB=b2tanA,所以

所以

所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.角度2正弦、余弦定理的綜合應用

【例3】1.在△ABC中,若a=3,cosC=,S△ABC=,則b=

.

2.(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A.(2)若a+b=2c,求sinC.【思路導引】1.根據cosC的值,求出sinC的值,再根據三角形的面積公式求出邊b的值;2.(1)由正弦定理化角為邊,再用余弦定理的推論求角A;(2)由正弦定理化邊為角,結合(1)的結論,利用三角恒等變換求sinC.【解析】1.因為cosC=,所以C∈,所以又S△ABC=absinC

所以b=2.答案:22.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推論,得cosA=因為0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由題設及正弦定理得sinA+sin(120°-C)=2sinC,即+cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=-,故sinC=sin(C+60°-60°)

=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=【解題策略】判斷三角形的形狀(1)看該三角形是否為某些特殊的三角形,如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.(2)已知三角形中的邊角關系式,判斷三角形的形狀,可以考慮用正弦定理化邊為角,再利用三角恒等變換找出三個角之間的關系,或者化角為邊,通過代數恒等變換找出三邊之間的關系,再給出判斷.【題組訓練】1.(2020·濮陽高一檢測)已知a,b,c分別是△ABC的內角A,B,C所對的邊,滿足則△ABC的形狀是 (

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【解析】由正弦定理得又得即tanA=tanB=tanC,所以A=B=C,即△ABC為等邊三角形.C2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,則△ABC的形狀是 (

)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】已知c-acosB=(2a-b)cosA,由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,化簡得cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB-sinA=0,則A=90°或A=B,故△ABC為等腰三角形或直角三角形.D【變式訓練】在△ABC中,若sinA>sinB,則有 (

)A.a<b

B.a≥bC.a>b D.a,b的大小無法判定【解析】因為所以因為在△ABC中,sinA>0,sinB>0,所以所以a>b.C核心素養易錯提醒方法總結核心知識1.正弦定理2推論.3.利用正弦定理解三角形.

已知兩角及一邊解三角形(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內角和定理求出第三個角，最后由正弦定理求第三邊.(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內角和定理求第三個角，再由正弦定理求另外兩邊.已知兩邊及一邊的對角解三角形(1)由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由正弦值可求銳角即為另一邊所對的角．(3)如果已知的角為小邊所對的角時，要分類討論．已知兩邊和其中一邊所對角解三角形時可能會出現無解、一解、兩解的情況.注意“大邊對大角、大角對大邊”．1.數學抽象：正弦定理及其變形、三角形面積公式.2.邏輯推理：用正弦定理及其變形解決相關問題.3.數學運算：解三角形.課堂檢測·素養達標1.在△ABC中,一定成立的式子是 (

)

A.asinA=bsinB B.acosA=bcosBC.asinB=bsinA D.acosB=bcosA【解析】由正弦