4.3.2

等比數列的前n項和公式應用1.等比數列前n項和公式：2.等比數列求和要考慮公比是否為1.3.等比數列求和的常用方法：錯位相減法.

若等比數列{an}的公比q≠1，前n項和為Sn，則Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比數列,其中公比為qn.復習引入4.等比數列的片段和性質：消元方法：約分或兩式相除思考：你能發現等比數列前n項和公式Sn＝

(q≠1)的函數特征嗎？探究新知??當q≠1時，即Sn是n的指數型函數.當q＝1時，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函數.結構特點：qn的系數與常數項互為相反數.例1數列{an}的前n項和Sn＝3n－2.求{an}的通項公式,并判斷{an}是否是等比數列.解:當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.當n＝1時，a1＝S1＝31－2＝1，不滿足上式.由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，所以a1，a2，a3不是等比數列，即{an}不是等比數列.典例分析思考：還有其他方法判斷{an}是否是等比數列嗎？思考：若{an}是公比為q的等比數列，S偶,S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則S偶,S奇之間有什么關系？(1)若等比數列{an}的項數有2n項，則(2)若等比數列{an}的項數有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n探究新知??S偶＝qS奇??例2已知等比數列{an}共有2n項，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.解：由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80∴S奇＝－80，S偶＝－160，典例分析變式：若等比數列{an}共有2n項，其公比為2，其奇數項和比偶數項和少100，則數列{an}的所有項之和為______.300

典例分析

例4去年某地產生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環保方式處理.預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預算，請你測算一下從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).典例分析分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構成等比數列，而每年以環保方式處理的垃圾量構成等差數列.因此，可以利用等差數列、等比數列的知識進行計算.

所以，從今年起5年內，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸.小試牛刀分組求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n項和公式，其中{an}與{bn}是等差數列或等比數列；(2)

將等差數列和等比數列分開：Tn＝c1

+c2+…+cn

＝(a1

+a2+…+an

)±(b1

+b2+…+bn

)(3)利用等差數列和等比數列前n項和公式來計算Tn.解：變式：

典例分析

(2)這是待定系數法的應用，可以將它還原為(1)中的遞推公式形式，通過比較系數，得到方程組；(3)利用(2)的結論可得出解答.

小試牛刀1.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).當x≠1時，Sn＝x＋

2x2＋

3x3＋

4x4

＋

…＋

nxnxSn＝

x2＋

2x3＋

3x4＋

…＋

(n－1)xn＋nxn＋1∴(1－x)Sn＝x＋

x2＋

x3＋

x4

＋

…＋

xn

－nxn＋1課堂練習課堂練習課堂練習課堂練習課堂練習課堂小結1.等比數列前n項和公式Sn的函數特征：當q＝1時，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函數.當q≠1時，即Sn是n的指數型函數.(1)若等比數列{a