高斯+q一、靜電場的高斯定理當點電荷在球心時§7-3靜電場的高斯定理可見，電通量與所選取球面半徑無關。由即使點電荷不在球面中的中心，即使球面畸變，這一結果仍是一樣的，這由圖也可看出。此時通過閉合面的電通量是：閉合面內為點電荷系的情況：閉合面內無電荷的情形：q1.當點電荷在球心時2.任一閉合曲面S包圍該電荷3.閉合曲面S不包圍該電荷4.閉合曲面S包圍多個電荷q1～qk，同時面外也有多個電荷qk+1～

qn高斯定理:在靜電場中，通過任意閉合曲面的電通量，等于該曲面內電荷量代數和除以真空介電常數。1.當閉合曲面內凈電荷為正時,ψE>0,表示有電場線從曲面內穿出,正電荷稱為靜電場的源頭；2.當閉合曲面內凈電荷為負時,ψE<0,表示有電場線從曲面外穿進,負電荷稱為靜電場的尾閭，當曲面內無凈電荷時,ψE=0。故靜電場是有源場。討論：3.電通量只與閉合面內電荷有關，而閉合面上任一點電場是面內、面外所有電荷所激發的總電場。4.庫侖定律把場強和電荷直接聯系起來,在電荷分布已知的情況下由庫侖定律可以求出場強的分布。而高斯定理將場強的通量和某一區域內的電荷聯系在一起，在電場分布已知的情況下，由高斯定律能夠求出任意區域內的電荷。5.庫侖定律只適用于靜電場,而高斯定理不但適用于靜電場和靜止電荷,也適用于運動電荷和迅速變化的電磁場。二、高斯定理的應用(求解電場強度)條件：電荷分布具有較高的空間對稱性。1.分析帶電體的電荷分布和電場分布的特點，以便依據其對稱特點選取合適的閉合面(高斯面)。應用高斯定理求解電場強度的一般步驟：2.閉合面(高斯面)選取類型：a.面上各點電場強度與面垂直，大小處處相等；b.面上一部分各點電場強度處處相等且與面垂直，另外部分電場強度與面處處平行。++++++++++++++++q例題7-8

求電荷呈球對稱分布時所激發的電場強度。解：高斯面電荷及場分布特點:球對稱,設球半徑R,電荷量為q。高斯面:半徑為r的球面。+++++++++++++++++++++r>R

時，高斯面內電荷量即為球體上的全部電荷，球體外電場和電荷均勻分布在球面上時球面外電場完全相同。高斯面++++++++++++++++q+++++由高斯定律:++++++++++++++++q高斯面+++++r<R時，設電荷體密度為++++++++++++++++q高斯面+++++可見，球體內場強隨r線性增加。均勻帶電球體電場強度曲線如上圖。rORErR時，高斯面內無電荷，特例：電荷均勻分布在球面r>R時，高斯面內電荷量即為球面上的全部電荷，可見，電荷均勻分布在球面時，它在球面外的電場就與全部電荷都集中在球心的點電荷所激發的電場完全相同。均勻帶電球面電場強度曲線如圖。r0REEσE例題7-9

均勻帶電無限大平面的電場。電荷及場分布：面對稱性，場方向沿法向。解：高斯面:作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為S，兩底面到帶電平面距離相同。σESE圓柱形高斯面內電荷由高斯定理得可見，無限大均勻帶電平面激發的電場強度與離面的距離無關，即面的兩側形成勻強電場。矢量式為：σESE例題7-10

求電荷呈無限長圓柱形軸對稱均勻分布時所激發的電場。圓柱半徑為R，沿軸線方向單位長度帶電量為。高斯面：與帶電圓柱同軸的圓柱形閉合面,高為l,半徑為r。

電荷及場分布：柱對稱性，場方向沿徑向。解：r(1)當r>R時，由高斯定理知均勻帶電圓柱面的電場分布E?r關系曲線REr0矢量式為r由高斯定理知(2)當r<R時，高斯面內電荷量為l矢量式為lE?r關系曲線REr0例題7-11

均勻帶電球體空腔部分的電場，球半徑為R,在球內挖去一個半徑為r(r<R)的球體。試證：空腔部分的電場為勻強電場，并求出該電場。r證明：用補缺法證明。CPO設該點場強為在空腔內任取一點P,設想用一個半徑為r且體電荷密度與大球相同的小