在最近的幾次考試中,總有半數的的學生搞不清二項分布和超幾何分布,二者到底該如何區分呢?什么時候利用二項分布的公式解決這道概率問題

?什么時候用超幾何分布的公式去好多學生查閱各種資料甚至于上網尋找答案,其實這個問題的回答就出現在教材上,人教

從兩個方面給出了很好的解釋.誠可謂:眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處!

m=min{M,n},且

C

CC

1）獨立重復試驗：在相同條件下重復做的

次試驗,且各次試驗試驗的結果相互獨立,

次獨立重復試驗,其中

A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次試驗結果,則P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)

次獨立重復試驗中,用

發生的次數,設每次試驗中事件

C

p

p)n

服從二項分布,記作n

1.本質區別(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,二項分布描述的是放回抽樣問題;(2)超幾何分布中的概率計算實質上是古典概型問題

;二項分布中的概率計算實質上是2.計算公式超幾何分布:在含有

件產品中,任取

件,其中恰有

件次品,則

C

CC

二項分布:在

次獨立重復試驗中,用

發生的次數,設每次試驗中事件

C

p

p)n

(k=0,1,2,…,n),n

的總體數據”時,均為二項分布問題。比如

例.某批

2%,現從中任意地依次抽出

件進行檢驗,問:(1)當

時,分別以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到

(2)根據(1)你對超幾何分布與二項分布的關系有何認識?

P(

P(

P(

P(

0.02.次品數

X~B(3,0.02),恰好抽到

×0.02×(1-0.02)=3×0.02×0.982≈0.057624。在不放回的方式抽取中,抽到的次品數是隨機變量,X服從超幾何分布,X

有關,所以需要分

時,產品的總數為

件,其中次品的件數為

500×2%=10,合格品的件數為

件,其中恰好抽到

C

C C

時,產品的總數為

件,其中次品的件數為

5000×2%=100,合格品的件數為4900.從

件,其中恰好抽到

C

C

C 時,產品的總數為件,其中次品的件數為50000×2%=1000,合格品的件數

49000.從

件,其中恰好抽到

C

C C (2)根據(1)的計算結果可以看出,當產品的總數很大時,超幾何分布近似為二項分布.這也是可以理解的,當產品總數很大而抽出的產品較少時

,每次抽出產品后

,次品率近似不變

,這樣就可以近似看成每次抽樣的結果是互相獨立的,抽出產品中的次品件數近似服從二項分布【說明】由于數字比較大,可以利用計算機或計算器進行數值計算.另外本題目也可以幫次試驗中,某一事件服從二項分布;當這次試驗是不放回摸球問題,事件

第二,在不放回的分布列近似于二項分布,并且隨著的增加,這種近似的精度也增加。從以上分析可以看出兩者之間的聯系:當調查研究的樣本容量非常大時,在有放回地抽取與無放回地抽取條件下,計算得到的概率非常接近,可以近似把超幾何分布認為是二項分布

1.(2016·漯河模擬)寒假期間,我市某校學生會組織部分同學,用“10

名,如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(以小數點前的一位數字為莖,小數點后的一位數字為葉),若幸福度分數不低

分,則稱該人的幸福度為“幸福”

人,至少有

（2）以這

人的樣本數據來估計整個社區的總體數據,若從該社區(人數很多)任選

人,記ξ表示抽到“幸福”的人數,求ξ的分布列及數學期望先不要急于看答案,大家先自己解一下這道題再往下看,會有意想不到的收獲哦

人,其他的有

人;記“從這

人,至少有

人是“幸福”,”為事件

A.由題意得P(

)

C

C

C

C

C

（2）ξ的可能取值為

0，1，2，3P(

CC

C

C

P(

C

C

C

C

P(

CC

C

CC

P(

C

[錯解分析],按照定義先考慮超幾何分布,但是題目中又人的樣本數據來估計整個社區的總體數據,從該社區(人數很多)任選

人,所以可以近似看作是

立重復試驗,應該按照二項分布去求解,而不能按照超幾何分布去處理

人中“幸福”的人數有12

人;記“從這

人,至少有

人是“幸福”,”為事件

A.由題意得P(

)

C

C

C

C

C

P(

P(

P(

C

P(

P(

C

~

,錯解中的期望值與正解中的期望值相等

,好多學生都覺得不可思議,怎么會出現相同的結果呢?其實這還是由于前面解釋過的原因

,超幾何分布與二項分布是有聯系的,看它們的期望公式：

件產品中,任取

件,其中恰有

件次品,隨機變量Ⅹ服從超幾何分布,超幾何分布的期望計算公式為

nM

(可以根據組合數公式以及期望的定義推導);N

服從二項分布,記作

N

時,

M

p,此時可以把超幾何分布中的不放回抽樣問題,近N似看作是有放回抽樣問題,再次說明N

時,可以把超幾何分布看作是二項分布。總結：綜上可知,當提問中涉及“用樣本數據來估計總體數據”字樣的為二項分布。高考解題中,我們還是要分清超幾何分布與二項分布的區別

,以便能正確的解題,拿到滿

的模擬試卷吧,快去找幾道二項分布和超幾何分布的概率大題試試吧,爭取概率滿分，加油！18.(本小題滿分

為了調查觀眾對某電視娛樂節目的喜愛程度,某人在甲、乙兩地各隨機抽取了

分),現將結果統計如下圖所示觀眾對該電視娛樂節目的喜愛程度;

,若從甲地觀眾中

人進行問卷調查,記問卷分數超過

E,求的分布列與數學期望（2）因為題中說：

0,1,2,3，

P(

P(

P(

C

P(

C

P(

E（X）=np= 18.(本小題滿分

名考生的數學成績,分成

的值;并且計算這

(Ⅱ)該學校為制定下階段的復習計劃,從成績在[130,150]的同學中選出

座談,記成績在

m m

P

P

CC

C

CC

C

P

P

P

C C

E

.

18.(本小題滿分

分)（2018

城市式創新,對于解決民眾出行“最后一公

里”的問題特別見效,由于停取方便、租用價格低廉 熱捧.某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵的

個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,若評分不低于

分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”,并繪制出莖葉圖如圖。(1)請根據此樣本完成下面的

2×2

列聯表,并據此樣本分析是否能在犯錯的概率不超過10%的情況下認為交通擁堵與認可共享單車有關;

名用戶,記

表示抽到用戶為對此種交通方式“認可”的人數,求

n

K

,bdbd