第四章

數列求和微專題2.等比數列前n項和公式(錯位相減法)1.等差數列前n項和公式(倒序相加法)一、公式法3.兩類特殊數列的前n項和(二次冪和、三次冪和)例1

數列{an}滿足an=3n-20，求數列{an}的前n項和Sn的最小值.典例分析通項公式為分式，可用待定系數法對通項公式拆項.二、裂項相消法??典例分析例2

已知數列

是公比為4的等比數列，且滿足a2,a4,a7成等比數列，求數列的前n項和Tn.(1)使用條件:

①通項公式是形如an·bn的形式,

②數列{an}和{bn}中一個是等差數列,一個是等比數列;(2)所乘系數:在等式兩邊同乘的是等比數列的公比;(3)書寫格式:兩個等式中次數一樣的項對齊;(4)差的特點:相減后的差共有n+1項,去掉前后兩項,

中間的n-1項一定是等比數列.三、錯位相減法典例分析例3已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，Sn=an+1-2，求數列{(2n+1)an}的前n項和Tn.(1)一般情況下形如cn＝an±bn；(2)數列{an}與{bn}是等差數列,或等比數列,或是其他已知求和方法的數列；(3)求數列{cn}的前n項和，分別利用已知的求和方法；

如等差數列和等比數列前n項和公式求和即可.四、分組求和法典例分析例4已知數列{an}滿足an=3an-1+2(n≥2)，a1=1，若bn=3an+2n-1，求數列{bn}的前n項和Tn.(1)倒序相加法是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列(反序)，再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1＋an).(2)如果一個數列{an}，首末兩端等“距離”的兩項的和相等，那么求其和可以用倒序相加法.五、倒序相加法典例分析例5已知函數y=f(x)滿足f(x)+f(1-x)=1，若數列{an}滿足

，求數列{an}的前20項和.六、絕對值型求和實際就是一個去絕對值的過程,絕對值的臨界值就是分類討論的點.已知數列{an}的前n項和為Sn,求數列{|an|}的前n項和Tn.思路：由an≥0,得n≤n0(不妨設為n0整數)當1≤n≤n0時,an≥0；而當n≥n0+1時,an≤0.當1≤n≤n0時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn當n≥n0+1時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an0|+|an0+1|+…+|an|=(a1+a2+…+an0)-(an0+1+…+an)=Sn0-(Sn-Sn0)=2Sn0-Sn綜上，典例分析例6已知數列{an}的前n項和為Sn=14n-n2，求數列{|an|}的前n項和Tn.2.適用于通項中含有(－1)n的數列[擺動數列]

，形如an=(-1)nf(n)，可采用兩項合并求解．3.涉及奇偶問題，則需要討論n的奇偶性，分項數為奇數和偶數分別進行求和，最后綜合.七、并項求和法1.求

一個數列的前n項和，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．典例分析例7求12-22+32-42+…+(-1)n-1n2.1.求數列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n項和.這些奇數組成等差數列，首項為1，公差為2，故該數列的前n項和鞏固練習

解:(1)當x＝±1時，Sn＝4n.綜上可知，(2)當x≠±1時，鞏固練習鞏固練習4.求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).解：當n為奇數時，Sn＝(-1＋3)＋(-5＋7)＋(-9＋11)＋…＋[(-2n＋5)＋(2n-3)]＋(-2n＋1)當n為偶數時，∴Sn＝(－1)n·n(n∈N*).鞏固練習5.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).當x≠1時，Sn＝x＋

2x2＋

3x3＋

4x4

＋…(n－1)xn-1＋

nxn，xSn＝

x2＋

2x3＋

3x4＋……＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋

x2＋

x3＋

……………＋

xn－nxn＋1鞏固練習鞏固練習鞏固練習鞏固練習7.已知等差數列{an}中,公差d=2,a2是a1和a4的等比中項.設,求數列{bn}的前n項和Tn.1.公式法(2)四類特殊數列的前n項和4.分組求和法(1)等差、等比數列的前n項和公式；(2)數列{an}與{bn}是已知求和方法的數列；(1)一般情況下形如cn＝an±bn；課堂小結求數列前n項和的方法3.錯位相減法2.裂項相消法(1)形如cn＝an·bn,

一個是等差數列,一個是等比數列;

(2)步驟：乘公比，錯位減(1)通項公式為分式，可用待定系數法對通項公式拆項；(2)記住常見的拆項公式(2)數列{an}與首末兩端等“距離”的兩項和相等,則用倒序相加法求和.5.倒序相加法(1)適用于通項中含有(－1